第二章波函数和薛定谔方程(量子力学周世勋)PPT课件.ppt

1、1 第第 二二 章章 波函数与薛定谔方程波函数与薛定谔方程The wave function and Schrdinger Equation 2 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation 2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理 The principle of superposition 2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 The Schrdinger equation 2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 The current density of par

2、ticles and conservation laws 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 Time independent Schrdinger equation 2.6 一维无限深势阱 The infinite potential well 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子 The linear harmonic oscillator 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 The transmission of potential barrier学习内容学习内容3 1. 1.理解微观粒子运动状态的描述理解微观粒子运动状态的描述 波函数波函数及其统计解释。及其统计解释。 2. 2

3、.通过对实验的分析通过对实验的分析, ,理解态叠加原理。理解态叠加原理。 3. 3.掌握微观粒子运动的动力学方程掌握微观粒子运动的动力学方程 波函波函数随时间演化的规律数随时间演化的规律 SchrSchrdingerdinger方程。方程。 4. 4.掌握定态及其性质。掌握定态及其性质。 5. 5.通过对通过对三个实例三个实例的讨论的讨论, ,掌握定态掌握定态SchrSchrdingerdinger方程的求解。方程的求解。学 习 要 求学 习 要 求4微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用经典坐标、速度、加速度等物理量来描述，能用经典坐标、速度、加速度

4、等物理量来描述，也不能用经典波函数来描述。也不能用经典波函数来描述。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释1 1微观粒子状态的描述微观粒子状态的描述自由粒子的状态可用其对自由粒子的状态可用其对应的德布罗意波函数表示：应的德布罗意波函数表示：()( , )iP rEtPr tAe 一般粒子的状态也可用其对一般粒子的状态也可用其对应的德布罗意波函数表示：应的德布罗意波函数表示：( , )r t 关键问题：关键问题： 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？波函数：波函数：微观粒子具有波粒二象性，每一粒子都有微观粒子具有波粒二象性，每一粒子都有一对应的德布罗意波函数，可用其来描述微观粒

5、子一对应的德布罗意波函数，可用其来描述微观粒子的运动状态的运动状态 称这一函数为称这一函数为波函数波函数。5 两种错误的两种错误的看法看法（1 1） 波由粒子组成波由粒子组成 如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单不能解释长时间单个电子衍射实验个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚

6、集在一起时才有的现象，并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续3 3）2 2波函数的统计解释波函数的统计解释6（2 2）粒子由波组成）粒子由波组成l电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。小，波包的群速度即电子的运动速度。 2.1 2.

7、1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续4 4）l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。 l 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小例如一个原子内的电

8、子，其广延不会超过原子大小1 1 。 0A7 “ 电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波 ”既不是经典的既不是经典的粒子也不是经典的波；粒子也不是经典的波； 也可以说，也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ;2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念经典概念中粒子意

9、中粒子意味着味着 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续5 5）l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的实在的物理量的空间分布作周期性的 变化变化; ; 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概经典概念中波念中波意味着意味着 8我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验 玻恩的解释：玻恩的解释：OPP电子源电子源感感光光屏屏QQ2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续6 6） 波波 动动 观观 点点 粒粒 子子 观观 点点明纹处明纹处: : 电子

10、波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t) 2 2大大 电子出现的概率大电子出现的概率大暗纹处暗纹处: : 电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t) 2 2小小 电子出现的概率小电子出现的概率小 919261926年年, ,玻恩玻恩(M.Born)(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：首先提出了波函数的统计解释： 波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。方）与粒子在该点出现的概率成比例。 可见，波函数模的平方可见，波函数模的平方 与粒子与粒子 时刻在时刻在 处附近出现的概率成正比。处附近出现的

11、概率成正比。rt2, r t2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续7 7） 波波 动动 观观 点点 粒粒 子子 观观 点点明纹处明纹处: : 电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t) 2 2大大 电子出现的概率大电子出现的概率大暗纹处暗纹处: : 电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t) 2 2小小 电子出现的概率小电子出现的概率小 102*( , )( , ) ( , )r tr tr t设粒子状态由波函数设粒子状态由波函数 描述，波的强度是描述，波的强度是( , )r t 按按BornBorn提出的波函数的统计解释提出的波函数的统计解释, ,粒子

12、在空间中粒子在空间中某一点某一点 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的处出现的概率与粒子的波函数在该点模的平方成比例。平方成比例。r2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续8 8）2( , )( , )dW r tCr td则微观粒子在则微观粒子在t t 时刻出现在时刻出现在 处体积元处体积元d d内的几率内的几率r2( , )( , )( , )dW r tr tCr td在在 处的几率密度为处的几率密度为r11玻恩对波函数的统计诠释小结p1.实物粒子的物质波（德布罗意波）是几率波；p2.几率波用波函数 来描述， 也称为几率波幅；p3.波函数的强度（模的平方 ）反映粒子在该点出

13、现的几率。( , )r t2( , )r t2( , )( , )dW r tCr td2( , )( , )( , )dW r tr tCr td 称为几率密度称为几率密度( (概率密度概率密度) )出现在出现在 处处d d空间内的几率空间内的几率( , )r tr12 （1 1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒描写粒子的波是几率波子的波是几率波”是量子力学的一个是量子力学的一个基本假设基本假设(1) (1) （基本原理）基本原理）。 知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的几率，以后的讨

14、论进一步知道，子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系的量子状态（简称态）的量子状态（简称态）（2 2）波函数一般用复函数表示。）波函数一般用复函数表示。（3 3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。必 须 注 意必 须 注 意2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续9 9）13( , )( , )r tCr t令令3 3波函数的归一化波函数的归一化 和和 所描写状态的相对几率是相所描写状态的相对几率是相同的。同的。, r t, r t 时

15、刻，时刻，在在空间任意两点空间任意两点 和和 处找到粒子的处找到粒子的相对几率是：相对几率是：t1r2r221122( , )( , )(, )(, )Cr tr tCr tr t2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1010） 非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生不会产生与湮灭。与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的几率等这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因

16、此间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因此 和和 描述同一状态描述同一状态, r t, r t14 这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的一倍（原来的 2 2 倍）时，则相应的波动能量将为原倍）时，则相应的波动能量将为原来的来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。无归一化问题。 为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函数的数

17、的归一化条件归一化条件：2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1111） 和和 描述的是同一几率波，所以波描述的是同一几率波，所以波函数往往有一函数往往有一常数因子不定性常数因子不定性。, r t, r t12d)t , r(d )t , r(满足此条件的波函数满足此条件的波函数 称为称为归一化波函数归一化波函数。, r t15又因又因222( , )( , )1r tdCr td21( , )Cr td其中其中称为称为归一化常数归一化常数于是于是dtrtrtrtr222),(),(),(),(归一化条件消除了波函数归一化条件消除了波函数常数因子常数因子的一种不确定性的一种不确

18、定性。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1212）16Ex.1 已知一维粒子状态波函数为已知一维粒子状态波函数为221( , )exp22ir tAa xt求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率最大。出现的几率最大。 dxeAdxtrxa2222),(22Aa2/ 1/aA归一化常数归一化常数Solve: 12 211/222( , )/ia xtr tae 归一化的波函数归一化的波函数(1).求求归一化的波函数归一化的波函数2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1313）17（2 2）几率分布）几

19、率分布： 222),(),(xaeatxtx（3 3）由几率密度的极值条件）由几率密度的极值条件 2 22( , )20a xdx taa xedx 由于由于 220( , )0 xdx tdx0 x 故故 处，粒子出现几率最大。处，粒子出现几率最大。0 x2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1414）18注注 意意（1 1）归一化后的波函数归一化后的波函数 仍有一个模为一的相仍有一个模为一的相因子因子 不定性（不定性（为实函数）。为实函数）。 若若 是归一化波函数，那么，是归一化波函数，那么， 也是也是归一化波函数，与前者描述同一几率波。归一化波函数，与前者描述同一几率波。

20、ie),( tr, r t,ir t e若若 对空间非绝对可积时，需用所对空间非绝对可积时，需用所谓谓函数归一化方法进行归一化。函数归一化方法进行归一化。2( , )( , )r tr t（2 2）只有当几率密度）只有当几率密度 对空间绝对可积时，才对空间绝对可积时，才能按归一化条件能按归一化条件 进行归一化。进行归一化。1),(2dtr( , )r t2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1515）192xxi(PP )xAedx)(122xxPPA22()xxAPP Solve： 1/ 2A归一化常数归一化常数()xxPP 例如例如 平面波的归一化问题平面波的归一化问题 e

21、x.2 已知已知平面波平面波 , , 求归一化求归一化 常数常数xxipxEtpAe A2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1616）归一化的平面波归一化的平面波： )EtxP(i/Pxxe/2121() /1()d2i p p xppex利用利用xx*PPxx(x,t)(x,t)dx(PP )归一化条件在前面的推导中，我们利用了在前面的推导中，我们利用了函数的性质函数的性质perrrrp i3/ ) (3d)2(1) (xeppxppid21) (/) (xeipxd21/xepipxd21)(xekikxd21)(同理同理这样这样同理可推知三维坐标矢量的同理可推知三维坐标

22、矢量的函数的形式函数的形式21同理，三维平面波：同理，三维平面波： ()3/21( , )(2)iP r EtPr te 归一化后的波函数 xx*PPxx(x,t)(x,t)dx(PP )归一化条件归一化条件*3( , )( , )()PPr tr t dPP归一化条件归一化条件对于一维平面波：对于一维平面波： 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释2212sin()| |( )1,2,3,20| |sin()| |( )1,2,3,20| |nAx axaxnaxanAx axaxnaxa2.2.已知下列两个波函数已知下列两个波函数试判断试判断: (1)(1)波函数波函数 和和 是

23、否描述同一状态是否描述同一状态? ? (2) (2)对对 取取 两种情况两种情况, ,得到的两个波函得到的两个波函 数是否等价数是否等价? ?1( ) x2( ) x1( ) x2n补 充 作 业 题补 充 作 业 题1. 1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? ? 并指出每并指出每个状态由哪几个波函数描写个状态由哪几个波函数描写。2/2/(2)/1233 /2/2/456,3,(42 ).ixixixi xixixeeeeei e 23 多粒子系的波函数多粒子系的波函数 同时）中，（出现于粒子222d,2rrr),(21trrrN在在t t 时刻

24、，多粒子系的波函数可以表示为时刻，多粒子系的波函数可以表示为）中的几率（出现于粒子NNNrrrNd,NNrrrtrrr32313221d,dd| ),(|表示各粒子的位置其中Nrrr,21而而同时）中，（出现于表示粒子111d,1rrr2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释24d(u,v)u*v是一个常数VNNrrrtrrr1d,dd| ),(|32313221归一化条件为一般定义内积一般定义内积1d*),(用内积表示为2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释25开开1 1闭闭2 2，衍射花样（兰曲线），衍射花样（兰曲线）211开开2 2闭闭1 1，衍射花样（红曲线），衍射花

25、样（红曲线）222同时开同时开1 1，2 2，衍射花样（黑曲线），衍射花样（黑曲线）实实 验验 事事 实实2212显然显然1222122.2 2.2 态叠加原理态叠加原理1.1.电子双缝衍射实验电子双缝衍射实验S D1 12 22P1PP12 表明表明几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅, ,态）态）遵守迭加原则：遵守迭加原则：2126遮住缝1遮住缝2双缝都打开27282930波函数（几率幅波函数（几率幅, ,态）遵守迭加原则：态）遵守迭加原则：212.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续1 1）物 理 意 义物 理 意 义 反之，若反之，若 和和 是电子

26、的可能状态，则是电子的可能状态，则 和和 的线性迭加态的线性迭加态 也是电子的可能状态也是电子的可能状态。212211 电子经双缝衍射后处于电子经双缝衍射后处于 态，则电子既态，则电子既可部分地处于可部分地处于 态，也可部分地处在态，也可部分地处在 态。态。211231 当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态称时，迭加态 , ,其概率为其概率为2211cc22222112212121212ccc cc c 干 涉 项干 涉 项2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续2 2）迭加态的概率分布迭加态的概率分布: : 221222*1212

27、12 干 涉 项干 涉 项电子穿过狭缝出现电子穿过狭缝出现在点的几率密度在点的几率密度电子穿过狭缝出现电子穿过狭缝出现在点的几率密度在点的几率密度32态的迭加原理态的迭加原理是量子力学的一个是量子力学的一个基本假设基本假设(2).(2).nccc32211112nkkc (1). (1). 若若 是粒子的可能状态，则粒子是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态也可处在它们的线性迭加态12,n2 2态迭加原理态迭加原理2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续3 3）2kc (2).(2).当体系处于当体系处于 态时，发现体系处于态时，发现体系处于 态的几率态的几率是是 ，并且，并且k(

28、1,2, ,)kn33()3/21( , )(2)iP rEPtr te 3 3动量分布几率动量分布几率 d 电子从晶体表面出射后，既可能处在电子从晶体表面出射后，既可能处在 态，也态，也可能处在可能处在 、 等状态，按态迭加原等状态，按态迭加原理，在晶体表面反射后，电子的状态理，在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成可表示成 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即),( trP),(trP ),(trP P2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续4 4） 电子沿垂直方向射到电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后的电子单晶表面，出射后的电子为自由电子。出射后将以为自

29、由电子。出射后将以各种不同的动量运动。各种不同的动量运动。动量为动量为 的自由电子波函的自由电子波函数为平面波：数为平面波：P电子在晶体表面的衍射电子在晶体表面的衍射34PP) t , r()P(C) t , r(PdtrPCtrP3),()(),( ,)33/21( )(2)iP r EtC P ed P33/21( , )(2)iP rC P t ed P考虑到电子的动量可以连续变化考虑到电子的动量可以连续变化2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续5 5）,33/21( , )( , )(2)iP rC P tr t ed r而而 （2 2）（1 1） 33/21( , )( , )(

30、2)iPrr tC P t ed P即即衍射图样正是这些平衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果面波叠加干涉的结果 二式互为二式互为FourierFourier变换式变换式, ,所以所以 与与 一一一对应一对应, ,是同一量子态的两种不同描述方式。是同一量子态的两种不同描述方式。),( tr),(tPC352.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续6 6）( , )( )( , )( )ppr tr drr tr dr dp 若若 归一化，则归一化，则 也是归一化的也是归一化的, r t,C p t2| ( , )|( , ) ( , )C p tdpC p t C p t dpProve:Pr

31、ove:( , )( ) ( , )PC p trr t dr( , ) ( , )( )( )pPr tr trr dp drdr r r ),(tPC),(tr以坐标以坐标 为自变量的波函数，为自变量的波函数，坐标空间（坐标表象）波函坐标空间（坐标表象）波函数数r以动量以动量 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 动量空间（动量表象）波函动量空间（动量表象）波函数数P 给出给出t t 时刻粒子处在时刻粒子处在 位置位置 处的几率处的几率 r 给出给出t t 时刻粒子动量时刻粒子动量 为为 的几率的几率 P二者描写同一量子状态二者描写同一量子状态2,C P t 2, r t36( , ) (

32、 , ) ()r tr trr drdr ( , ) ( , )1r tr t dr2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续7 7）此显示出把平面波归一化为此显示出把平面波归一化为 函数的目的函数的目的一维情况下，一维情况下， 与与 的的FourierFourier变换变换关系：关系：( , )x t(, )xC P t1/21( , )( , )(2)iPxx tC P t edP1/21( , )( , )(2)iPxC P tx t edx 如果仅考虑在某一给定时刻粒子的两表象波函数的如果仅考虑在某一给定时刻粒子的两表象波函数的关系，可取关系，可取t t =0=0,3/21( )( )

33、(2)iP rrC PedP,3/21( )( )(2)iP rC Pr edr3720220221(1)sincos12cos2211-()()2222111112222220 2,2,i xi kxi kxikxikxi xi kxi kxikxikxAAkxkx-cos kxkxAeeeeeAeeeee p k k k k 动动量量 的的可可能能值值即即本本征征值值： ，1 1 1 11 11 1 1 11 1相相应应值值出出现现几几率率为为：1 1，归归一一化化后后 ，4 4 4 42 84 4 4 42 811111(2)0*2*( 2*)(*)(*)028888 pkk kk 1

34、1 11 1 1，8 8 88 8 821( )sincos2(1)(2)xAkxkx例题：设一微观粒子的状态为，求 粒子动量的分布可能值及相应几率； 计算粒子动量的平均值。2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续8 8）382.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程微观粒子运动方程应具有的特点微观粒子运动方程应具有的特点（1）方程必为线性的）方程必为线性的（2）不应包含状态的参量）不应包含状态的参量 本节研究量子力学的动力学问题，建立量子力学的动力学方程 Schrdinger方程 xyvty)(sinxtAxyL)(sinxtAtyV)(cosxtAy经典波动方程推导过程经典波动方程推导过程令则

35、有39 1. 1. 自由粒子的波动方程自由粒子的波动方程 已经知道，一维自由粒子波函数是单色平面波)(),(tExPixAetx薛定谔给出自由粒子波函数满足的微分方程是2222i(x,t)(x,t)tx同学们可以将波函数代入，验证该方程可以与经典的波动方程比较形式的不同2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程40u 写薛定谔方程的简单路径写薛定谔方程的简单路径 微分),(),(txEittx)(),(tExPixAetx),(),(2222txPxtxxEti2222xPx),(),(txPixtxxxPxi 注意到替换关系2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程xP ,E动量为能量为自由粒子波函数4

36、1 满足运动方程应具有的三个特点，此满足运动方程应具有的三个特点，此即为为自由粒子的基本运动方程自由粒子的Schrdinger方程。2.3 薛定谔方程薛定谔方程( , )( , )ix tEx tt ( , )( , )xix tPx tx 2222( , )( , )xxx tPx t 非相对论一维自由粒子粒子能量动量关系式为：22xPE 替换后，得到自由粒子满足的波动方程2222( , ) ( , )ir tr ttx 42写出非相对论经典粒子能量动量关系式如自由粒子22xPE得到自由粒子满足的薛定谔方程2222i(x,t )(x,t )tx 令上述关系作用于波函数将替换关系代入写成u 写

37、出薛定谔方程的基本过程写出薛定谔方程的基本过程),(tx2222itx 2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程432()2xPEU x,t2()2xPEU x,t222() ()()2ix,tU x,tx,ttx 2.势场势场中粒子的薛定谔方程中粒子的薛定谔方程u一维有势场一维有势场U(x,t) 中的粒子中的粒子经典关系式替换后关系式 令其作用于波函数),(tx得到一维有势场中粒子满足的薛定谔方程2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程44u 三维有势场中粒子的薛定谔方程三维有势场中粒子的薛定谔方程2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程对时间进行微分( , )( , )ir tEr tppt 对空间进

38、行微分( , )( , )pxr tiPr tpx ( , )( , )pyr tiPr tpy ( , )( , )pzr tiPr tpz ( , )( , )ir tPr tpp 移项并求和可得：移项并求和可得：)Etr ,P(i/Pe)()t ,r(2321452222( , )( , )pxpr tPr tx 2222( , )( , )pypr tPr ty 2222( , )( , )pypr tPr tz 求和可得：求和可得：222222222222( , )( , )( , )()( , )pppyzxpr tr tr tPPPr txyz 222( , )( , )ppPr

39、 tr t 222( , )( , )ppr tPr t 对空间再对空间再进行微分进行微分2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程4622()()()2ir,tU r,tr,tt 薛定谔方程薛定谔方程是非相对论量子力学是非相对论量子力学的基本方程的基本方程是量子力学的一个是量子力学的一个基本假设基本假设(3)(3)。 则则2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程2( , )2PEU r t非相对论三维自由粒子能量动量关系式为：22()2HU r,t 引入哈密顿量薛定谔方程为),(),(trHtrti47哈密顿函数哈密顿函数2121( , )2NiNiiPHU r rrt 3 3多粒子体系的多粒子体系的

40、SchrSchrdingerdinger方程方程2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程iiiPPi SchrSchrdingerdinger方程方程1212( , , )( , , )NNr rr tiHr rr tt 哈密顿算符哈密顿算符22121( , , )2NiNiiHU r rr t 48 （1 1）SchrSchrdingerdinger作为一个作为一个基本假设基本假设提出来，它提出来，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而得到证实得到证实。注 意注 意 （2 2）SchrSchrdingerdinger方程在非相对论量子力学中的方

41、程在非相对论量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿, ,只要给只要给出粒子在出粒子在初始时刻初始时刻的波函数，由方程即可求得粒的波函数，由方程即可求得粒子在以后任一时刻的波函数。子在以后任一时刻的波函数。2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程492.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程502.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律1 1几率守恒定律几率守恒定律由由Schrdinger方程方程 222iUt （1） ttt*2*( , )( , )( , ) ( , )r tr tr tr t则则设设 是粒子状态的归一化波函数是粒

42、子状态的归一化波函数 ( , )r t22iiUt *2*2iiUt 取复共取复共轭轭 讨论粒子在一定空间区域内出现的几率随时间变化讨论粒子在一定空间区域内出现的几率随时间变化代入（代入（1 1）式后，有）式后，有 51*22*2it *2i （2）*2iJ令令J J的物理意义？的物理意义？几率连续性方程几率连续性方程（3）0Jt（2 2） 几率连续性方程与经典电动力学中的电流连续方几率连续性方程与经典电动力学中的电流连续方程程 （电荷守恒定律微分表示）具有相同（电荷守恒定律微分表示）具有相同的形式的形式。 ( (3)3)式也称为几率守恒定律的微分表示。式也称为几率守恒定律的微分表示。0eeJ

43、t2. 2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续1 1）52当当 时时V (4) (4)式表明式表明: :粒子单位时间在内出现的几率的增量粒子单位时间在内出现的几率的增量等于单位时间内流入内的几率等于单位时间内流入内的几率( (负号表示流入负号表示流入) ) 。VV 0ddtd(4)(4)式02ddtd即即表明粒子的总几率不表明粒子的总几率不变变, ,即几率守恒。即几率守恒。表明波函数归一化不表明波函数归一化不随时间改变，其物理随时间改变，其物理意义是粒子既未产生意义是粒子既未产生也未消灭。也未消灭。2. 2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续）J

44、 J 的含义：称为几率流密度，表示粒子单位时间通的含义：称为几率流密度，表示粒子单位时间通过单位垂直面积的几率。过单位垂直面积的几率。（3 3）式对空间）式对空间V V作体积分作体积分VVdJdt0(4)(4)VSddJ dSdt 53补充知识在闭区域 中积分，根据Gauss公式：SmtiSd)(2d*2*（4）矢量散度的体积分等于矢量的面积分，有的表面是其中S54量子力学的量子力学的电荷密度电荷密度),(),(tretre),(),(trtr),(),(trJetrJe),(),(trJtrJ量子力学的量子力学的质量流密度质量流密度量子力学的量子力学的电流密度电流密度量子力学的量子力学的质量

45、密度质量密度2 2电荷守恒定律，质量守恒（粒子数守恒）电荷守恒定律，质量守恒（粒子数守恒）设粒子的电荷为，质量为设粒子的电荷为，质量为e0eeJt0Jt量子力学的量子力学的电荷守恒律电荷守恒律量子力学的量子力学的物质守恒律物质守恒律2. 2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续）553 3波函数的标准条件波函数的标准条件（1 1）根据）根据BornBorn统计解释：统计解释： 是粒子在是粒子在时刻出现在时刻出现在 点的几率点的几率，这是一个确定的数，所以要求应是，这是一个确定的数，所以要求应是 的的单值函数且有限。单值函数且有限。2( , )( , )r tr trt(

46、, )r t( , )r t（2 2）根据几率密度和几率流密度的连续）根据几率密度和几率流密度的连续 : :在全部变量区域内波函数在全部变量区域内波函数 必须是连续的，且必须是连续的，且其微商一般也应连续。其微商一般也应连续。概括之，波函数在全空间每一点应满足概括之，波函数在全空间每一点应满足单值、有限、单值、有限、连续连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。三个条件，该条件称为波函数的标准条件。2. 2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续）56例题例题2.2 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：由下列定态波函数计算几率流密度： 从所得结果说明表示向外传播的球面波

47、，表示向内从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内( (即向原点即向原点) ) 传播的球面波。传播的球面波。ikrikrerer1)2( 1)1(21 解：解： 在球坐标中在球坐标中 分量只有和rJJ21sinr1er1err057例题例题rmrkrmrkrrikrrrikrrmirerrererrermimiJikrikrikrikr30202201*1*111 )11(1)11(12 )1(1)1(12 )(2 ) 1 ( 可见，rJ与1同向，表示向外传播的球面波 。 58例题例题rmrkrmrk r)r1ikr1(r1)r1ikr1(r1m2i r)er1(rer1)er1(rer1

48、m2i )(m2iJ )2(3020220ikrikrikrikr*2*222 可见，rJ与2反向，表示向内(即向原点) 传播的球面波。 592.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程1 1定态，定态波函数定态，定态波函数),(),(2),(22trtrUttri（1） 221( )2i dfU rEf dt （2） ( , )( ) ( )r tr f t若若 与与 无关，则可以分离变量无关，则可以分离变量，令令)(rUt (2)代入代入(1) 式，两边同除式，两边同除 ，得到，得到( ) ( )r f t222U(r)(r) E (r) （3） 等式两边是相互无等式两边是相互无关的物理量

49、，故应关的物理量，故应等于与等于与 无关的无关的常数常数r t、( )dfiE f tdt（4） 60( )iE tf tCe（5） ( , )( )iE tr tr e（6） (5)代入代入(2) 式，得到式，得到 可见分离变量中引入的常数可见分离变量中引入的常数 为粒子的能量，当为粒子的能量，当粒子处在由波函数粒子处在由波函数（6 6）所描述的状态时，粒子的能所描述的状态时，粒子的能量量 有确定的值，这种状态称为有确定的值，这种状态称为定态定态；描述定态的；描述定态的波函数波函数（6 6）称为称为定态波函数。定态波函数。EE定态波函数定态波函数2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（

50、续续1 1） 当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间空间波函数波函数 由方程（由方程（3 3）决定。）决定。)(r22 (7)2(r )(r(r )E)U 定态薛定谔方程定态薛定谔方程61 1 ) E 具有能量的量纲 所以E 代表粒子的能量 2 ) C 可以是复数 3 ) 从推导过程可知 方程(4)的解与具体势函数无关 所以在类似问题中作为已知结果使用 4 ) 物理上主要任务是解方程(3)-振动因子iE tf (t )Ce讨论/E=Ede Broglie能量式622.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续3 3）2 2定态定态SchrSchrd