2019届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4二次函数性质的再研究与幂函数学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.4 二次函数与幂函数 最新考纲 考情考向分析 1.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质 2.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题 3.了解幂函数的概念 4.结合函数 y x， y x2， y x3， y 1x， y 12x的图象，了解它们的变化情况 . 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度 . 1 二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式： f(x) ax2 bx

2、c(a0) 顶点式： f(x) a(x m)2 n(a0) ，顶点坐标为 (m， n) 零点式： f(x) a(x x1)(x x2)(a0) ， x1， x2为 f(x)的零点 (2)二次函数的图像和性质 解析式 f(x) ax2 bx c(a0) f(x) ax2 bx c(a0， 0，当 ? abc 且 a b c 0， 则它的图像可能是 ( ) 答案 D 解析 由 a b c 0 和 abc 知， a0， c0，排除 C. 6已知函数 y x2 2x 3 在闭区间 0， m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为_ 答案 1,2 解析 如图，由图像可知 m 的取值范围是 1,2

3、 题型一 求二次函数的解析式 典例 (1)已知二次函数 f(x) x2 bx c 满足 f(0) 3，对任意 x R，都有 f(1 x) f(1x)成立，则 f(x)的解析式为 _ 答案 f(x) x2 2x 3 解析 由 f(0) 3，得 c 3， 又 f(1 x) f(1 x)， 函数 f(x)的图像关于直线 x 1 对称， b2 1， b 2， f(x) x2 2x 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)已知二次函数 f(x)与 x 轴的两个交点坐标为 (0,0)和 ( 2,0)且有最小值 1，则 f(x)_. 答案 x2 2x 解析 设函数的解析式为 f(x) ax(x 2)，

4、 所以 f(x) ax2 2ax，由 4a0 4a24a 1， 得 a 1，所 以 f(x) x2 2x. 思维升华 求二次函数解析式的方法 跟踪训练 (1)已知二次函数 f(x) ax2 bx 1(a， b R 且 a0) ， x R，若函数 f(x)的最小值为 f( 1) 0，则 f(x) _. (2)若函数 f(x) (x a)(bx 2a)(a， b R)是偶函数，且它的值域为 ( ， 4，则该函数的解析式 f(x) _. 答案 (1)x2 2x 1 (2) 2x2 4 解析 (1)设函数 f(x)的解析式为 f(x) a(x 1)2 ax2 2ax a， 由已知 f(x) ax2 b

5、x 1， a 1， 故 f(x) x2 2x 1. (2)由 f(x)是偶函数知 f(x)图像关于 y 轴对称， a ? ? 2ab ，即 b 2， f(x) 2x2 2a2， 又 f(x)的值域为 ( ， 4， 2 a2 4，故 f(x) 2x2 4. 题型二 二次函数的图像和性质 命题点 1 二次函数的图像 典例 (2017 郑州模拟 )对数函数 y logax(a 0且 a1) 与二次函数 y (a 1)x2 x在同一坐标系内的图 像可能是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 A 解析 当 0 a 1 时， y logax 为减函数， y (a 1)x2 x 开口向下，其对称

6、轴为 x 12?a 1? 0，排除 C， D；当 a 1 时， y logax 为增函数， y (a 1)x2 x 开口向上，其对称轴为 x 12?a 1? 0，排除 B.故选 A. 命题点 2 二次函数的单调性 典例 函数 f(x) ax2 (a 3)x 1 在区间 1， ) 上是减少的，则实数 a 的取值范围是( ) A 3,0) B ( ， 3 C 2,0 D 3,0 答案 D 解析 当 a 0 时， f(x) 3x 1 在 1， ) 上递减，满足题意 当 a0 时， f(x)的对称轴为 x 3 a2a ， 由 f(x)在 1， ) 上是减少的知? a2x m 恒成立，则实数m 的取值范

7、围是 _ 答案 ( ， 1) 解析 f(x)2x m 等价于 x2 x 12x m，即 x2 3x 1 m0， 令 g(x) x2 3x 1 m， 要使 g(x) x2 3x 1 m0 在 1,1上恒成立， 只需使函数 g(x) x2 3x 1 m 在 1,1上的最小值大于 0 即可 g(x) x2 3x 1 m 在 1,1上是减少的， g(x)min g(1) m 1. 由 m 10，得 m0，则实数 a 的取值范围为 _ 答案 ? ?12， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意得 a 2x 2x2对 1 x 4 恒成立， 又 2x 2x2 2? ?1x 12 2 12， 14 1

8、x 1， ? ?2x 2x2 max 12， a 12. 题型三 幂函数的图像和性质 1幂函数 y f(x)经过点 (3， 3)，则 f(x)是 ( ) A偶函数，且在 (0， ) 上是增函数 B偶函数，且在 (0， ) 上是减函数 C奇函数，且在 (0， ) 上是减函数 D非奇非偶函数，且在 (0， ) 上是增函数 答 案 D 解析 设幂函数的解析式为 y x ，将 (3， 3)代入解析式得 3 3，解得 12， y 12x ，故选 D. 2若四个幂函数 y xa， y xb， y xc， y xd在同一坐标系中的图像如图所示，则 a， b， c，d 的大小关系是 ( ) A d c b a

9、 B a b c d C d c a b D a b d c 答案 B 解析 由幂函数的图像可知，在 (0,1)上幂函数的指数越大，函数图像越接近 x 轴，由题图知a b c d，故选 B. 3若 (2m 1)12 (m2 m 1)12 ，则实数 m 的取值范围是 ( ) A.? ? ， 5 12 B.? ?5 12 ， C ( 1,2) D.? ?5 12 ， 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 因为函数 y 12x 的定义域为 0， ) ， 且在定义域内为增函数， 所以不等式等价于? 2m 10 ，m2 m 10 ，2m 1m2 m 1.解 2m 10 ，得 m 12；

10、解 m2 m 10 ，得 m 5 12 或 m 5 12 . 解 2m 1m2 m 1，得 1m2， 综上所述， 5 12 m2. 思维升华 (1)幂函数的形式是 y x ( R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式 (2)在区间 (0,1)上，幂函 数中指数越大，函数图像越靠近 x 轴 (简记为 “ 指大图低 ”) ，在区间 (1， ) 上，幂函数中指数越大，函数图像越远离 x 轴 (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用 典例 (12 分 )

11、设函数 f(x) x2 2x 2， x t， t 1， t R，求函数 f(x)的最小值 思想方法指导 研究二次函数的性质，可以结合图像进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图像的影响，进行分类讨 论 规范解答 解 f(x) x2 2x 2 (x 1)2 1， x t， t 1， t R，函数图像的对称轴为 x 1.2 分 当 t 1 1，即 t 0 时，函数图像如图 (1)所示，函数 f(x)在区间 t， t 1上为减函数， 所以最小值为 f(t 1) t2 1； 5 分 当 t1 t 1，即 0 t1 时，函数图像如图 (2)所示，在对称轴 x 1 处取得最小值，最小值为 f(1) 1； 8 分