2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.8立体几何中的向量方法二求空间角学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.8 立体几何中的向量方法 (二 ) 求空间角和距离 最新考纲 考情考向分析 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的计算问题 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 . 本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想、转化与化归思想 . 1两条异面直线所成角的求法 设 a， b 分别是两异面直线 l1， l2的方向向量，则 l1与 l2所成的角 a 与 b 的夹角 范围 ? ?0， 2 0，

2、 求法 cos |a b|a|b| cos a b|a|b| 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ， a 与 n的夹角为 ，则 sin |cos | |a n|a|n|. 3求二面角的大小 (1)如图 ， AB， CD 分别是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 AB ， CD =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)如图 ， n1， n2分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大小 满足 |cos | |cos n1， n2 |，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角 (或其

3、补角 ) 知识拓展 利用空间向量求距离 (供选用 ) (1)两点间的距离 设点 A(x1， y1， z1)，点 B(x2， y2， z2)，则 |AB| |AB | ?x1 x2?2 ?y1 y2?2 ?z1 z2?2. (2)点到平面的距离 如图所示，已知 AB 为平面 的一条斜线段， n 为平面 的法向量，则 B 到平面 的距离为 |BO | |AB n|n| . 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 ( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面 所成的角 ( ) (3)两个平面的

4、法向量所成的角是这两个平面所成的角 ( ) (4)两异面直线夹角的范围是 ? ?0， 2 ，直线与平面所成角的范围是 ? ?0， 2 ，二面角的范围是 0， ( ) (5)若二面角 a 的两个半平面 ， 的法向量 n1， n2所成角为 ，则二面角 a 的大小是 .( ) 题组二 教材改编 2已知两平面的法向量分 别为 m (0,1,0)， n (0,1,1)，则两平面所成的二面角为 ( ) A 45 B 135 C 45 或 135 D 90 答案 A 解析 cos m， n mn|m|n| 11 2 22 ，即 m， n 45. 两平面所成二面角为 45. 3.如图，正三棱柱 (底面是正三角

5、形的直棱柱 )ABC A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 _ 答 案 6 解析 以 A 为原点，以 AB ， AE (AE AB)， AA1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴 (如图 )建立空间直角坐标系，设 D 为 A1B1的中点， 则 A(0,0,0)， C1(1， 3， 2 2)， D(1,0,2 2)， AC1 (1， 3， 2 2)， AD (1,0,2 2) C1AD 为 AC1与平面 ABB1A1所成的角， cos C1AD AC1 AD|AC1 |AD | ?1， 3， 2 2?

6、?1， 0， 2 2?12 9 32 ， 又 C1AD ? ?0， 2 ， C1AD 6. 题组三 易错自纠 4在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BCA 90 ， M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点， BC CA CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 ( ) A.110 B.25 C. 3010 D. 22 答案 C 解析 以点 C 为坐标原点， CA， CB， CC1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系 =【 ;精品教育资源文库 】 = 设直三棱柱的棱长为 2，则可得 A(2,0,0)， B(0,2,0)， M(1,1,2)， N(

7、1,0,2)， BM (1，1,2)， AN ( 1,0,2) cos BM ， AN BM AN|BM |AN | 1 412 ? 1?2 22 ? 1?2 02 22 36 5 3010 . 5已知向量 m， n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量，若 cos m， n 12，则l 与 所成的角为 _ 答案 30 解析 设 l 与 所成角为 ， cos m， n 12， sin |cos m， n | 12， 0 90 ， 30. 6 (2018 马 鞍山月考 )过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA 平面 ABCD，若 AB PA，则平面ABP 与平面 CDP 所成的角为

8、_ 答案 45 解析 如图，以点 A 为坐标原点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB PA 1， 则 A(0,0,0)， D(0,1,0)， P(0,0,1)， 由题意，知 AD 平面 PAB，设 E 为 PD 的中点，连接 AE，则 AE PD， 又 CD 平面 PAD， CD AE，从而 AE 平面 PCD. AD (0,1,0)， AE ? ?0， 12， 12 分别是平面 PAB，平面 PCD 的法向量，且 AD ， AE 45. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故平面 PAB 与平面 PCD 所成的角为 45. 题型一

9、求异面直线所成的角 典例 如图，四边形 ABCD 为菱形， ABC 120 ， E， F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE平面 ABCD， DF 平面 ABCD， BE 2DF， AE EC. (1)证明：平面 AEC 平面 AFC； (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 (1)证明 如图所示，连接 BD，设 BD AC G，连接 EG， FG， EF. 在菱形 ABCD 中，不妨设 GB 1. 由 ABC 120 ， 可得 AG GC 3. 由 BE 平面 ABCD， AB BC 2，可知 AE EC. 又 AE EC，所以 EG 3，且 EG AC. 在 Rt EBG 中

10、，可得 BE 2，故 DF 22 . 在 Rt FDG 中，可 得 FG 62 . 在直角梯形 BDFE 中，由 BD 2， BE 2， DF 22 ，可得 EF 3 22 ，从而 EG2 FG2 EF2，所以 EG FG. 又 AC FG G， AC， FG 平面 AFC， 所以 EG 平面 AFC. 因为 EG 平面 AEC，所以平面 AEC 平面 AFC. (2)解 如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB， GC 所在直线为 x 轴， y 轴， |GB |为单位长度，建立空间直角坐标系，由 (1)可得 A(0， 3， 0)， E(1,0， 2)， F? ? 1， 0， 22 ， C(0，

11、 3，=【 ;精品教育资源文库 】 = 0)， 所以 AE (1， 3， 2)， CF ? ? 1， 3， 22 . 故 cos AE ， CF AE CF|AE |CF | 33 . 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 33 . 思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系 (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量 (3)利 用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值 (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值 跟踪训练 (2017 广东五校诊断 )如图所示，菱形 ABCD 中， ABC 60 ， AC

12、 与 BD 相交于点 O， AE 平面 ABCD， CF AE， AB AE 2. (1)求证： BD 平面 ACFE； (2)当直线 FO 与平面 BED 所成的角为 45 时，求异面直线 OF 与 BE 所成角的余弦值的大小 (1)证明 四边形 ABCD 是菱形， BD AC. AE 平面 ABCD， BD 平面 ABCD， BD AE. 又 AC AE A， AC， AE 平面 ACFE， BD 平面 ACFE. (2)解 以 O 为原点， OA， OB 所在直线分别为 x 轴， y 轴，过 O 且平行于 CF 的直线为 z 轴 (向=【 ;精品教育资源文库 】 = 上为正方向 )，建立

13、空间直角坐标系，则 B(0， 3， 0)， D(0， 3， 0)， E(1,0,2)， F(1,0， a)(a0)， OF ( 1,0， a) 设平面 EBD 的法向量为 n (x， y， z)， 则有? n OB 0，n OE 0，即 ? 3y 0，x 2z 0， 令 z 1，则 n ( 2,0,1)， 由题意得 sin 45 |cos OF ， n | |OF n|OF |n| |2 a|a2 1 5 22 ， 解得 a 3 或 a 13(舍去 ) OF ( 1,0,3)， BE (1， 3， 2)， cos OF ， BE 1 610 8 54 ， 故异面直线 OF 与 BE 所成角的余

14、弦值为 54 . 题型二 求直线与平面所成的角 典例 (2016 全国 ) 如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA 底面 ABCD， AD BC， AB AD AC 3，PA BC 4， M 为线段 AD 上一点， AM 2MD， N 为 PC 的中点 (1)证明： MN 平面 PAB； (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)证明 由已知得 AM 23AD 2. 取 BP 的中点 T，连接 AT， TN，由 N 为 PC 的中点知 TN BC， TN 12BC 2. 又 AD BC，故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是

15、MN AT. 因为 AT 平面 PAB， MN?平面 PAB，所以 MN 平 面 PAB. (2)解 取 BC 的中点 E，连接 AE. 由 AB AC 得 AE BC， 从而 AE AD， AE AB2 BE2 AB2 ? ?BC2 2 5. 以 A 为坐标原点， AE， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 由题意知， P(0,0,4)， M(0,2,0)， C( 5， 2,0)， N? ?52 ， 1， 2 ， PM (0,2， 4)， PN ?52 ， 1， 2 ， AN ?52 ， 1， 2 . 设 n (x， y， z)为平面 PMN 的法向量，则 ? n PM 0，n PN 0，即? 2y 4z 0，52 x y 2z 0，