寿险精算学分析课件.ppt

1、Acturial Mathematics(寿险精算学)第三章Net Single Premium of Life Insurance人寿保险趸缴纯保费的厘定本章结构v人寿保险趸缴纯保费厘定原理vthe principal of net single premiunv死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定vnet single premium paid at the monent of deathv死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定vnet single premium paid at the end of the year of deathv递归方程vrecursion equationsv计算基数v

2、commutation functions第二章中英文单词对照一v趸缴纯保费v精算现时值v死亡即刻赔付保险v死亡年末给付保险v定额受益保险vNet single premiumvActuarial present valuevInsurances payable at the moment of death vInsurances payable at the end of the year of deathvLevel benefit insurance第二章中英文单词对照二v定期人寿保险v终身人寿保险v两全保险v生存保险v延期保险v变额受益保险vTerm life insurancevWh

3、ole life insurancevEndowment insurancevPure endowment insurancevDeferred insurancevVarying benefit insurance第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理 1、人寿保险简介v什么是人寿保险狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。2、人寿保险的分类v受益金额是否恒定定额受益保险 level benefit insura

4、nce 变额受益保险varying benefit insurancev保单签约日和保障期期始日是否同时进行非延期保险non-deferred insurance延期保险 deferred insurancev保障标的的不同人寿保险life insurance生存保险pure endowment insurance两全保险 endowment insurancev保障期是否有限 定期寿险 term year insurance 终身寿险whole life insurance3、人寿保险的性质v保障的长期性(long term )这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。v保

5、险赔付金额和赔付时间的不确定性(uncertain of the size and time of payment)人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。v被保障人群的大数性(large number of the insured)这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。4、趸缴纯保费的厘定v4.1假定条件(assumptions)假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经

6、验生命表进行拟合(fitting)。假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。4、趸缴纯保费的厘定v4.2厘定原则保费净均衡原则解释v所谓净均衡原则(it is net because it has not been loaded)，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值(expectation of the present value of the net premium equals expectation of the present value of the payment)。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现

7、时值 4、趸缴纯保费的厘定v4.3基本符号v 投保年龄 的人。v 人的极限年龄v 保险金给付函数。v 贴现函数。v 保险给付金在保单生效时的现时值)(xxtbtvtztttvbz4、趸缴纯保费的厘定v趸缴纯保费的定义在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值 v趸缴纯保费的厘定按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于()tE z第二节死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定1、死亡即刻赔付(payable at the moment of death)v死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保

8、险公司通常采用的理赔方式。由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。2、主要险种的趸缴纯保费的厘定vn年期定期寿险n-year term life insurancev终身寿险whole life insurancev延期m年的终身寿险m-year deferred whole life insurancevn年期生存保险n-year pure endowment vn年期两全保险n-year endowment v延期m年的n年期的两全保险m-year deferred n-year endo

9、wmentv递增终身寿险increasing whole life insurancev递减n年定期寿险decreasing n-year term insurance2.1、n年定期寿险v定义保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险(the insurer provides for a payment only if the insured dies within the n-year term)。v假定： 岁的人，保额1元n年定期寿险v基本函数关系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtnzbvtnbtnt

10、n2.1、n年定期寿险v趸缴纯保费的符号：v厘定：1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtnttxxtntTnttnx0001:)()(2.1、n年定期寿险v现值随机变量的方差公式v记（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）v所以方差等价为 20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVarExample2.1.1vifvshow( )1 , 01001000.1xS xxi 130:101 (2)( )tAVar z（）solutions010101013030:100010

11、21122230:1030:1000102()1(1)( )( )1001.111( )1.1 0.0927070 ln1.112( )() 1.10.092701.211 0.0920.05570 ln1.21xttttttS xtf tS xxAv ft dtdtVar zAAdt （ ）2.2、终身寿险v定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种(the insurer provides for a payment following the death of the insured at any time in the future)。v假定： 岁

12、的人，保额1元终身寿险v基本函数关系)(x , 0 , 01 , 0 tttttttvvtzbvvtbt2.2、终身寿险v趸缴纯保费的符号：v厘定：xA000( )( )xttTtttxx ttxx tAE zz ft dtvpdtepdt2.2、终身寿险v现值随机变量的方差公式v记v所以方差等价为 22220( )()( )( )( )ttttTtVar zE zE zeft dtE z220( )txTAeft dt22)()(xxtAAzVarExample 2.2.1v设(x)投保终身寿险，保险金额为1元v保险金在死亡即刻赔付v签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为v计算1 , 060(

13、t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)( )(3)Pr()0.9.xtAVar zz（）的solutions0606002260220120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAeft dteedtVar zAAedtAee（ ）solutions0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvft dtvveExample2.2.2vAssume that each of 100 indepen

14、dent livesis age xis subject to a constant force of mortality,=0.04 and is insured for a death benefit amount of 10 units,payable at the moment of deathvThe benefit payment are to be withdrawn from an investment fund earing =0.06. Calculate the minimum amount that at t=0 so that the probability is a

15、pproximately 0.95 that sufficient funds will be on hand to withdraw the benefit payment at the death of each individual2.3、延期终身寿险v定义保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种(provide for a benefit following the death of of the insured only if the insured dies at least m years after policy issue)。v假定： 岁的人，

16、保额1元，延期m年的终身寿险v基本函数关系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm2.3 、延期终身寿险v趸缴纯保费的符号：v厘定：xmA001:( )( )( )( )mxttTmmtTtTxx mAE zz ft dtz ft dtz ft dtAA2.3、延期终身寿险 v现值随机变量的方差公式v记v所以方差等价于2222( )()( )( )( )ttttTtmVar zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22( )()txxmmVar zAA例2.3.1v假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。v保险金

17、在死亡即刻赔付。v已知v求：0.040.06( ),0 xS xex，t10(1) (2)Var(z )xA例2.3.1答案0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)( )0.04( )0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16( )()0.0288tTtttxmtttxmtxxmmS xtfteS xAeedtedteAeedtVar zAA exercisevConsider a 5-year deferred whole life insurance payable at the moment of the deat

18、h of (x),the individual is subject to a constant force of mortality =0.04,for the distribution of the present value of the benefit payment,at =0.10,calculateexpectaionvariacemedian2.4、n 年定期生存保险v定义被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险（the insurer provides for a payment at the end of the n years if and onl

19、y if the insured survives at least n years from the time of policy issue）。v假定： 岁的人，保额1元，n年定期生存保险v基本函数关系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , ntnttttvvtvtnzbvtnbtntn2.4、 n 年定期生存保险v趸缴纯保费的符号：v趸缴纯保费厘定v现值随机变量的方差：1: x nA1:( )nnx ntnxnxAE zvpep222112:( )()()nntnxnxx nx nVar zvpvpAA2.5、n年定期两全保险v定义被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡

20、，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。(provide for an amount to be payable either following the death of the insured or upon the survival of the insured to the end of the n-year term,whichever occurs first)。v假定： 岁的人，保额1元，n年定期两全保险v基本函数关系)(x , , , , 1 , 0tttntttntvtnvvtnzb vvtnvtnbt2.5 n年定期两全保险v趸

21、缴纯保费的符号：v厘定记：n年定期寿险现值随机变量为 n年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为 已知则: x nA1z2z3z312zzz11:312()()()x nx nx nE zE zE zAAA2.5 n年定期两全保险n年定期两全险现值随机变量的方差可计算为因为所以31212121212()( )()( ,)( )()()( )()Var zVar zVar zCov z zVar zVar zE zzE zE z120zz1 1312:()()()x nx nVar zVar zVar zAA例2.5.1（例2.1.1续）v设v计算( )1 , 01001000.

22、1xS xxi 30:101 (2)( )tAVar z（）例2.5.1答案1130:101101030:1010301130:1030:1030:10212030:10210301130:1031230:100.092( )0.05560(1)1.10.33700.422(2)( )0.0185( )( )( )0.0431tttttAVar zAvpAAAVar zvpAVar zVar zVar zAA由例2.1已知：2.6、延期m年n年定期两全保险v定义被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险v假定： 岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险

23、v基本函数关系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttm nttttm ntvtmntmvvtmnzbvvtmntmvtmnbtm 2.6、延期m年n年定期两全保险v趸缴纯保费的符号：v厘定:mx nA:11:m ntm nmxntxx ttxx tmm nmx nmxnAv pdtvpdtAA2.6、延期m年n年定期两全保险v记： m年延期n年定期寿险现值随机变量为 m年延期n年定期生存险现值随机变量为 m年延期n年定期两全险现值随机变量为 已知则现值随机变量的方差1z2z3z312zzz11:312:()( )()mx nmx nVar zVar zVar zAAexercis

24、ev例：考虑一个50岁的人，其死亡服从 v计算下列五种保险计划的趸缴净保费，保额均为1000元，在死亡发生时立即给付。五年定期寿险终身寿险五年生存保险五年两全保险五年延期终身寿险1100 xx，2.7、递增终身寿险v定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数v特别：一年递增一次(provide 1 at the moment of death during the first year,2 at the moment of the second year and so on)一年递增m次(the benefit will be 1/m at the m

25、oment of death during the first mth of a yearof the term of the insurance and increasing by 1/m at mthly intervals throughout the term of the insurance)一年递增无穷次（连续递增）(the limiting case of the mthly increasing )2.7.1一年递增一次v现值随机变量v趸缴保费厘定1ttztv012301211()( )11233txttxx tttttxx ttxx ttxx tkttxx tkkIAE zt

26、vpdtVpdtVpdtVpdtkVpdt 2.7.2一年递增m次v现值随机变量v趸缴保费厘定()01111()( )mtxttxx tmk smmttxx tksmk smmtIAE zvpdtmmksvpdtm 1ttmtzvm2.7.3一年递增无穷次（连续递增）v现值随机变量v趸缴保费厘定ttztv000|00( )tttxtxx ttxx tttxx tsxsIAtvpdtdsV pdtV pdtdsAds ，积分变换后例2.7.1v例：Z是（x）的n年定期寿险，bt为死亡时给付额的现值随机变量，计算Var(Z)，其中 bt=(1+i)tv提示：tttZ =b V1 (0)tn 0 1

27、 0 nxnxZt npZt nq ， ，2.8、递减定期寿险v定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数v特别：一年递减一次(provide n at the moment of the death during the first year,n-1 at moment of death during the second year and so on)一年递减m次(the benefit will be 1/m at the moment of death during the first mth of a yearof the term of

28、the insurance and decreasing by 1/m at mthly intervals )一年递减无穷次（连续递减） (the limiting case of the mthly decreasing )2.8.1一年递减一次v现值随机变量v趸缴保费厘定 ,0,ttntvtnztn 1:01201111()( )(1)(1)tttxx txnnttttxx ttxx ttxx tnknttxx tkkDAE znt vpdtnV pdtnV pdtV pdtn kvpdt 2.8.2一年递减m次v现值随机变量v趸缴保费厘定,0,tttmnvtnzmtn()1:0111(

29、)( )1nmtttxx tx nmk smnmttxx tksmk smtmDAE znvpdtmsnvpdtm 2.8.3一年递减无穷次（连续递减）v现值随机变量v趸缴保费厘定(),0,ttnt vtnztn1:0()( )()ntttxx tx nDAE znt vpdt3、计算未来给付现值随机变量zt的高阶矩tttt0t0 Z =b V bbttxx tkkkttxx tE ZVpdtE ZVpdt假定利息保持不变3、计算未来给付现值随机变量zt的高阶矩v若 ，则 的计算结果只须将 的计算结果中的换为k即可，无需重新计算，这是一种很直接的运算技巧，比如ttbbkkE ZE(Z)2222

30、() ()(2 )()() ()()xxkkxxxE ZAE ZAE ZA kVar ZAA利息力 换为倍第三节死亡年末赔付趸缴纯保费的厘定1、死亡年末赔付（payable at the end of the year of death）v死亡年末赔付的含义 死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式

31、是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式。 2、基本符号v 岁投保的人整值剩余寿命v 保险金在死亡年末给付函数v 贴现函数。v 保险赔付金在签单时的现时值。v 保险赔付金在签单现时值的期望。kxK)(kbkvkzkkkzbv()kE zx3、定期寿险死亡年末赔付场合v基本函数关系记k为被保险人整值剩余寿命，则11 , 0,1,11 , 0,1,10 , , 0,1,10 , kkkkkkkvvknknbknvknzb vkn3、定期寿险死亡年末赔付场合v趸缴纯保费的符号：v厘定：111:0111:0()nkkkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd1: x nA3

32、、定期寿险死亡年末赔付场合v现值随机变量的方差公式v记v等价方差为1222(1)20()()()()nkkkkkxx kkkVar zE zE zvpqE z1212(1):0nkkxx kx nkAvpq2112:()()kx nx nVar zAA4、死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期寿险延期m年的终身寿险n年期两全保险延期m年的n年期两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险kxxkkkxqpvA0111:0nknkxxknxx nkAvpqvp1kxkxxkmkmAvpq11:m nkm nkxx km nxmx nk mAvp qvp 111:mnkkxxkmx nk

33、mAvp q111:00()(1)kxkxx kjxjkjIAkvpqA11111:00()()nnkkxx kx nx njkjDAnk vpqA例3.4.1v（x）岁的人投保5年期的定期寿险，保险金额为1万元，保险金死亡年末给付，按美国示例生命表计算（1）20岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（2）60岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（3）20岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。（4）60岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。例3.4.1答案4411120:52.5%002345120:56%160:52.5%60:56%(1)10000100001000099

34、.0569102.0149105.2582108.8135112.7102100009617850.912 1000048.363 10000739.664 10000kkx kkxx kkkxdAvp qvlvvvvvAAA同理可得（ ）（ ）（ ）1703.37例3.4.2v例：如果死亡服从 ，利率为0.04，并且设利率为0.04时， ，计算100 xlx100.6765V 13 0 :1 0A例3.4.2答案911|3030:10030301|303091130:101001010030(100301)1100301003011100307011110.67650.116 70700.0

35、4kkkkkkkkAVqllkkqlAVaVi 例3.4.3v有一份保险，若（80）在第（k+1）年死亡，（k=0,1,2），则在其死亡年末支付k+1，假设（1）V=0.925 （2）v则该保险的趸缴净保费为4，计算当 时，该保险的趸缴保费。800.1q800.2q 例3.4.3答案1|80023801|802|802380808180818223480808181822818380808080()(1)2323(234)0.1 0.9250.09250.943.90750.90.2 0.kxkkIAkVqVqVqVqVqVp qVpp qVqpV qVp qVp qVqp QqVQQqV当时

36、，得当9253.9075()0.9250.20.83.65810.9xIA时5、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)v以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：v在UDD假设下，k, s为相互独立的随机变量，且s服从均匀分布 1111010111100()()()1 (1)|lnlnTKSsxxxssE vE vE viAAvdsAVVViiVdsVV其中1111122() () ZTksksxkxAE ZZVVVVAE ZV5、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)v在满足如下两个条件的情况下，死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年末赔

37、付净趸缴纯保费的 倍。条件1：条件2： 只依赖于剩余寿命的整数部分，即 i,lnttvvv tb*1tKbb5、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD) 1 1: |: |111 1: |: |: |: |1111: |: |: |: | ()() ()() ()()x nxxnxnxx nm nxm nxx nmx nx nmx nmx nxxx nx nx nx niiiAAAAAAAAiiAAAAAiiiI AIAI AIADADA5、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)v对于连续递增的连续型和离散型趸缴保费，由于其支付额并不满足v的关系式，因此相互关

38、系要复杂一些*1tKbb11111102()()()(1)(1)(1)(1)()(1)()()(1)()(1)(1)()tksksksksksxksxsxxxxIA xE tVEks VEksVEkVEsViIAEsVViIAE VEsViIAAsVdsiiiIAA例3.5.1v（x）岁的人投保5年期的两全保险，保险金额为1万元，保险金死亡即刻给付，按附录美国示例生命表计算（1）20岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（2）60岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（3）20岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。（4）60岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。例3.5.1答案

39、120:5 2.5%11120:5 2.5%20:5 2.5%20:5 2.5%120:5 2.5%155205205 2.5%1120205 2.5%20:5 2.5%5 2.5%(1)0.0050910.005154ln(1)1000051.5495650.15100008790.04961781000010000()8841.582AiiAAAiAAvpvAAA：再求（ ）20:5 6%60:5 2.5%60:5 6%100009431.993 100008881.344 100009404.59AAA（ ）（ ）例3.5.2v对（50）岁的男性第一年死亡即刻给付5000元，第二年死亡即

40、刻给付4000元，以此按年递减5年期人寿保险，根据附录美国示例生命表，以及死亡均匀分布假定，按年实质利率6%计算趸缴纯保费。例3.5.2答案307.88(100008837. 0)5(0297087. 1(06. 1ln06. 0(106. 05504050501106. 0550106. 0550106. 0550：）ADldvkDADAiADkkkexercisevCalculate the net single premium and the variance for a 10000,3-year endowment insurance providing the death benef

41、it at the moment of death for a male aged at 35 at issue of the policy.use the illustrative life table, the uniform distribution of deaths assumption and i=0.06第四节递推公式Recursion equations1、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形1|0231|2|23122231121kxkxkxxxxxxxxxxxxxxxxAVqVqVqVqVqV p qVp qVqp V qV pqVqVpA1、终身寿险离散型趸缴纯保费递推

42、公式及变形v公式一：v理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于(x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年的情况下净趸缴保费 。 1xxxxAvpvqA1xA1、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形1111111111 1(1)(1)()(1)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxAVqVp Al Al Vql Vp AliAl qlqAl AdAldAdAlAd（个体）（保单组）（）1、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形v公式二：v解释： 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费 ，还可以为

43、所有在当年去世的被保险人提供额外的 。 1111(1)(1)xxxxxxxxxli Al AdAlAdxl1xA11xA1、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形v公式三：v解释：年龄为x的被保险人在活到x+1岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。 1(1)xxxxxAAiAqA1、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形v公式四：v解释(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和。 1111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxyxyyxxxyAAiAqAAi AqAv AvAv qAAv

44、 qAAvqA xy-1两 边 同 时 乘 以 v将 x=y至对 方 程 进 行 累 加-v所 以2、其他保单类型离散型趸缴纯保费递推公式11:1:1 11 111:1:11 1:1:1xxx nxnnnnxxnxxx nxnxxxnx nx nxnAVqVp AAVpV VppVp AAAAVqVp A依照先前类似推倒有而由上面两式可得，1|121111111|1()kmxkxkmmmmxxmmxxmmmmxxmxmxxmmmxxmx mxAVqVp qVp qVp qVpVpqVp qV pA2、其他保单类型离散型趸缴纯保费递推公式11|102311|12|1231122131|0231|

45、2|231222112()(1)2323()(1)232323kxkxkxxxxxxxxkxkxkxxxxxxxxxxxxxxxIAkVqVqVqVqVqV pqVpqIAkVqVqVqVqVqV p qVp qVqVpVqV pqVqVp11()xxIAA2、其他保单类型离散型趸缴纯保费递推公式111:1:11:111:1:1()()()()xxx nxnxnxxx nxnIAVqVpIAADAnVqVpDA类似地，我们可以推导出Example4.2.1vIf 150:1515110004996.7510005.581000249.050.06 1000()AAishowIA50（IA）so

46、lutions5050505151150505050:151511000()10001000()1000100010005.580.937821000()249.051000()5073IAvqvpIAAvqAvpvvqIAIA，有带入条件有4996.75=5.58+0.93782exercisev简化111:1/( )xxxAIAAx（IA）第五节计算基数Commutation functions1、常用计算基数v计算基数引进的目的：简化计算v常用基数：10000 N (1)xxxxxxxx kxx kkkxx kx kkkCvdDv lMCDRMkC2、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费1

47、|011|0011001kxkxkkkx kxx kkkxxkxkxx kx kkxxkxxxxxxxAVqVlqVdllVdVdl Vl VCCMDD 2、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费111|:01111|0011110nkkxx nkkknnx kxx kkkxxkxnx kxxx nxkxxxx nxAVqVlqVdllVdCCCl VDMMD 2、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费1|01|010121()(1)(1)(1)23kxkxkx kx kxxkxkxx kxkxxxxxxxxxxIAkVqkVlqV lkVdl VCCCDMMRDD 2、用计算基数表示常见险种的趸缴纯

48、保费111|:011012112111()(1)(1)23nkkxx nkx knx kxkxxxxx nxxx nxx nxx nx nx nxxxx nx nxIAkVqkVdV lCCCnCDMMMMMMMMDMMMnMD 2、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费1:xx nx nxMMADxxxDMA 1:x nxnxDAD:xx nx nx nxMMDAD1:x mx m nmx nxMMAD:x mx m nx m nmx nxMMDAD1:()xx nx nx nxRRnMIAD111:()()xxx nx nxnMRRDAD 例5.2.1v考虑第1年死亡即刻赔付10000，第2年死亡即刻赔付9000元并以此类推递减人寿保险。按附录2生命表及i=0.06计算（30）的人趸缴纯保费。v（1）保障期至第10年底v（2）保障期至第5年底例5.2.1答案49.80)(1006.1ln06.01000)(ln1000)(1000130413130110:30110:30DRRMDAiiAD）（69.58)(51006. 1ln06. 01000)(5 ln1000)(5 10002303631353015 :3015 :3015 :3015 :30DRRMMDAAiiADA）（