[精选]控制系统的状态空间描述-资料课件.ppt

1、2022-6-82022-6-81 11、状态变量和状态变量模型2、状态空间表达式的建立3、状态空间表达式的线性变换4、传递函数矩阵5、组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵 第一章第一章 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述2022-6-82022-6-82 2第一节第一节 动态系统的状态变量动态系统的状态变量和状态变量模型和状态变量模型2022-6-82022-6-83 3动力学系统：能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。 ：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，t=t0时刻的初始状态能记忆系统在 t=t0时输入的时间函数，那么，系统在t=t0任何瞬

2、间的行为就完全确定。：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。2022-6-82022-6-84 4：以状态变量 为坐标轴构成的n维空间。在某一特定时刻 ，状态向量 是状态空间的一个点。)(),.,(),(21txtxtxnt)(tX X：以 为起点，随着时间的推移， 在状态空间绘出的一条轨迹。)(tX X)()(0ttX XX X ：把 几个变量看成向量 的分量，则 称为状态向量。记作：)(),.,(),(21txtxtxn)(tX X)(tX X )()(1txtxnX(t)X(t)或：)().,(),()(21txtxtxtnT X X2

3、022-6-82022-6-85 5：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：niuuuxxxfxrnii,.,2 , 1),;,(2121 其中n是状态变量个数，r是输入变量个数； 是线性或非线性函数。ifrnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax 221122112222121222212121212111121211112022-6-82022-6-86 6,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa

4、A系系表征各状态变量间的关表征各状态变量间的关系统矩阵系统矩阵维维,nn ,212222111211 nrnnrrbbbbbbbbbB作用作用表征输入对每个变量的表征输入对每个变量的输入矩阵输入矩阵维维,rn uBxAxrnnn 状态向量状态向量维维1,21 nTnxxxx 输入向量输入向量维维1,21 ruuuuTr2022-6-82022-6-87 7：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：mjuuuxxxgyrnjj,.,2 , 1),;,(2121 其中n是状态变量个数，r是输入变量个数，m是输出变量个

5、数， 是线性或非线性函数。igrmrmmnmnmmmrrnnrrnnududubxcxcxcyudududxcxaxayudududxcxcxcy 221122112222121222212121212111121211112022-6-82022-6-88 8,212222111211 mnmmnncccccccccC量量的的关关系系表表征征输输出出和和每每个个状状态态变变输输出出矩矩阵阵维维nm ,212222111211 mrmmrrdddddddddD0,通常通常传递关系传递关系表征输入对输出的直接表征输入对输出的直接直接转移矩阵直接转移矩阵又称为又称为前馈矩阵前馈矩阵维维Drm 将通

6、式化为矩阵形式有：其中：uDxCyrmnm 输出向量输出向量维维1,21 mTmyyyy2022-6-82022-6-89 9(2)状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯一。(1)为描述系统方便，经常用 代表一个动力学系统。( , ,)A B C D：将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下： DuCxyBuAxx ：A、B、C、D矩阵含义同上。2022-6-82022-6-81010(3) 定常系统： A,B,C,D各元素与时间无关； 时变系统： A,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数； 定常系

7、统 ； 时变系统(5)系统输出与状态的区别： 系统输出：希望从系统中测得的信息，物理上可以量测到； 系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。( , ,)A B C D( ( ), ( ),( ),( )A tB t C tD t(4)非线性系统状态空间表达式： 和 是x与u的某类非线性函数。可以用线性系统来近似。ifig2022-6-82022-6-81111由电路知识，可列出以下方程：ccCuiLiRiuu例用RLC网络说明如何用状态变量描述动力学系统。ucuRLCi（1）状态变量的选择不是唯一的，但个数是唯一的。 线性非奇异变换是最直接的佐证。（2）状态变量的个数等于系统独立

8、的储能元件的个数。（3）状态变量可以完整地描述系统的时域行为。2022-6-82022-6-81212（2）如果令状态变量为： ，则：12,ccxu xu 122121111ccxxRRxuiuixxuCCLCLCLLCL 有：112201011xxuRxxCLLCL简写为：xAxBu（1）令状态变量为： ，则：12,cxu xi12212111xxCRxxxuLLL 有：112210011xxCuxRxLLL简写为：xAxBu2022-6-82022-6-81313 系统动态方程的模拟结构图系统动态方程的模拟结构图 ： ik 积分器比例器加法器注：1、积分器个数与状态变量个数一致。 2、加法

9、器不标“”、“”号，一律默认为加法“”。：B BC CA AD Dx xyu 2022-6-82022-6-81414第二节第二节 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立1、由系统物理机理建立动态方程2、由微分方程建立动态方程3、由传递函数建立动态方程（系统实现问题）4、由结构图建立动态方程2022-6-82022-6-81515建立状态空间表达式的前提 系统储能元件的输出 系统输出及其各阶导数 使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）建立状态空间表达式，定量分析，定性分析，设计2022-6-82022-6-81616电路如图1所示。请建立该电路以电压u1,u2为输入

10、量，uA为输出量的状态空间表达式。L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1图1L11) 选择状态变量 两个储能元件L1和L2，可以选择i1和i2为状态变量，且两者是独立的。2022-6-82022-6-817172）根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：21212222121212111)()()(21uRiiuRiLuRiiuRiiLuAdtdidtdi 右回路右回路左回路左回路 整理得：21211212121112122212121111111uRiRiuuiiuuiiALLRRLRdtdiLLLRLRdtdi 2022-6-82022-6-818183）状态空间表达式为： 212

11、111211112121100211221211111uuiiRRuuuiiiiALLLLRRLRLRLR2022-6-82022-6-81919 R-C-L 网络如图2所示。e(t)-输入变量， -输出变量。试求其状态空间描述 )(2tuR1.)确定状态变量 两个储能元件C和L，故选 和 为状态变量，组成状态向量 x= licuculi)(teR1LucuR2R2ciciL图22022-6-82022-6-820202.)根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程： 左回路左回路右回路右回路)()(12tedtdiLiiRdtdiLiRuLLCLcC将 代入上式，消去中间变量 ，并整理得：

12、cidtducicc )()()()()()(1)()(121221212112121121teLRRRiLRRRRuLRRRdtditeCRRiCRRRuCRRdtduLCLLCC )()()(1)()()()(121221212121121121teLRRRCRRiuLRRRRLRRRCRRRCRRiuLCLC 所以状态方程为：2022-6-82022-6-82121右电路图可知:)(2122121212222teRRRiRRRRuRRRdtduCRiRuLCCCR )(21221212122teRRRiuRRRRRRRuLCR 所以输出方程为： 212212121221221212121

13、121121,)()(1,)()()()(1RRRDRRRRRRRCLRRRCRRBLRRRRLRRRCRRRCRRA所以系统各矩阵为：2022-6-82022-6-82222试列出在外力f作用下，以质量 的位移 为输出的动态方程。21,MM21, yy1v2v1k2k1y2y1M2M1B2Bf该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：2241132211,vyxvyxyxyx 11yk11yB )(122yyB )(122yyk f1M2M质量块受力图如下：2022-6-82022-6-82323则有：112212211111()()M ykyyByyB yk y及：22221221()(

14、)M yfByykyy将所选的状态变量2241132211,vyxvyxyxyx 代入上式并整理出状态方程得： 2211xyxy输出方程：1324122122312341111222241234222221 xxxxkkkBBBxxxxxMMMMkkBBxxxxxfMMMMM状态方程：2022-6-82022-6-82424写成矩阵形式：1221221111222222222001000001001 kkkBBBXXfMMMMkkBBMMMMM 432100100001xxxxy2022-6-82022-6-82525线性定常系统的状态空间表达式为ububububyayayaynnnnnnn0

15、1) 1(1)(01) 1(1)( 在经典控制理论中,控制系统的时域模型为：:选取适当的状态变量,并由 定出相应的系数矩阵A、B、C、D.), 1 , 0(),1(njbniaji DuCxyBuAxx 1、微分方程中不包含输入函数的导数项2、微分方程中包含输入函数的导数项此处仅讨论SISO系统，MIMO系统见传递函数最小实现。2022-6-82022-6-82626微分方程形式: buyayayaynnn 01)1(1)(，化为状态变量 的一阶微分方程组。nxxx,21 若给定初始条件 则系统行为被完全确定。 故选择 为系统的一组状态变量输出及其各阶导数)1(, nyyyy )(0)0(,)

16、,0(),0()1(tutyyyn的的输输入入及及 )1(21nnyxyxyx 令:2022-6-82022-6-82727 ubxaxaxayxxyxxyxxyxnnnnnnn12110)1(13221 状态方程为: 输出方程为:ubxxxaaaxxxnnn 00100102111021 xy001 注意：第一能观标准型，见后。2022-6-82022-6-82828 状态变量是输出y及y的各阶导数。 系统矩阵A特点：主对角线上方1个元素为1，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，友矩阵或相伴矩阵。 没有零点，输入和输出间无直接传递关系。 b0a 2x1uy1xnxnx 1 nx1

17、a 1 na2 na2022-6-82022-6-82929 设系统输入-输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。uyyyy5342 若选 ，可导出系数矩阵A，B，Cyxyxyx 321, 243100010A 001 C 500B 53 2x1uy1x 3x42 3x 2022-6-82022-6-83030微分方程形式：ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)( 022110111.)()(asasasbsbsbsbsusynnnnnnnnn 第一种方法：取拉氏变换后，用传递函数的可控标准型实现第二种方法：用可观标准型实现注：两种方法见传递函数的直接实现一

18、节。2022-6-82022-6-83131传递函数的实现方式： 1）直接分解（可控标准型、可观标准型） 2）串联分解 3）并联分解（对角线标准型、约当标准型）传递函数实现方法很多，为了和第3章传递函数（阵） 的最小实现相结合，此处给出几种和教材不同的实现 方法。2022-6-82022-6-83232022110111.)()()(asasasbsbsbsbsusysGnnnnnnnnn )(sz)()()()()(suszszsysG 引入中间变量 ，有：令：0111.)()(bsbsbsbszsynnnn 传递函数为：0111.1)()(asasassusznnn 注意：如果分母中 的系

19、数不为1，则先化为1。ns2022-6-82022-6-83333选择状态变量如下：)1(321, nnzxzxzxzx 对应的微分方程分别为（2）式左边不含有导数项）：)2()()(.)()()()1()()(.)()()(01)1(1)(01)1(1)(tzatzatzatztutzbtzbtzbtzbtynnnnnnn 则： nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxbabxbabxbabubxbxbxbxbxbyxaxaxaxaxauzxxxxxxx)()()(111221001021121102123121)(132212022-6-82022-6-83434写成矩阵形式

20、有：uxxxxaaaaxxxnnn 100010000001000010321121021 ubxxxxbabbabbabynnnnnnn 321111100第二能控标准型，见后。当 时有：0 nb 0110 DbbbCn2022-6-82022-6-835352022-6-82022-6-83636例：求 的状态空间表达式。2012841284)()()(232 ssssssusysG解：分子、分母同除以4得：53232)()()(232 ssssssusysG可得：,235100010 A 100B 123 C0 D2022-6-82022-6-83737对应的微分方程为：ubububub

21、ubyayayayaynnnnnnnnnnn01)2(2)1(1)(01)2(2)1(1)( 022110111.)()()(asasasbsbsbsbsusysGnnnnnnnnn 注意：如果分母中 的系数不为1，则先化为1。ns传递函数为：2022-6-82022-6-83838状态变量选择如下： ubyxububyayxubububyayayxububububyayayxububububyayayxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn111212122)4(2)3(1)2(2)3(1)2(21)3(2)2(1)1(1)2(1)1(1 ubabxaxubyaxxub

22、abxaxubyaxxubabxaxubyaxxubabxaxubyaxxubabxayaubxubxynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)()()()()(1111111222222212222222311111112000001整理可得：2022-6-82022-6-83939写成矩阵形式有：ubabbabbabbabxxxxaaaaxxxxnnnnnnnnnnn 112211001211210121100010001000 ubxxxxynnn 1211000第二能观标准型（对偶于第二能控标准型），见后。当 时有：0 nb 0110 DbbbBTn2022-6-82

23、022-6-840402022-6-82022-6-84141例：求 的状态空间表达式。2012841284)()()(232 ssssssusysG解：分子、分母同除以4得：53232)()()(232 ssssssusysG可得：,210301500 A 123B 100 C0 D2022-6-82022-6-84242)()()(sUpspzsUsY 思路：首先整理上式得：pszssUsYsG )()()(1）2022-6-82022-6-84343 pz y xp x u模拟结构图：)(1)(sUpssX 令)()()()(sUsXpzsY 则：对上两式进行拉氏反变换，可得到如下的状态

24、空间描述： uxpzyupxx)(1)2022-6-82022-6-84444)()(sUpspzsX 令模拟结构图：pz y xp x u：再次表明了状态空间描述的非唯一性)()()(sUsXsY uxyupzpxx)(对上两式进行拉氏反变换，得到如下的状态空间描述：(2)则：2022-6-82022-6-84545psksUsYsG )()()( ky xp x u模拟结构图：)(1)(sUpssX 令)()(skXsY 则： kxyupxx 对上两式进行拉氏反变换，可得到如下的状态空间描述：(3)2022-6-82022-6-84646)()(sUpsksX 令 kyxp x u模拟结构

25、图：无零点与有零点的不同，D0。 以上变换等同于传递函数的有效变换。)()(sXsY 则： xykupxx 对上两式进行拉氏反变换，可得到如下的状态空间描述：(4)2022-6-82022-6-84747nmmmnnpspspszspszsabsUsYsG 11)()()(1111）对传递函数进行因式分解；2）画模拟结构图，并选择状态变量； （使用预备知识讲述的两种子系统，并从右至左对每个子系统选择状态变量x1、x2、x3、。）3）由模拟结构图直接得到状态空间表达式。2022-6-82022-6-84848 求以下传递函数的状态空间表达式。25462)()()(23 sssssUsYsG1）首

26、先进行因式分解，得到：)2(1)1(1)1(32)2)(1)(1(32)()()( sssssssssUsYsG2）画模拟结构图：y 3x2 3x 2x1 2x 1x1 1x u222022-6-82022-6-849493）写出动态方程： 321321321001220100210012xxxyuxxxxxx根据3个子系统分配的位置不同，可以写出不同的动态方程2022-6-82022-6-85050nnnkkkkkkknkkknnnnbpscpscpscpscpscpscpspspspsbsbsbsbsUsYsG 22111112112110111)()()()()()()()()(不失一般

27、性，讨论此系统：也有一个k重极点：nkkppp ,211p 既有互异极点： 整理得：)1()()()()()(1111sUbsUpscsUpscsYnnkiiikjjkj 2022-6-82022-6-85151)2(), 2, 1()(1)(nkkisUpssXii )3(), 2, 1(nkkiuxpxiii 令拉氏反变换可得：系数 为待定系数，其中 ，采用计算：icni,.2 , 1 kjjpsjpssGdsdjLimCkj)( )()!1(1,.,2, 11111 时时，当当)(lim,.,2, 1ipsipssGcnkkii 时时，当当2022-6-82022-6-85252令)4(

28、),.,2, 1()()(1)(11kjsUpssXjkj )1,.,2, 1()()(1)(11 kjsUpssXjkj则：)5()()(1)()1,.,2, 1(1)()(111 kjsUpssXkjpssXsXjjj联立上两式得：)6()()1, 2, 1(111 kjuxpxkjxxpxjjjjj拉氏反变换可得：)7(),.,2 , 1()()()(nisUbsXcsYniii 联立(1)、(2)、(4)可得：2022-6-82022-6-85353ubxxxcccyuxxxxxxppppppxxxxxxnnnnkkknkknkkk 21212121211112121111100000

29、01001由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述为：2022-6-82022-6-854542022-6-82022-6-85555 设 ,试求其状态空间描述。61166)()()(23 ssssUsYsG 因式分解得 , 故求得系数c为3)3()3)(2)(1(6)3)(6)2()3)(2)(1(6)2)(3)1()3)(2)(1(6)1)(333222111 ssssLimssGLimcssssLimssGLimcssssLimssGLimcssssss)3)(2)(1(6)()()( ssssUsYsG 321321321363111300020001xxxyuxxxxxx状态空间描述

30、为：2022-6-82022-6-85656四、由结构图求动态方程四、由结构图求动态方程uy4k111sTk122sTksTk33结构图如下：利用串联分解中的预备知识，将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换。u11Tks111T22Tk3x 3x1x 2x 2x1xs121T33Tks14ky等效变换如下：2022-6-82022-6-85757图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图：则有：2131xTkx 3222221xTkxTx uTkxTxTkkx1131111431 1xy 写成矩阵形式：uTkxxxTTkkTkTTkX 1132111412223300101000

31、 Xy001 2022-6-82022-6-85858q 由系统的机理列写动态方程：物理方程的列写，状态变量的选择（任意，个数确定）q 由微分方程写动态方程：不含输入导数项：选输出及其各阶导数为状态变量； 含有输入导数项：能观标准型或转变为传递函数后，用能 控标准型；q 由传递函数求动态方程： （特殊形式：标准型）三种实现方式，直接、并联或串联实现q 由结构图求动态方程：将结构图等效为比例环节和积分环节的形式，选择积分环节后的变量为状态变量2022-6-82022-6-85959第三节第三节 动态方程的线性变换动态方程的线性变换1、将状态空间表达式变换成对角线标准型2、将状态空间表达式变换成约

32、当标准型3、将状态空间表达式变换成能控、能观标准型2022-6-82022-6-86060 线性非奇异变换线性非奇异变换 ：如果P是一个非奇异阵，则将 变换称为线性非奇异变换。xPx ：212121)(xxxPxPxxP kxxkPxkP )(叠加原理齐次性条件通过线性变换，可将状态方程变成对角线或约当标准型。系统状态空间表达式的非唯一性：同一系统的不同状态变量可通过线性变换互相得到。xPx1 xPx 1 PP2022-6-82022-6-86161两组状态变量的关系： DuCxyBuAxx xPx uDxCyuBxAx其中：DDCPCBPBAPPA ,11P不同则得到不同的 。,ABCD例：

33、关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性 30,02,3120 CBA考虑系统 为：( ,)A B C非奇异变换后 ( ,)A B C2022-6-82022-6-862621）若选非奇异变换阵P为： 0226P 3110211P 06,10,3210 CBA结论：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性2）若选非奇异变换阵P为： 1112P 21111P 33,22,2001 CBA2022-6-82022-6-86363对于系统矩阵A，若存在一非零向量 ，使得： 系统的特征值和特征向量系统的特征值和特征向量 vAv 则： 矩阵A的特征值（A特征方程的根）矩阵A的特征方程0| AI AI

34、 矩阵A的特征矩阵矩阵A对应于特征值 的特征向量v 矩阵A的特征多项式0111|aaaAInnn v使 ，则称 为A的对应于 的特征向量。设 为A的一个特征值，若存在某个n维非零向量iviiivAv ：i nivvvvTniiii, 3 , 2 , 1,21 ivi 2022-6-82022-6-864641）一个n维系统的 方阵A，有且仅有 n 个独立的特征值。nn 3）对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。 2）A为实数方阵，则n个特征值或为实数，或为共轭复数对。 系统2: 特征多项式 ， 传递函数阵 系统1: 特征多项式 ， 传递函数阵 |AI ( ,)A B C( ,)A

35、B C|AI )(sG)(sG则： 且 |AIAI )()(sGsG 其中： DBAsICsG 1)()( ，证明作为课后练习。（注：传递函数阵的不变性等到第4节讲完后，再行证明）2022-6-82022-6-865655）若系统矩阵A具有形式： 110100001000010naaaA0111|aaaAInnn 则其特征多项式为：特征方程为：0|0111 aaaAInnn 4）设 为系统矩阵A的特征值, 是A属于特征值的特征向量。当 两两相异时， 线性无关，因此由这些特征向量组成的矩阵P必是非奇异的。n ,21nvvv,21n ,21 nnnnnnnvvvvvvvvvvvvP21222211

36、121121nvvv,212022-6-82022-6-866661）先求出系统矩阵A的所有特征值。2）对于每个特征值，计算其特征向量。 ：对于每个特征值，其独立特征向量个数为)(AIrankni 矩阵特征值的代数重数和几何重数：矩阵重特征值 的总重数，称为 的代数重数，如3重特征值的代数重数为3。 称为 的几何重数(即独立特征向量个数)。循环矩阵：满足以下条件的矩阵：即矩阵所有互不相同的特征值，各自只对应一个线性独立的特征向量。或者其所有特征值的几何重数都为1，即 ，只要有一个重特征值，其几何重数大于1，就是非循环矩阵。ii)(AIrankni i()1inrankIA矩阵A为循环矩阵的条件

37、：1）A的所有特征值互异；2）A有重特征值，但所有重特征值的几何重数都为1。2022-6-82022-6-86767 6116100010A 求下列矩阵A的特征向量。1) 计算特征值 A的特征方程为：0| AI A的特征值： , ，11 22 33 2）计算特征向量 特征向量：11 TvvAI)111(0)(111 特征向量：22 TvvAI)421(0)(222 特征向量：23 TvvAI)931(0)(333 2022-6-82022-6-868681）先求出系统矩阵A的所有特征值。2）每个特征值，计算其特征向量。由此组成非奇异变换阵P。 化为对角线标准型的条件：1）A的所有特征值互异；2

38、）A有重特征值，但所有重特征值的几何重数和代数重数相等。即特征值的代数重数和它对应的独立特征向量数相等。在这两种情况下，A独立的特征向量的个数仍然为n个。1,3()2rankIA 200010101A3,3() 1rankIA121 23 ，2个独立特征向量，1个独立特征向量2022-6-82022-6-86969 对于线性定常系统 ，如果A特征值 互异，则必存在非奇异变换矩阵P，通过变换 ，将原状态方程 化为对角线规范形式 。n ,21xPx ( ,)A B C( ,)A B C( ,)A B C： CPCBPBAPPAn ,001211 由特征值性质4)知，由A特征向量构成的矩阵 是非奇异

39、的，故可选P为变换阵。 nvvvP21 3）由变换矩阵P和矩阵A，B，C求出 ，其中对角阵 可以由特征值直接写出，只需求出 即可。 CBA,ACB,2022-6-82022-6-87070APPA1 nnnnnnnPvvvvvvAvAvAvvvvAAP 112122112121上式两端左乘 得：1 P1122110000nnP APP P特征值定义iiivAv 2022-6-82022-6-87171 线性定常系统 ，其中： 将此状态方程化为对角线标准型.BuAxx 327,120010112BA当 时， 2)确定非奇异矩阵P 21 020300120030110312121312131211

40、1vvvvvvvv 1, 1, 2112120010112321 AI1)求其特征值:2022-6-82022-6-87272为为任任意意常常数数113121, 0vvv 0011v取: 0220302200001133222322212322212vvvvvvvv当 时，12 0,123222 vvv取: 1102v 1013v同理当 时，得:13 2022-6-82022-6-87373 110010111,1100101011321PvvvP并求得并求得所以有所以有11200010001111720102201135 AP APBP BBA,3）求uxx 522100010002对角线标

41、准型为：2022-6-82022-6-87474证明：略(提示，根据特征值和特征向量的定义证明)。对线性定常系统，如果其特征值 互异，则将系统状态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵P是一个，具有如下形式：n ,21 112112222121111nnnnnnP 2022-6-82022-6-87575线性定常系统 ，其中将状态方程化为对角线标准型. 1579,212100010BABuAxx 01122223 AI1, 1, 2321 由特征值性质5）有：得：2022-6-82022-6-87676 61213121213131123222132110,114112111111PP求得求得 说明

42、： 的另一种求法：求得特征值后，可以直接写出对角线标准型的 ，所以 可以用待定系数法求得。1 PA1 PAPPAAPPA111 可可得得：由由所以A和 已知，可以解出A1 P2022-6-82022-6-87777故在本例中： 21210001010001000211PP 212100010100010002333231232221131211333231232221131211pppppppppppppppppp 333233313323222321231312131113333231232221131211222222222pppppppppppppppppppppppp由上式得：求得：

43、61213121213131110P2022-6-82022-6-87878 2521579101000100026121312121313111BPBAPPABA,系统状态方程对角线标准型为：uxx 2521000100022022-6-82022-6-87979以后不特别指明，A的每个重特征值各自仅对应一个独立的特征向量，等同于每个约当块仅有一个线性独立的特征向量。此时进行线性变换，需增加广义特征向量，来构成Q变换阵。1,3() 1rankIA 200310211A3,3() 1rankIA121 23 ，1个独立特征向量，1个独立特征向量化为约当标准型的条件：A有重特征值，且A特征值对应

44、的独立特征向量的个数小于n。即A的某些重特征值，其几何重数小于其代数重数。A有重特征值，且A特征值对应的独立特征向量的个数小于n。2022-6-82022-6-88080：由约当块组成的准对角线矩阵。nnlAAAA 21nmmmliAlimmiiiii 21), 2 , 1(11其中：其中： ： 是约当块块数，等于 独立特征向量的个数。 即每个约当块有且仅有一个线性独立的特征向量。lA由此看出，对角阵是一种特殊形式的约当矩阵。2022-6-82022-6-88181：对角线标准型：各状态变量间是完全解耦的。约当标准型：各状态变量间最简单的耦合形式，每个变量至多和下一个变量有关联。：约当块阶数

45、等于特征值重数的条件是对应该重特征值的独立特征向量的个数为1个，即 。im：当某个重特征值的重数为3，而对应于该特征值的独立特征向量数为2时，约当块块数为2。 此时：3,221 mml且且某个重特征值对应多个约当块i i i i i i ()1inrankIA2022-6-82022-6-88282 DuCxyBuAxx 其中：xQx uDxCyuBxAx DDCQCBQBAQQA ,11讨论的前提： 每个重特征值只对应一个独立特征向量的情况，只有一个约当块。 假设系统有 个特征值。l) 1 (21 lAAAA)2(), 2 , 1(11ljAjjmmjjjj 则：的的变变换换阵阵为为对对应应

46、于于其其中中jjlAQQQQQ, 21 )3(2 , 1, 21ljvvvQjmjjjj 2022-6-82022-6-88383：要确定Q，必须推导出 ，目的是确定 个广义特征向量jQ1 jmAQAQ 21lQQQQ )4(2121llQQQAAQQQ 将式(1)代入(4)得：)5(212211lllAQAQQAAQAQAQ 即：)6(), 2 , 1(ljAQAQjjj )7(), 2 , 1(112121ljvvvAvvvjmjjjjjjmjjjj 将(2)(3)代入上式(6)得：2022-6-82022-6-88484由式(7)可以解出：jmjmjjjjjjjjvvAIvvAIvAI)

47、1(121)()(0)( ： 对应于 的特征向量，其余为广义特征向量。这些向量构成 。jv1j jQ21jmjjjjvvvQ ：2022-6-82022-6-88585 阵的求法分为两块，一块是互异部分；另一块是重根部分。Q则 的求法为： )1(1)(11)1(1)2(11)1(11)()(0)(mmQQAIQQAIQAI由此求得：)(1)1(1,mQQ)(1)1(1,mQQ：Q的求解步骤假设系统有m个重特征根 ，其余为n-m个互异特征根，则1 nmmQQQQQQ1)(1)2(1)1(1 上式中， 为重根对应的特征向量； 为互异特征根对应的特征向量。)1( ,)(1miQi )1( ,nmjQ

48、j 设：2022-6-82022-6-886861）先求出系统矩阵A的所有特征值。2）对于每个特征值，计算其特征向量，对于重特征值，还要计算其广义特征向量。并由此组成非奇异变换阵Q。 3）由变换矩阵Q和矩阵A，B，C求出 ，其中约当矩阵 可以由特征值直接写出，只需求出 即可。 CBA,ACB, 线性定常系统状态空间表达式为： 将此化为约当标准型.xyuxx0015156128100010 2022-6-82022-6-887870)2(812661281001det323 AI.3,211 m即即三重根三重根 1)确定系统特征值2)确定系统特征向量，得到Q04128120012)(312111

49、11 vvvvAI 4211v 04128020231211131212111vvvvvvv时时111 v 4214128120012)(132221221vvvvvAI 44128221232221232222212vvvvvvv4102v时时012 v2022-6-82022-6-88888 144012001|,144012001*1321QQQvvvQ并求得并求得所以： 20012001214401200161281000101440120011AQQA 21955151440120011BQB 001144012001001 CQC3）求CBA, xCyuBxAx 约当标准型为： ，

50、其中 如上。CBA, 4104128120012)(233231331vvvvvAI 44128120233231333232313vvvvvvv 1003v时时013 v2022-6-82022-6-88989试将下列状态方程化为约当标准型：uxx 100032100010求特征值：1,23| 01,2,IA 另一广义特征向量：(2)(1)(2)1111()(101)TIA QQQ （二重根）时的特征向量为：(1)(1)111()0(11 1)TIA QQ11 特征向量：32333()0(124)TIA QQ2022-6-82022-6-89090 4112011113)2(1)1(1QQQ