2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.1 平面向量的概念及线性运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解向量的实际背景 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 3.理解向量的几何表示 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义 . 主要考查平面向量的线性运算 (加法、减法、数乘向量 )及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目偶尔会在解答题中作为工具出现 . 1向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有

2、 大小 ，又有 方向 的量；向量的大小叫作向量的 长度 (或称 模 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0 单位向量 长度等于单位 1 的向量 非零向量 a 的单位向量为 a|a| 平行向量(共线向量 ) 表示两个向量的有向线段所在的直线平行 或 重合 0 与任一向量 平行 或共线 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 相等 且方向 相反 的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律 =【 ;精品教育资源文库 】 = 运算 加法 求两个向量和的运算 (

3、3)交换律： a b b a； (4)结合律： (a b) c a (b c) 减法 求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算 a b a ( b) 数乘 求实数 与向量 a的积的运算 (6)| a| | |a|； (7)当 0 时， a 与 a 的方向 相同 ；当 0 时， a 与 a 的方向相反 ；当 0 时， a 0 (8) ( a) ( )a； (9)( )a a a； (10) (a b) a b 3.向量共线的判定定理 a 是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得 b a，则向量 b 与非零向量 a 共线 知识拓展 1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一

4、个向量终点的向量，即 A1A2 A2A3 A3A4 ? An 1An A1An ，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量 2 若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点，则 OP 12(OA OB ) 3.OA OB OC ( ， 为实数 )，若点 A， B， C 共线，则 1. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以 用有向线段来表示向量 ( ) (2)|a|与 |b|是否相等与 a， b 的方向无关 ( ) (3)若 a b， b c，则 a c.( ) (4)若向量 AB 与向量 CD 是共线

5、向量，则 A， B， C， D 四点在一条直线上 ( ) (5)当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b a，反之成立 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反 ( ) 题组二 教材改编 2已知 ?ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且 OA a， OB b，则 DC _， BC _.(用 a， b 表示 ) 答案 b a a b 解析 如图， DC AB OB OA b a， BC OC OB OA OB a b. 3在平行四边形 ABCD 中，若 |AB AD | |AB AD |，则四边形 ABCD 的形状为 _ 答案 矩形

6、 解析 如图，因为 AB AD AC ， AB AD DB ，所以 |AC | |DB |. 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形 题组三 易错自纠 4对于非零向量 a， b， “ a b 0” 是 “ a b” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 A 解析 若 a b 0，则 a b，所以 a b. 若 a b，则 a b 0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件 5设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实数 _. 答案 12 解析 向量 a， b 不平行， a 2b 0，又向量 a

7、b 与 a 2b 平行，则存在唯一的实数 ，使 a b (a 2b)成立，即 a b a 2 b，则? ，1 2 ， 解得 12. 6设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD 12AB， BE 23BC.若 DE 1AB 2AC ( 1， 2为实数 )，则 1 2的值为 _ 答案 12 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23(BA AC ) 16AB 23AC ， 1 16， 2 23，即 1 2 12. 题型一 平面向量的概念 1给出下列四个命题： 若 |a| |b|，则 a b； 若 A， B， C， D 是不共

8、线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； 若 a b， b c，则 a c； a b 的充要条件是 |a| |b|且 a b. 其中正确命题的序号是 ( ) A B C D 答案 A 解析 不正确两 个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； 正确 AB DC ， | AB | |DC |且 AB DC ， 又 A， B， C， D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形， 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则 AB DC 且 |AB | |DC |， AB DC ； 正确 a b， a， b 的长度相等且方向相同， 又 b c， b， c 的长

9、度相等且方向相同， a， c 的长度相等且方向相同，故 a c； 不正确当 a b 且方向相反时，即使 |a| |b|，也不能得到 a b，故 |a| |b|且 a b不是 a b 的充要条件，而是必要不充分条件 综上所述，正确命题的序号是 . 故选 A. 2设 a0为单位向量， 若 a 为平面内的某个向量，则 a |a|a0； 若 a 与 a0平行，则 a|a|a0； 若 a 与 a0平行且 |a| 1，则 a a0.上述命题中，假命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 向量是既有大小又有方向的量， a 与 |a|a0 的模相同

10、，但方向不一定相同，故 是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故 也是假命题综上所述，假命题的个数是 3. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是 方向和长度 (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制 (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等 (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度 (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线 题型二 平面向量的线性运算 命题点 1 向量的线性运算 典例 (1)在 ABC 中， AB c， AC b，若点 D 满足 BD 2DC ，则 AD 等于

11、 ( ) A.23b 13c B.53c 23b C.23b 13c D.13b 23c 答案 A 解析 BD 2DC ， AD AB BD 2DC 2(AC AD )， 3 AD 2AC AB ， AD 23AC 13AB 23b 13c. (2)(2017 青海西宁一模 )如图，在 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD 2DB，点 E 在 AD 边上，且 AD 3AE，则用向量 AB ， AC 表示 CE 为 ( ) A.29AB 89AC B.29AB 89AC =【 ;精品教育资源文库 】 = C.29AB 79AC D.29AB 79AC 答案 B 解析 由平面向量的三角形法

12、则及向量共线的性质可得 CE AE AC 13AD AC 13(AB 13BC ) AC 13? ?AB 13?AC AB ? AC 29AB 89AC . 命题点 2 根据向量线性运算求参数 典例 (1)在 ABC 中，点 M， N 满足 AM 2MC ， BN NC .若 MN xAB yAC ，则 x _， y _. 答案 12 16 解析 MN MC CN 13AC 12CB 13AC 12(AB AC ) 12AB 16AC xAB yAC ， x 12， y 16. (2)在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上 (与点 C，

13、D 不重合 )，若 AO xAB (1 x)AC ，则 x 的取值范围是 ( ) A.? ?0， 12 B.? ?0， 13 C.? ? 12， 0 D.? ? 13， 0 答案 D 解析 设 CO yBC ， =【 ;精品教育资源文库 】 = AO AC CO AC yBC AC y(AC AB ) yAB (1 y)AC . BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上 (与点 C， D 不重合 )， y ? ?0， 13 ， AO xAB (1 x)AC ， x y， x ? ? 13， 0 . 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则 (2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则 (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比 较，求参数的值 跟踪训练 (1)如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 上的一个靠近点 B 的三等分点，那么 EF 等于 ( ) A.12AB 13AD B.14AB 12AD C.13AB 12DA D.12AB 23AD 答案 D 解析 在 CEF 中，有 EF EC CF . 因为点 E 为 DC 的中点，所以 EC 12DC