2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形应用举例学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4.7 解三角形实际应用举例 最新考纲 考情考向分析 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 . 以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性题型主要为选择题和填空题，中档难度 . 实际测量中的常见问题 求 AB 图形 需要测量的元素 解法 求竖直高度 底部可达 ACB ， BC a 解直角三角形 AB atan 底部不可达 ACB ， ADB ， CD a 解两个直角三角形 ABatan tan tan tan 求水平距离 山两侧 ACB ，

2、AC b， BC a 用余弦定理 ABa2 b2 2abcos 河两岸 ACB ， ABC ， CB a 用正弦定理 AB asin sin? ? 河对岸 ADC ， BDC ， BCD ， ACD ， CD a 在 ADC 中， AC asin sin? ?； 在 BDC 中， BC asin sin? ?； 在 ABC 中，应用余弦定理求 AB =【 ;精品教育资源文库 】 = 知识拓展 实际问题中的常用术语 1仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 上方 叫仰角，目标视线在水平视线 下方 叫俯角 (如图 ) 2方向角 相对于某正方向的水平角，如

3、南偏东 30 ，北偏西 45 等 3方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图 ) 4坡度 (又称坡比 ) 坡面的垂直高度与水平长度之比 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为 180.( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 ? ?0， 2 .( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系 ( ) (4)方位角大小的范围是 0,2) ，方向角大小的范围一般是 ? ?0， 2 .( ) 题

4、组二 教材改编 2.如图所示，设 A， B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC的距离为 50 m， ACB 45 ， CAB 105 后，就可以计算出 A， B 两点的距离为 m. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 50 2 解析 由正弦定理得 ABsin ACB ACsin B， 又 B 30 ， AB ACsin ACBsin B 50 2212 50 2(m) 3.如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30 ，沿倾斜角为 15 的斜坡向上走 a 米到 B，在 B处测得山顶 P 的仰角为 60 ，则山高 h 米 答案 22 a 解析 由题图可

5、得 PAQ 30 ， BAQ 15 ， PAB 中， PAB 15 ， 又 PBC 60 ， BPA ( )90 ( )90 30 ， asin 30 PBsin 15 ， PB 6 22 a， PQ PC CQ PBsin asin 6 22 asin 60 asin 15 22 a. 题组三 易错自纠 4在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60 ， C 点的俯角是 70 ，则 BAC 等于 ( ) A 10 B 50 C 120 D 130 答案 D 5.如图所示， D， C， B 三点在地面的同一条直线上， DC a，从 C， D 两点测得 A 点的仰角分别为

6、60 ， 30 ，则 A 点离地面的高度 AB . 答案 32 a =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由已知得 DAC 30 ， ADC 为等腰三角形， AD 3a，所以在 Rt ADB 中， AB 12AD 32 a. 6在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向 是北偏东 30 ，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东 ，速度的大小为 km/h. 答案 60 20 3 解析 如图， AOB 60 ，由余弦定理知 OC2 202 202 800cos 120

7、1 200，故 OC 20 3， COy 30 30 60. 题型一 求距离、高度问题 1 (2018 吉林长春检测 )江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台 底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45 和 60 ，而且两条船与炮台底部连线成 30 角，则两条船相距 m. 答案 10 3 解析 如图， OM AOtan 45 30(m)， ON AOtan 30 33 30 10 3(m)， 在 MON 中 ， 由余弦定理得 ， MN 900 300 23010 3 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = 300 10 3 (m) 2 (2017 郑州一中月考 )如图所示，

8、在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 .已知铁塔 BC 部分的高为 h，则山高 CD . 答案 hcos sin sin? ? 解析 由已知得， BCA 90 ， ABC 90 ， BAC ， CAD . 在 ABC 中，由正弦定理得 ACsin ABC BCsin BAC， 即 ACsin?90 ? BCsin? ?， AC BCcos sin? ? hcos sin? ?. 在 Rt ACD 中， CD ACsin CAD ACsin hcos sin sin? ? . 故山高 CD 为 hcos sin sin? ? . 3 (2018

9、日照模拟 )一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 的方向上，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15 的方向上，这时 船与灯塔的距离为 km. 答案 30 2 解析 如图，由题意知， BAC 30 ， ACB 105 ， B 45 ， AC 60，由正弦定理得 BCsin 30 ACsin 45 ， BC 30 2(km) 思维升华 求距离、高度问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；=【 ;精品教育资源文库 】 = 若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解

10、(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如 果都可用，就选择更便于计算的定理 题型二 求角度问题 典例 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 的值为 答案 2114 解析 在 ABC 中， AB 40， AC 20， BAC 120 ， 由余弦定理得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos 120 2 800， 得 BC 20 7. 由正弦定理，得 ABsin ACB BCsin BAC，

11、 即 sin ACB ABBCsin BAC 217 . 由 BAC 120 ，知 ACB 为锐角，则 cos ACB 2 77 . 由 ACB 30 ，得 cos cos( ACB 30) cos ACBcos 30 sin ACBsin 30 2114 . 思维升华 解决测量 角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的 “ 联袂 ” 使用 跟踪训练 如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔

12、 A 在观察站 C的北偏东 40 的方向上，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60 的方向上，则灯塔 A 在灯塔 B 的 的方向上 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 北偏西 10 解析 由已知 ACB 180 40 60 80 ， 又 AC BC， A ABC 50 ， 60 50 10 ， 灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10 的方向上 题型三 三角形与三角函数的综合问题 典例 (2018 石家庄模拟 )在 ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边， (2a c)cos B bcos C 0. (1)求角 B 的大小； (2)设函数 f(x) 2sin xcos

13、 xcos B 32 cos 2x，求函数 f(x)的最大值及当 f(x)取得最大值时 x 的值 解 (1)因为 (2a c)cos B bcos C 0， 所以 2acos B ccos B bcos C 0， 由正弦定理得 2sin Acos B sin Ccos B cos Csin B 0， 即 2sin Acos B sin(C B) 0， 又 C B A， 所以 sin(C B) sin A. 所以 sin A(2cos B 1) 0. 在 ABC 中 ， sin A0 ， 所以 cos B 12， 又 B(0 ， )， 所以 B 3. (2)因为 B 3 ， 所以 f(x) 12sin 2x 32 cos 2x sin? ?2x 3 ， 令 2x 3 2k 2 (k Z)，得 x k 512(k Z)， 即当 x k 512(k Z)时， f(x)取得最大值 1. 思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题 跟踪训练 设 f(x) sin xcos x cos2? ?x 4 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为