2.5.1平面几何中的向量方法课件.ppt

1、天才是用劳动换来的天才是用劳动换来的。 备课：张正勇备课：张正勇一、向量有关知识复习一、向量有关知识复习（1）向量共线的条件）向量共线的条件:ab 与与 共线共线 ,0abR b （2）向量垂直的条件：）向量垂直的条件：0, 00bababa（3）两向量相等条件：）两向量相等条件：, baba且方向相同。且方向相同。11221 22 1( , ), ( , ), /0ax ybx ya bxyx y 11221 21 2( , ), ( , ), 0ax ybx ya bxxyy 11221212( , ), ( , ), ,ax ybx ya bxx yy 问题：问题：如图，你能发现平行四边

2、形对角线如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCD2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？222222BDACDACDBCAB ABCD例例1、证明平行四边形四边平、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD。求证求证：222222BDACDACDBCAB 分析：设分析：设 ,（选择这组基底）其（选择这组基底）其它线段对应向量用它们表示。它线段对应向量用它们表示。bADaAB , 例题例题思考思考1：题中的几何问题可转化为向量问题

3、吗？：题中的几何问题可转化为向量问题吗？ABDCbADaAB ,解解:设设 ，则，则 baDBbaACaDCbBC;,2222DACDBCAB22BDAC 222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB 例题例题已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD。求证求证：222222BDACDACDBCAB )(222ba 22baba思考思考2：向量也可以坐标运算，本题可以如何建立直角坐标系：向量也可以坐标运算，本题可以如何建立直角坐标系设点的坐标转化为向量的坐标运算？设点的坐标转化为向量的坐标运算？ABDCXY(a,0)(a+b,c)(b,c),(),0 ,(

4、cbADaAB),(),(cbaDBcbaAC,| ,|22cbADaAB2222)(| ,)(|cbaDBcbaAC)(2|22222cbaDBAC),(2)|(|222222cbaADAB222222ABBCCDDAACBD解解:如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系,2222DACDBCAB22BDAC则则C(a+b,c)D(b,c),设设B(a,0),用向量法解平面几何问题的基本思路用向量法解平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量的联系）建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中用向量表示问题中涉及的几何元素涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；将平面几何问题转化为向量问

5、题；（2）通过向量运算）通过向量运算,研究几何元素之间的关系研究几何元素之间的关系,如距离、如距离、夹角、平行垂直等问题；夹角、平行垂直等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形形到到向量向量 向量的运算向量的运算 向量和数向量和数到到形形 想一想想一想“基底化基底化”“坐标化坐标化”不用向量你可不用向量你可以证明上述关以证明上述关系吗？系吗？证明直径所对的圆周角是直角证明直径所对的圆周角是直角ABCO 如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为直径，为直径，C为为 O上任意一点

6、。求证上任意一点。求证ACB=90分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向量，只须证向量 即即 CBAC 0 CBAC解：设解：设 则则 ，bOCaAO ,baCBbaAC, babaCBAC2222baba 022 rr即即 ，ACB=900 CBACab 练习练习1选择基底选择基底,表示向量表示向量已知正方形已知正方形0ABC，D、E分别为分别为BA与与BC的中点，的中点，求求COS = DOE 练习练习2ODCBAEYX如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系,不妨设不妨设A(2,0),C(0,2),则则D(2,1),E(1,2)2 , 1 (),1 , 2(OEOD42112OEOD5|

7、OD5|OE|OEODOEODDOECOS54554ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC例例2 如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD 、 DC边的中点，边的中点，BE 、 BF分别与分别与AC交于交于R 、 T两点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？1122()()n abbm ab 因因此此ABCDEFRT法一法一)21(21bambAR即即mnmn2121即baAC又因为又因为 共线，共线，所以设所以设E RE B与与12()ERmEBm ab ,bADaAB解解:设设 则则ERAEAR因为因为)(banACnARACAR共

8、线，则设与由于13nm 解解 得得 ：故故 AT=RT=TCABCDEFRTACAR31即ACTC31同理可证如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系,设设B(a,0),D(b,c),则则C(a+b,c)你能求你能求R，T点的坐标吗？点的坐标吗？ABDCXY(a,0)(a+b,c)(b,c)法二法二EFRT若设若设R（x，y），），ACARCRA/,三点共线，得由BEBRERB/,三点共线，得由),(),(cbaACyxAR)21,21(),(cabBEyaxBR即即即即)(baycx)21(21)(abycaxcybax31)(31解得ACAR31即同理可求同理可求T点坐标点坐标,可证可证AR=

9、RT=CT第二课时第二课时应用向量知识证明三线共点、三点共线应用向量知识证明三线共点、三点共线例例3、已知：如图、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点FABCDEABCDEH分析：分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CHAB，即高CF与CH重合，即CF过点H只须证CHAB 由此可设aBC bCApCH如何证 ？0 ABp利用ADBC，BECA，对应向量垂直。00)(apabapbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0已知：如图已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高, 求证：求证：AD、

10、BE、CF交于一点交于一点ABCDEH证明：证明：设AD与BE交于H，()0HA BCb p a ()0BH CAa p b 0)(0bapbpapBACHBACH0即高即高CF与与CH重合，重合，CF过点过点H，AD、BE、CF交于一点。交于一点。0b ap a 0b ap b CHp CAb BCa 已知：如图已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高, 求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点HFABCDE分析：分析：如图建立坐标系，设A(0,a) B(b,0) C(c,0)再设H(0,m) F(x,y),(mbBHCABH( , )( ,)0BH CAbm c abc am

11、acbm),(),(baacacbcCH由A、B、F共线；CFAB对应向量共线及垂直解得：AFAB/可得：0)(ayabxCFAB 可得：0)()(0),)(,(aycxbycxababcaybbcax2222),(2)2,2(222baabbcaabcabbcaCFCHbcabcCF22即 而CF、CH有公共点C，所以C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点CHCF /例例4、如图已知、如图已知ABC两边两边AB、AC的中点分别为的中点分别为M、N，在在BN延长线上取点延长线上取点P，使，使NP=BN，在，在CM延长线上取点延长线上取点Q，使使MQ=CM。求证：。求证：P、A、Q三点共线

12、三点共线ABCNMQP解：设解：设bACaAB ,则则11, 22ANbAMa 由此可得由此可得abNPBN21baMQCM21baabPANPANPA)(,baabAQMQAMAQ)(,AQPA 即即 故有故有 ，且，且它们有公共点它们有公共点A，所以，所以P、A、Q三点共线三点共线AQPA /分别是分别是 、 上的点，且上的点，且 、 OAOB 1,3OMa 1,2ONb例例5 ，在，在OAB中，中，, , OAa OBb M、N设设 与与 相交于点相交于点P，用向量，用向量 表表 ANBM , a b 示示OP OABMNP解：解：, OPOMMP OPONNP 设设, ,MPmMB N

13、PnNA 则则111 ()(1)333OPOMmMBam bbm amb 111 ()(1)222OPONnNAbn abn bna 又又 、 不共线不共线 ab1(1)1315(1)2mnnnm1255OPab 用向量法解平面几何问题的基本思路用向量法解平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量题；化为向量题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：小结小结简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形“基底化基底化”“坐标化坐标化”