23连续性随机变量及其概率密课件.pptx

1、实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测误测量某零件尺寸时的测误差差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) 内的任一值内的任一值.实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.)., 0 则则 X 的取值范围为的取值范围为 2.3.1 2.3.1 连续型随机变量连续型随机变量考虑考虑X在在某一区间内取值某一区间内取值的概率，的概率，利用分布函数利用分布函数来研究来研究X取值的概率取值的概率质量线密度质量线密度在物理学中，求非均匀质细棒的质量在物理学中，求非均匀质细棒的质量令令 (x)为分布在区间为分布在区间（，x上的质量分布的线密度上的质量分

2、布的线密度 xdttxm)()( 令令m(x)为分布在区间为分布在区间（，x上的质量上的质量考虑考虑X在某一区间内取值的概率在某一区间内取值的概率 )(xXPxF xdttf)( xdttf)( 概概率率微微元元可引入可引入概率密度函数概率密度函数 f(x)定义定义2.3.1连续型随机变量的定义连续型随机变量的定义设随机变量设随机变量X 的分布函数为的分布函数为F(x),则称则称 X 为为连续连续随机变量，随机变量，若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f(x) ，满足：，满足：称称 f(x)为为概率密度函数概率密度函数，简称，简称密度函数密度函数. )(xXPxF xdttf)(xf ( x

3、)x)(xfy xdttfxXPxF)()(几何意义几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积 )(F x 21xXxP.d)(xxfxx 21)()(12xFxF 21xx.d)(xxfxx 211非负性非负性2规范性规范性3F(x)在（在（，）上为）上为4若若f(x)在在x处连续，则处连续，则f(x)=?5PX=a=?相关性质相关性质0 )(xf1 xxfd)(连续函数连续函数)(xF 0 xdttfxXPxF)()(重要结论重要结论 aXP0=F(b) F(a).例例1. 判断下列函数是否为分布函数判断下列函数是否为分布函数 arctan)(.211 xxF x这是这是连续型连续型随机变量的分

4、布函数随机变量的分布函数 ;)(101 xF ;)(,)(102 FF 单调递增；单调递增；，在在 )(xF3 .)(连续连续，在在 xF4F(x) 110012102xxxxxF)().(011这是既这是既非离散又非连续型非离散又非连续型随机变量的分布函数。随机变量的分布函数。,)-(,)(000210 FF而而处处不不连连续续。在在0 xxF)(0 ,( )arcsin,1,xaxF xABaxaaxa 例例2 设连续型设连续型随机变量随机变量 X的分布函数为的分布函数为(1) 确定确定 A、B 的值的值;(2) 求求 ;2aPaX (3) 求求 X 的的概率密度概率密度.()lim( )

5、xaFaF x ( )lim( )xaF aF x 解解: :BA2 0 aaBAarcsinBA2 1 arcsinaABa 即即0 1 1B 1,2A 解解得得 axaxaaxBAxaxF,arcsin,)(10的的连连续续性性得得解解：可可由由)(xF0 ,11( )arcsin,21,xaxF xaxaaxa 11arcsin022aa6121 23 2aFFa2aPaX (2) 221,0 ,axaxafx 其其它它 )(xf(3)(xF 211tt )(arcsin.具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设X例例3 .,)(其它其它0432230 xxxkxxf .);()(;

6、)(271321 XPxFXk求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数3403d(2)d12xkxxx16k解解: :由由1 xxfd)( .,)(其它其它0432230 xxxkxxf 430 x的取值范围的取值范围分布函数分布函数当当x0时时当当0 x 3时时当当3 x 0,有有 sXtsXPtXP 也称指数分布也称指数分布“永远年轻永远年轻”1.测量误差，测量误差，2.植株的高度，植株的高度，3.各种产品的质量指标各种产品的质量指标（零件的尺寸、材料的强度），（零件的尺寸、材料的强度），4.动物的体重，人的身高，动物的体重，人的身高，5.健康人红血球的数目，健康人红血球的数目，6.年

7、降雨量，年降雨量，7.某班学生的考试成绩某班学生的考试成绩 等等等等 实例实例直径直径体重体重身高身高的分布密度为的分布密度为设随机变量设随机变量定义定义X4 . 3 . 22.3.2.3. 2.3.2.3. 正态分布正态分布 Normal Distribution 2,XN 记作记作 2, 则称则称X 服从参数为服从参数为 的的正态分布正态分布, ,)()( xexfx22221正态分布密度函数正态分布密度函数f(x)的的图形图形22221xexf)()( x （1）曲线关于曲线关于 对称对称( )f xx （2）当）当 时，时， 取得取得最大值最大值 12,21)(222)( xexfx正

8、态分布概率密度函数正态分布概率密度函数f(x)的几何特征的几何特征正态分布概率密度函数正态分布概率密度函数f(x)的几何特征的几何特征; 0)(,)3(xfx时时当当正态分布概率密度函数的几何特征正态分布概率密度函数的几何特征（4）曲线在）曲线在 处有处有拐点拐点x（5）曲线以）曲线以 x 轴为轴为渐近线渐近线（6）当）当固定固定 , 改变改变 的大小时，的大小时， f(x) 图形的图形的形状不变形状不变，只是沿着，只是沿着 x 轴作轴作平移平移变换变换，对密度曲线的影响对密度曲线的影响，对密度曲线的影响对密度曲线的影响（7）当）当固定固定 , 改变改变 的大小时，的大小时， f(x)图形的图

9、形的对称轴不变对称轴不变，而，而形状在改变形状在改变 越越小小，图形，图形越高越瘦越高越瘦； 越越大大，图形，图形越矮越胖越矮越胖正态分布的分布函数正态分布的分布函数F(x)的图形的图形texFxtd21)(222)( 则则若若),(2 NX ) XP0.5 ) XP0.5 )()(xxf 是偶函数，是偶函数，标准正态分布标准正态分布:XN (0,1)X 的的密度函数密度函数10 ，2221xe ,21)(222)( xexfx x标准正态分布密度函数标准正态分布密度函数 x)的图形的图形2221xex )( )(x分布函数记为分布函数记为 xexx2221)( 其值有专门的其值有专门的表供查

10、表供查. . xdtt xdtext2221 标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数dtexXPxxt 2221)( 00 XP 0)( dtt 标准正态分布的标准正态分布的分布函数特性分布函数特性5 . 0 0XP50.标准正态分布的分布函数特性标准正态分布的分布函数特性n 分布函数分布函数( )yx-x dtexXPxxt 2221)( )( x)(1x 标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算PXb=PXa=PaXb=PXb=PaX=(b) )(1a )(ab ）)(22a 12(b) 的的值值可可以以查查表表（时时，)0 xx 查表查表)1(1)1( )1()1( )1()2

11、( 8413. 09772. 0 1)1(2 8413. 01 XN(0,1)P1X2=PX-1=PX1=一般正态分布的一般正态分布的标准化标准化),(2 NX若若?Z X则则? ）（zFZ P Zz XPz P Xz 22()21ed2t zt ,tu 令令得得221ed2uzu ( ) z XZ 的分布函数为的分布函数为 ）（zFZ则则若若),(2 NX,)()( xexfx22221x xZP xXP xXP)()( xxFX则则 XZ)1 , 0( Nn 定理定理2.3.1则则若若),(2 NX )(xFX推论推论1 1 )(xFX则则),(2 NX若若标准正态分布的重要性标准正态分布

12、的重要性：任何一个一般的正态分布都可以任何一个一般的正态分布都可以 通过通过线性变换线性变换转化为标准正态分布转化为标准正态分布. .一般一般正态分布的正态分布的标准化标准化)( xXN( , 2)标准化标准化1PXb=2PXa=3PaXb=4PXb=5PaX=)()( bbF)()( abF11)()( ab b)b( )()(1 aa 讲讲练练讲讲练练(1)已知已知 X N(3, 22), 且且 PXk = PXk, 则则 k = ( ).例例13 (2)设设 X N( , 42), Y N( , 52), 记记 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 则则( ) 对对任意任意的的 ，

13、都有，都有 p1 = = p2 对对任意任意的的 ，都有，都有 p1 p2 5421 YPpXPp )(4 F )(51 F)(11 )( 1 )()( xxFX(3) 设设 X N( , 2), 则随则随 的增大，的增大， 概率概率 P| X | ( ) 单调增大单调增大 单调减少单调减少 保持不变保持不变 增减不定增减不定 XP11 XP)()(11 (4)设设 X N( , 1), 分布函数为分布函数为F(x),则对任意则对任意的的 有有( ) F(x+ )=F(x ), F(x+ )=F( x) F(x+ )+F(x )=1 F(x+ )+F( x)=1 )()()(xFxFxF x

14、2 x x )()( xxFX521233 113 11130.841340.629301 0.47064 解解: : ( (1 1) ) 1551PXFF 2 , 9XN例例2. 设随机变量设随机变量 ，试求，试求: : 26PX （1 1） ；（2） ; 15PX 0P X （3 3） 1626PX 122 212 210.977250.0455 ( (2 2) )9 , 2( NX |62XP |621XP0213 213 23 0.7486 )9 , 2( NX 03XP01 XP练习练习 已知已知), 2(2 NX且且 P( 2 X 4 ) = 0.3,则则P ( X 0 )= .

15、20 21 )(42XP)(02 30. 802. 200.)( XP 2224 应用应用：公共汽车车门的高度公共汽车车门的高度是按成年男子与车门碰头的机会是按成年男子与车门碰头的机会小于小于0.01设计的，设我国成年设计的，设我国成年男子的男子的平均身高为平均身高为 =168cm，标准差为标准差为 =7，求车门的最低高度求车门的最低高度.解解:成年男子的身高成年男子的身高XN(168,72)设车门的高度为设车门的高度为h010.P hX则则有有 hXP 99010332. 查查表表：3327168. h故故 cmh31184. 9907168. h上上 分位点分位点 zXP分位点分位点为标准

16、正态分布的上为标准正态分布的上则称点则称点满足条件满足条件若若设设 , 10 ,),1 , 0(zNX定义定义2.3.5 z z Z 0.0010.0050.010.0250.05 0.11.6452.3272.5761.96常用标准正态分布的分位数常用标准正态分布的分位数3.0901.282 z zXP 3 3 0.99740.9974F(x)3 3 准则准则),(2 NX3 XP是小概率事件是小概率事件 3 X 132 9974. 033 XP)3()3( 在应用中，通常认为在应用中，通常认为P|X|3 1，忽，忽略略|X|3 的值的值.3 原则原则如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值3 作两条线，当生产过程的指标观察值落作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时在两线之外时发出警报发出警报.表明生产出现异表明生产出现异常常.