数列的简单概念与表示方法.docx
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1、1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1_an其中nN*递减数列an1_an常数列an1an摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法4数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式【知识拓展】1若数列an的前n项和为Sn,通项公式为an,则an2在数列an中,若an最大,则若an最小,则3数列
2、与函数的关系数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)1,1,1,1,不能构成一个数列()(4)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列()(5)如果数列an的前n项和为Sn,则对nN*,都有an1Sn1Sn.()1下列说法中,正确的是()A数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B数列1,0,1,2与数列2,1,0,1是相同的数列C数列的第k项为1D数
3、列0,2,4,6,8,可记为2n答案C解析数列的通项公式为an1,ak1.故C正确;数列中的数讲究顺序,而集合无序,故A、B均错;D中0无对应的n.2已知数列,下列各数中是此数列中的项的是()A. B.C. D.答案B3(教材改编)在数列an中,a11,an1(n2),则a5等于()A. B.C. D.答案D解析a212,a31,a413,a51.4数列an中,ann211n,则此数列最大项的值是_答案30解析ann211n(n)2,nN*,当n5或n6时,an取最大值30.5已知数列an的前n项和Snn21,则an_.答案解析当n1时,a1S12,当n2时,anSnSn1n21(n1)212
4、n1,故an题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1(1)(2016太原模拟)数列1,3,6,10,的一个通项公式是()Aann2(n1) Bann21Can Dan(2)数列an的前4项是,1,则这个数列的一个通项公式是an_.答案(1)C(2)解析(1)观察数列1,3,6,10,可以发现11,312,6123,101234,第n项为1234n.an.(2)数列an的前4项可变形为,故an.思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略:分式中分子、分母的特征;相
5、邻项的变化特征;拆项后的特征;各项的符号特征和绝对值特征;化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;对于符号交替出现的情况,可用(1)k或(1)k1,kN*处理根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7,13,19,;(2)0.8,0.88,0.888,;(3),.解(1)数列中各项的符号可通过(1)n表示,从第2项起,每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6,故通项公式为an(1)n(6n5)(2)数列变为,故an.(3)各项的分母分别为21,22,23,24,易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3.因此把第1项变为,原数列化为,
6、故an(1)n.题型二由an与Sn的关系求通项公式例2(1)(2017南昌月考)若数列an的前n项和Snan,则an的通项公式an_.答案(2)n1解析由Snan,得当n2时,Sn1an1,两式相减,整理得an2an1,又当n1时,S1a1a1,a11,an是首项为1,公比为2的等比数列,故an(2)n1.(2)已知下列数列an的前n项和Sn,求an的通项公式Sn2n23n;Sn3nb.解a1S1231,当n2时,anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5,由于a1也适合此等式,an4n5.a1S13b,当n2时,anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时,a1适合此
7、等式;当b1时,a1不适合此等式当b1时,an23n1;当b1时,an思维升华已知Sn,求an的步骤(1)当n1时,a1S1;(2)当n2时,anSnSn1;(3)对n1时的情况进行检验,若适合n2的通项则可以合并;若不适合则写成分段函数形式(1)已知数列an的前n项和Sn3n22n1,则其通项公式为_(2)已知数列an的前n项和Snn29n,则其通项an_;若它的第k项满足5ak8,则k_.答案(1)an(2)2n108解析(1)当n1时,a1S13122112;当n2时,anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5,显然当n1时,不满足上式故数列的通项公式为an(2)anan又
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