傅里叶级数分析课件.ppt

1、1线性时不变（LTI)系统分析方法 基本思路：基本思路：已知一些基本信号，将任意一个信号e(t)（或者我们需要研究的信号）用一个基本信号的线性组合来表示（信号分解），如果已知基本信号通过LTI系统的响应r(t)，那么任意信号通过系统的响应就可以用r(t)的线性组合来表示。 这些基本信号应该具备下列性质：1、由这类基本信号能构成相当广泛的一类信号2、LTI系统对每一个基本信号的响应，在结构上因该十分简单，以便使系统对任意输入的响应有一个方便的表达式。(t)，冲激响应，卷积，冲激响应，卷积2正弦信号通过LTI系统 d1 tLvLtitAtvtAtiCLsin()(sin()( )sin(1tRAt

2、vRtiR电感电感电阻电阻 tvRtiR1电容电容 ttvCtiCdd当时电阻电阻 dttdiLvL )cos()sin(ddtACdttAdCttvCtiC电容电感 )cos()sin(tLAdttAdLdttdiLvL3 指数信号与正弦信号具有相同的特性 由系统的组成来说：当输入为指数信号时，系统的输出一定也是一个指数信号，只不过指数信号幅值发生变化。4指数信号通过LTI系统的输出利用卷积法：输入为设 则dheedheedhedthetrjtjjtjtjjetj)()()()()()(dhejHj)()(tje)()(jHetrtjetj输入为正弦信号？5(t)h（t）e(t)r（t）ej

3、tH（t）Sin(t)H（t） d tete d thetr sincos)(1110nnntnbtnaatff(t)r（t）000( )() sin()r tHt )()(jHetrtjetj6二正弦信号激励下系统的稳态响应 理效果。理效果。代表了系统对信号的处代表了系统对信号的处。加权，相移加权，相移频率的信号，幅度由频率的信号，幅度由与激励同与激励同作为激励的稳态响应为作为激励的稳态响应为正弦信号正弦信号 jjsin000HHt000( )() sin()r tHt ，系统的频率响应为，系统的频率响应为设激励信号为设激励信号为)(j0e)()( sin HHt 则系统的稳态响应为则系统的

4、稳态响应为789主要内容三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系 频谱图频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差傅里叶有限级数与最小方均误差10一三角函数形式的傅里叶级数 tntn11sin,cos 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,. 0sincos2211 TTtmtn nmnmTtmtnTT, 0,2coscos2211 nmnmTtmtnTT, 0,2sinsin221

5、1 由积分可知由积分可知1.三角函数集11 1112 , , TTtf 基波角频率为基波角频率为周期为周期为周期信号周期信号在满足狄氏条件时，可展成在满足狄氏条件时，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量 TttttfTa00d)(10余弦分量的幅度余弦分量的幅度 TttnttntfTa00dcos)(21 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 TttnttntfTb00dsin)(21 称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2级数形式12求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。 2

6、2110110d1TTttTATa 22111110dcos2TTnttntTATa 2211111dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 )1(1 nnAn周期锯齿波的傅里叶级数展开式为周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 tAtAtf112sin2sin0 22 )(111TtTtTAtf直流直流基波基波谐波谐波t tfA/2/221T21T 112T 13其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctan nnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad arctannnnabnnnda sin nnndb cos 110sin)(nnnt

7、nddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf 14关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。关系曲线称为相位频谱图。可画出频谱图。可画出频谱图。周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。 nc n幅度频率特性和相位频率特性的线性组合。的线性组合。基波角频率的整数倍）基波角频率的整数倍）（）和各次谐波）和各次谐波，基波（，基波（周期信号可分解为直流周期信号可分解为直流:11 n151 13 nc0c1c3cO1 13 n O 频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线曲线曲线或或 n

8、nFc曲线曲线 n16二指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集 2, 1, 0 e1j ntn 2 2级数形式级数形式3 3系数系数 111110jj0j1deede)()(TtntnTtntttfnF 4 e)()(1j1tnnnFtf 11j011( )ed 5Tntf ttT利用复变函数的正交特性利用复变函数的正交特性nF 也可写为也可写为17说明 变换对。变换对。式是一对式是一对、惟一确定，惟一确定，则，则如给出如给出)5()4()(1tfnF 的线性组合。的线性组合。区间上的指数信号区间上的指数信号周期信号可分解为周期信号可分解为tn1je, 4 e)()(1

9、j1tnnnFtf 11j1011( ) ed 5TntF nf ttT18三两种系数之间的关系及频谱图 TtnttfTnF0j1de )(1)(1 TTttntfTttntfT0101dsin)(1jdcos)(1 nnbaj21 TTttntfTttntfTnF01011dsin)(1jdcos)(1)( nnbaj21 nnFnF j11e)( 是复数是复数)(),(11 nFnF 19nnncbanF2121)(221 相频特性相频特性 nnnabarctan 幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性 的奇函数的奇函数关于关于的偶函数的偶函数关于关于取正值）取正值）的奇函数（实际的奇函数（实

10、际关于关于取正值）取正值）的偶函数（实际的偶函数（实际关于关于 )( 11nnFnbnann20请画出其幅度谱和相位谱。请画出其幅度谱和相位谱。10 c00 236. 251 c 15. 01 12 c 25. 02 化为余弦形式化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图，已知已知 42coscos2sin1)(111ttttf 42cos)15. 0cos(51)(11tttf 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 X1 1c0c2c12 O24. 211nc12 25. 015. 0 O1 n 21化为指数形式 4j24j2jjjj111111ee21

11、ee22eej211)(tnttttttf tttttf11112j4j2j4jjjee21ee21ej211ej2111)( tnnnF1j221e)( 1)0( F 15. 0j1e12. 1j211 F 15. 0j112. 1j211eF 4j1e212 F 4j1e212 F整理整理指数形式的傅里叶级数的系数指数形式的傅里叶级数的系数22谱线1)0(0 FF12. 1)(11 FF12. 1)(11 FF5 . 0)2(12 FF5 . 0)2(12 FF00 15. 01 15. 01 25. 02 25. 02 指数形式的频谱图指数形式的频谱图12 5 . 0O1 1 12. 1

12、12 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n 23三角形式与指数形式的频谱图对比1 1c0c2c12 O24. 211nc12 5 . 0O1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n 三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图指数形式的频谱图12 25. 0 15. 0 O1 n 24四总结（1）周期信号）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质）周期信号的频谱是离散谱，三个性

13、质（2）两种频谱图的关系）两种频谱图的关系（4）引入负频率）引入负频率25(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式= 110)cos(nnntncc 三角形式三角形式指数形式指数形式 1110sincos)(nnntnbtnaatf tnnnFtf1j1e)()( 26 0001021)(acFncnFn (2)两种频谱图的关系)()( 11 nn 相位频谱为奇函数相位频谱为奇函数 nnc，三角函数形式：三角函数形式：单边频谱单边频谱 nnF，指数函数形式：指数函数形式：双边频谱双边频谱关系关系)()( 11 nFnF 偶函数偶函数指数形式的幅度频谱为指数形式的幅度频谱为27(3)三个性质

14、 的谱线唯一的谱线唯一惟一性：惟一性：处处现在现在（离散性），频率只出（离散性），频率只出谐波性：谐波性：收敛性：收敛性：)(,11tfnnFn (4)引入负频率对于双边频谱，负频率对于双边频谱，负频率)(1 n，只有数学意义，而无，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率物理意义。为什么引入负频率? ? 的实函数的性质不变。的实函数的性质不变。，才能保证，才能保证和和数，必须有共轭对数，必须有共轭对是实函数，分解成虚指是实函数，分解成虚指)(ee11jjtftfnn 注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性28五函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数偶函数奇

15、函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数注：指交流分量注：指交流分量291偶函数为实函数。为实函数。项。项。项，只含直流项和余弦项，只含直流项和余弦傅里叶级数中不含正弦傅里叶级数中不含正弦)(1 nF信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的)()(tftf )(tfOtTET 0 nb 2010dcos)(4TnttntfTa nnnnabanFF21j21)(1 0 n 302奇函数)()(tftf 对称的：对称的：波形相对于纵坐标是反波形相对于纵坐标是反)(tfOtTT 11 为虚函数。为虚函数。量，量，傅里叶级数中无余弦分傅里叶级数中无余弦分)(1 nF 0= d)(1 2

16、20 TTttfTa 0dcos)(2221 TTnttntfTa TnttntfTb01dsin)(2 nnnnbbanFFj21j21)(1 2010dsin)(4TttntfT 310 6 , 4 , 2 nnban时时3奇谐函数 201dcos)(4 5 , 3 , 1TnttntfTan 时时 201dsin)(4TnttntfTb f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即)(tfOtTT 2T 2)(Ttftf若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化：00 a32 21Ttftf112T 4偶谐函数 20111dsin)(4TnttntfTb 0 5 , 3 , 1 nnban时时当当 20111dcos)(4 6 , 4 , 2TnttntfTan 时时当当f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量)(tfOt1T1T 21T 21T称为偶谐函数。称为偶谐函数。与原波形重合，与原波形重合，波形移动波形移动21T