第八章立体几何 (4).docx

1、第八章立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图专题2三视图与直观图(2015辽宁抚顺重点高中协作体高考模拟,三视图与直观图,选择题,理7)如图,在矩形ABCD中,AB=32,BC=2,沿BD将三角形ABD折起,连接AC,所得三棱锥A-BCD的正视图和俯视图如图所示,则三棱锥A-BCD侧视图的面积为()A.925B.1825C.3625D.125解析:由正视图和俯视图可知平面ABD平面BCD.三棱锥A-BCD侧视图为等腰直角三角形,两条直角边分别是过A和C向BD所作的垂线,如图.由等面积可得直角边长为32294+4=65,侧视图面积为126565=1825.答案:B8.2空间几何体的表面

2、积与体积专题1空间几何体的表面积(2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,空间几何体的表面积,填空题,理14)三棱柱ABC-A1B1C1各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,ACB=120,CA=CB=23,AA1=4,则这个球的表面积为.解析:在ABC中,ACB=120,CA=CB=23,由余弦定理可得AB=6,由正弦定理,可得ABC外接圆半径r=23,设此圆圆心为O,球心为O,在RtOAO中,得球半径R=4+12=4,故此球的表面积为4R2=64.答案:64(2015辽宁鞍山一模,空间几何体的表面积,选择题,理11)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个

3、几何体的三视图如图所示,那么该几何体的表面积是()A.12+46B.17C.12+26D.12解析:棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,如图所示,截面为菱形,两条对角线长为23,22,面积为26,所以该几何体的表面积是322+26=12+26.答案:C专题2空间几何体的体积(2015沈阳一模,空间几何体的体积,选择题,理6)已知某几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是()A.43 cm3B.83 cm3C.2 cm3D.4 cm3解析:由三视图可知,该几何体是底面为正方形,且边长为2 cm,高为2 cm的四棱锥,如图,故V=13222=83(cm3).

4、答案:B(2015辽宁大连二十四中高考模拟,空间几何体的表面积,选择题,理13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.解析:由三视图知该几何体为三棱柱去掉一个三棱锥的几何体,如图.三棱柱的高为5,底面是直角边为4,3,去掉的三棱锥是底面为直角三角形直角边为4,3,高为2的三棱锥.几何体的体积V=12435-1312432=26.答案:26专题3组合体的“接”“切”综合问题(2015辽宁抚顺重点高中协作体高考模拟,组合体的“接”“切”综合问题,填空题,理16)已知P,A,B,C是球O球面上的四点,ABC是正三角形,三棱锥P-ABC的体积为943,且APO=BPO=CPO=30,则球O的表

5、面积为.解析:如图,P,A,B,C是球面上四点,ABC是正三角形,设ABC的中心为S,球O的半径为R,ABC的边长为2a.APO=BPO=CPO=30,OB=OP=R,OS=R2,BS=32R,233a=32R,解得a=34R,2a=32R.三棱锥P-ABC的体积为943,13121232R32Rsin 6032R=943,解得R=2,球O的表面积S=4R2=16.答案:16(2015辽宁大连二十四中高考模拟,组合体的“接”“切”综合问题,选择题,理8)已知菱形ABCD的边长为3,B=60,沿对角线AC折成一个四面体,使得平面ACD平面ABD,则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为()A.15

6、B.154C.15D.6解析:如图所示,设球心为O,OF=x,则CF=3,EF=32.R2=x2+(3)2=332-x2+322,x=32.R2=154.球的表面积为15.答案:A8.3空间点、直线、平面之间的位置关系专题3异面直线所成的角(2015沈阳一模,异面直线所成的角,填空题,理16)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BCAC,A=3,AC=4,AA1=4,M为AA1的中点,点P为BM中点,Q在线段CA1上,且A1Q=3QC.则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为.解析:以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,则由题意得A(4,0,0),C(0,0,0),

7、B(0,43,0),M(4,0,2),A1(4,0,4),P(2,23,1),CQ=14CA1=14(4,0,4)=(1,0,1),Q(1,0,1),AC=(-4,0,0),PQ=(-1,-23,0).设异面直线PQ与AC所成角为,cos =|cos|=4413=1313,sin =1-113=23913.答案:23913(2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,异面直线所成的角,选择题,理7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,若粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6B.8C.10D.12解析:由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥,其中平面VAB平

8、面ABC,VEAB,CDAB,且AB=5,VE=3,CD=4,则该三棱锥的体积V=1312ABCDVE=1312543=10.答案:C8.5直线、平面垂直的判定与性质专题2直线与平面垂直的判定与性质(2015辽宁鞍山一模,直线与平面垂直的判定与性质,选择题,理4)已知空间中不共面的四点A,B,C,D及平面,下列说法正确的是()A.直线AB,CD可能平行B.直线AB,CD可能相交C.直线AB,CD可能都与平行D.直线AB,CD可能都与垂直解析:由题意,AB,CD不共面,故A,B不正确;经过AC,BD,AD,BC中点的平面与AB,CD平行,故C正确;直线AB,CD都与垂直,可得AB与CD平行,故D

9、不正确.答案:C8.7空间几何中的向量方法专题2利用空间向量解决探索性问题(2015沈阳一模,利用空间向量解决探索性问题,解答题,理18)如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=a(01).(1)求证:对任意的(0,1,都有ACBE;(2)若二面角C-BE-A的大小为120,求实数的值.解:(1)证明:以D为原点,DA,DC,DS为x,y,z轴,如图建立空间直角坐标系D-xyz,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),E(0,0,a),AC=(-a,a,0),BE=(-a,-a,a),ACBE=0对任

10、意(0,1都成立,即ACBE恒成立.(2)设平面ABE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),AB=(0,a,0),AE=(-a,0,a),n1AB=0,n1AE=0y1=0,-ax1+az1=0y1=0,x1-z1=0.取z1=1,则x1=,n1=(x1,y1,z1)=(,0,1).设平面BCE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),BC=(-a,0,0),BE=(-a,-a,a),n2BC=0,n2BE=0x2=0,-ax2-ay2+az2=0x2=0,z2-y2=0.取z2=1,则y2=,n2=(0,1).二面角C-BE-A的大小为120,cos=n1n2|n1|n2|=11+2=1

11、2,又(0,1,=1为所求.专题3利用空间向量求空间角(2015辽宁大连二十四中高考模拟,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且CO平面ABB1A1.(1)证明BCAB1;(2)若OC=OA,求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.解:(1)证明:由题意,因为四边形ABB1A1是矩形,D为AA1中点,AB=1,AA1=2,AD=22,所以在直角三角形ABB1中,tanAB1B=ABBB1=22,在直角三角形ABD中,tanABD=ADAB=22,所以AB1B=ABD.又B

12、AB1+AB1B=90,BAB1+ABD=90,所以在三角形ABO中,BOA=90,即BDAB1.又因为CO平面ABB1A1,AB1平面ABB1A1,所以COAB1.所以AB1面BCD,因为BC面BCD,所以BCAB1.(2)如图,分别以OD,OB1,OC所在的直线为x,y,z轴,以O为原点,建立空间直角坐标系,则A0,-33,0,B-63,0,0,C0,0,33,B10,233,0,D66,0,0,又因为CC1=2AD,所以C163,233,33.所以AB=-63,33,0,AC=0,33,33,DC1=66,233,33,CD=66,0,-33.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则

13、根据-63x+33y=0,33y+33z=0,可得n=(1,2,-2)是平面ABC的一个法向量,设直线CD与平面ABC所成角为,则sin =155,所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为155.(2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA底面ABCD,E,F分别为AB,PC的中点.(1)求证:EF平面PAD.(2)若PA=2,试问在线段EF上是否存在点Q,使得二面角Q-AP-D的余弦值为55?若存在,确定点Q的位置;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:取PD中点M,连接MF,

14、MA,在PCD中,F为PC的中点,MF12DC.在正方形ABCD中,E为AB中点,AE12DC,AEMF,故四边形EFMA为平行四边形,EFAM.又EF平面PAD,AM平面PAD,EF平面PAD.(2)结论:满足条件的Q存在,是EF中点.理由如下:如图,以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),B(0,1,0),C(1,1,0),E0,12,0,F12,12,1,由题易知平面PAD的法向量为n=(0,1,0),假设存在Q满足条件:设EQ=EF,EF=12,0,1,Q2,12,AQ=2,12,0,1.设平面PAQ的法向量为m=(x,y,z),由2x+12y+z2=0,z=0,可得m=(1,-,0),cos=mn|m|n|=-1+2.由已知:-1+2=55,解得=12,满足条件的Q存在,是EF中点.12