2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲第2课时定点定值范围最值问题练习（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 9 讲 第 2 课时 定点、定值、范围、最值问题 基础巩固题组 (建议用时： 40 分钟 ) 一、选择题 1.设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q， 若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点 ， 则直线l 的斜率的取值范围是 ( ) A.? ? 12， 12 B. 2， 2 C. 1， 1 D. 4， 4 解析 Q( 2， 0)， 设直线 l 的方程为 y k(x 2)， 代入抛物线方程 ， 消去 y 整理得 k2x2 (4k2 8)x 4k2 0， 由 (4k2 8)2 4k2 4k2 64(1 k2)0 ， 解得 1 k1. 答案 C 2.

2、(2017 石家庄模拟 )已知 P 为双曲线 C： x29y216 1 上的点 ， 点 M 满足 |OM | 1， 且 OM PM 0， 则当 |PM |取得最小值时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为 ( ) A.95 B.125 C.4 D.5 解析 由 OM PM 0， 得 OM PM， 根据勾股定理 ， 求 |MP|的最小值可以转化为求 |OP|的最小值 ， 当 |OP|取得最小值时 ， 点 P 的位置为双曲线的顶点 (3 ， 0)， 而双曲线的渐近线为4x3 y 0， 所求的距离 d 125 ， 故选 B. 答案 B 3.已知椭圆 C 的方程为 x216y2m2 1(m 0)， 如

3、果直线 y22 x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F， 则 m 的值为 ( ) A.2 B.2 2 C.8 D.2 3 解析 根据已知条件得 c 16 m2， 则点 ( 16 m2， 22 16 m2)在椭圆 x216y2m2 1(m 0)上 ， 16 m216 16 m22m2 1， 可得 m 2 2. 答 案 B 4.若双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的渐近线与抛物线 y x2 2 有公共点 ， 则此双曲线的离心率的取值范围是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.3， ) B.(3， ) C.(1， 3 D.(1， 3) 解析 依题意

4、可知双曲线渐近线方程为 y bax， 与抛物线方程联立消去 y 得 x2 bax 2 0. 渐近线与抛物线有交点 ， b2a2 80 ， 求得 b2 8a2， c a2 b2 3a， e ca 3. 答案 A 5.(2017 宝鸡 一模 )斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 y2 1 相交于 A， B 两点 ， 则 |AB|的最大值为 ( ) A.2 B.4 55 C.4 105 D.8 105 解析 设 A， B 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)， 直线 l 的方程为 y x t， 由?x2 4y2 4，y x t 消去 y， 得 5x2 8tx 4(t2 1) 0

5、， 则 x1 x2 85t， x1x2 4（ t2 1）5 . |AB| 1 k2|x1 x2| 1 k2 （ x1 x2） 2 4x1x2 2 ? ? 85t2 4 4（ t2 1）5 4 25 5 t2， 当 t 0 时 ， |AB|max 4 105 . 答案 C 二、填空题 6.已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的一条渐近线方程是 y 3x， 它的一个焦点与抛物线 y2 16x 的焦点相同 ， 则双曲线的方程为 _. 解析 由条件知双曲线 的焦点为 (4， 0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以?a2 b2 16，ba 3，解得 a 2， b 2 3， 故双曲

6、线方程为 x24y212 1. 答案 x24y212 1 7.已知动点 P(x， y)在椭圆 x225y216 1 上 ， 若 A 点坐标为 (3， 0)， |AM | 1， 且 PM AM 0，则 |PM |的最小值是 _. 解析 PM AM 0， AM PM . |PM |2 |AP |2 |AM |2 |AP |2 1， 椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小 ， 故 |AP |min 2， |PM |min 3. 答案 3 8.(2017 平顶山模拟 )若双曲线 x2 y2b2 1(b 0)的一条渐近线与圆 x2 (y 2)2 1 至多有一个公共点 ， 则双曲线离心率的取值范围是 _. 解

7、析 双曲线的渐近线方程为 y bx， 则有 |0 2|1 b2 1， 解得 b2 3， 则 e2 1 b2 4， e 1， 1 e2. 答案 (1， 2 三、解答题 9.如图 ， 椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率是22 ， 点 P(0， 1)在短轴CD 上 ， 且 PC PD 1. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设 O 为坐标原点 ，过点 P 的动直线与椭圆交于 A， B 两点 .是否存在常数 ， 使得 OA OB PA PB 为定值？若存在 ， 求 的值；若不存 在 ， 请说明理由 . 解 (1)由已知 ， 点 C， D 的坐标分别为 (0， b)， (0， b). 又

8、点 P 的坐标为 (0， 1)， 且 PC PD 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 于是?1 b2 1，ca22 ，a2 b2 c2.解得 a 2， b 2. 所以椭圆 E 方程为 x24y22 1. (2)当直线 AB 的斜率存在时 ， 设直线 AB 的方 程为 y kx 1， A， B 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2). 联立?x24y22 1，y kx 1，得 (2k2 1)x2 4kx 2 0. 其判别式 (4k)2 8(2k2 1)0， 所以 ， x1 x2 4k2k2 1， x1x2 22k2 1. 从而 ， OA OB PA PB x1x2 y1y2 x1

9、x2 (y1 1)(y2 1) (1 )(1 k2)x1x2 k(x1 x2) 1 （ 2 4） k2（ 2 1）2k2 1 12k2 1 2. 所以 ， 当 1 时 ， 12k2 1 2 3. 此时 ， OA OB PA PB 3 为定值 . 当直线 AB 斜率不存在时 ， 直线 AB 即为直线 CD， 此时 OA OB PA PB OC OD PC PD 2 1 3， 故存在常数 1， 使得 OA OB PA PB 为定值 3. 10.(2016 浙江卷 )如图 ， 设椭圆 x2a2 y2 1(a 1). (1)求直线 y kx 1 被椭圆截得 的线段长 (用 a， k 表示 )； (2)

10、若任意以点 A(0， 1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点 ， 求椭圆离心率的取值范围 . 解 (1)设直线 y kx 1 被椭圆截得的线段为 AM， 由?y kx 1，x2a2 y2 1， 得 (1 a2k2)x2 2a2kx=【 ;精品教育资源文库 】 = 0. 故 x1 0， x2 2a2k1 a2k2， 因此 |AM| 1 k2|x1 x2| 2a2|k|1 a2k2 1 k2. (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个 ， 由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P， Q，满足 |AP| |AQ|. 记直线 AP， AQ 的斜率分别为 k1， k2， 且 k1， k2 0，

11、k1 k2. 由 (1)知 |AP| 2a2|k1| 1 k211 a2k21 ， |AQ|2a2|k2| 1 k221 a2k22 ， 故 2a2|k1| 1 k211 a2k21 2a2|k2| 1 k221 a2k22 ， 所以 (k21 k22)1 k21 k22 a2(2 a2)k21k22 0. 由于 k1 k2， k1， k2 0 得 1 k21 k22 a2(2 a2)k21k22 0， 因此 ? ?1k21 1 ? ?1k22 1 1 a2(a2 2)， 因为 式关于 k1， k2的方 程有解的充要条件是 1 a2(a2 2) 1， 所以 a 2. 因此 ， 任意以点 A(0

12、， 1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1 a 2， 由 e ca a2 1a 得 ， 所求离心率的取值范围是 ?0， 22 . 能力提升题组 (建议用时： 25 分钟 ) 11.(2016 湖南师大附中月考 )设双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的一条渐近线与抛物线y2 x 的一个交点的横坐标为 x0， 若 x0 1， 则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 ( ) A.? ?1， 62 B.( 2， ) C.(1， 2) D.? ?62 ， 解析 不妨联立 y bax 与 y2 x 的方程 ， 消去 y 得 b2a2x2 x， 由 x0 1 知b2a

13、2 1， 即c2 a2a2 1，故 e2 2， 又 e 1， 所以 1 e 2， 故选 C. 答案 C 12.(2017 河南省八市质检 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的离心率为 2， 它的两条渐近线与抛物线 y2 2px(p 0)的准线分别交于 A， B 两点 ， O 为坐标原点 .若 AOB 的面积=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 3， 则抛物线的准线方程为 ( ) A.x 2 B.x 2 C.x 1 D.x 1 解析 因为 e ca 2， 所以 c 2a， b 3a， 双曲线的渐近线方程为 y 3x， 又抛物线的准线方程为 x p2， 联立双曲线的渐近线方程和

14、抛物线的准线方程得 A? ? p2， 3p2 ，B? ? p2， 3p2 ， 在 AOB 中 ， |AB| 3p， 点 O 到 AB 的距离为 p2， 所以 12 3p p2 3，所以 p 2， 所以抛物线的准线方程为 x 1， 故选 D. 答案 D 13.(2017 合肥模拟 )若点 O 和点 F 分别为椭圆 x29y28 1 的中点和左焦 点，点 P 为椭圆上的任一点 ， 则 OP FP 的最小值为 _. 解析 点 P 为椭圆 x29y28 1 上的任意一点 ， 设 P(x， y)( 3 x3 ， 2 2 y 2 2)，依题意得左焦点 F( 1， 0)， OP (x， y)， FP (x

15、1， y)， OP FP x(x 1) y2x2 x 72 8x29 19?x 922 234 . 3 x3 ， 32 x 92 152 ， 94 ? ?x 922 2254 ， 14 19? ?x 922 22536 ， 6 19? ?x 922 234 12， 即 6 OP FP 12， 故最小值为 6. 答案 6 14.(2017 衡水中学高三联考 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)短轴的两个顶点与右焦点的 连线构成等边三角形，直线 3x 4y 6 0 与圆 x2 (y b)2 a2相切 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知过椭圆 C 的左顶点 A 的两条直线 l1， l2分别交椭圆 C 于 M， N 两点 ， 且 l1 l2， 求证：直线 MN 过定点 ， 并求出定点坐标； (3)在 (2)的条件下求 AMN 面积的最大值 . 解 (1)由题 意 ， 得?a 2b，|4b 6|5 a，?a 2，b 1， =【 ;精品教育资源文库 】 =