2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 9.3 圆的方程 最新考纲 考情考向分析 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 . 以考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现 . 圆的定义与方程 定义 平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫作圆 方程 标准式 (x a)2 (y b)2 r2(r0) 圆心为 (a， b) 半径为 r 一般式 x2 y2 Dx Ey F 0 充要条件： D2 E2 4F0 圆 心坐标： ? ? D2， E2 半径 r 12 D2 E2 4F 知识拓展 1

2、确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程 (2)根据条件列出关于 a， b， r 或 D， E， F 的方程组 (3)解出 a， b， r 或 D， E， F 代入标准方程或一般方程 2点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种 已知圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r2，点 M(x0， y0) (1)点在圆上： (x0 a)2 (y0 b)2 r2； (2)点在圆外： (x0 a)2 (y0 b)2r2； =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)点在圆内： (x0 a)2 (y0 b)20.( ) (4)方程 x2

3、2ax y2 0 一定表示圆 ( ) (5)若点 M(x0， y0)在圆 x2 y2 Dx Ey F 0 外，则 x20 y20 Dx0 Ey0 F 0.( ) (6)方程 (x a)2 (y b)2 t2(t R)表示圆心为 (a， b)，半径为 t 的圆 ( ) 题组二 教材改编 2 (2018 南昌模拟 )以点 (3， 1)为圆心，并且与直线 3x 4y 0 相切的圆的方程是 ( ) A (x 3)2 (y 1)2 1 B (x 3)2 (y 1)2 1 C (x 3)2 (y 1)2 1 D (x 3)2 (y 1)2 1 答案 A 3圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A( 1,1

4、)和 B(1,3)，则圆 C 的方程为 答案 (x 2)2 y2 10 解析 设圆心坐标为 C(a,0)， 点 A( 1,1)和 B(1,3)在圆 C 上， | CA| |CB|， 即 ?a 1?2 1 ?a 1?2 9， 解得 a 2， 圆心为 C(2,0)， 半径 |CA| ?2 1?2 1 10， 圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 10. 题组三 易错自纠 4若方程 x2 y2 mx 2y 3 0 表示圆，则 m 的取值范围是 ( ) A ( ， 2)( 2， ) B ( ， 2 2)(2 2， ) C ( ， 3)( 3， ) D ( ， 2 3)(2 3， ) =【 ;精品教育资

5、源文库 】 = 答案 B 解析 将 x2 y2 mx 2y 3 0 化为圆的标准方程得 ? ?x m2 2 (y 1)2 m24 2. 由其表示圆可得 m24 20，解得 m2 2. 5若点 (1,1)在圆 (x a)2 (y a)2 4 的内部，则实数 a 的取值范围是 ( ) A 11 或 a0)，又圆与直线 4x 3y 0相切， |4a 3|5 1，解得 a 2 或 a 12(舍去 ) 圆的标准方程为 (x 2)2 (y 1)2 1.故选 A. 题型一 圆的方程 典例 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x y 1 0 相切于点 B(2， 1)，则圆 C 的方程为 答案 (x 3)

6、2 y2 2 解析 方法一 由已知 kAB 0，所以 AB 的中垂线方程为 x 3. 过点 B 且垂直于直线 x y 1 0 的直线方程为 y 1 (x 2)，即 x y 3 0， 联立 ，解得? x 3，y 0， 所以 圆心坐标为 (3,0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 半径 r ?4 3?2 ?1 0?2 2， 所以圆 C 的方程为 (x 3)2 y2 2. 方法二 设圆方程为 (x a)2 (y b)2 r2(r0)， 因为点 A(4,1)， B(2,1)都在圆上， 故? ?4 a?2 ?1 b?2 r2，?2 a?2 ?1 b?2 r2， 又因为 b 1a 2 1，解得 a 3

7、， b 0， r 2， 故所求圆的方程为 (x 3)2 y2 2. (2)已知圆 C 经过 P( 2,4)， Q(3， 1)两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6，则圆 C 的方程为 答案 x2 y2 2x 4y 8 0 或 x2 y2 6x 8y 0 解析 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F0)， 将 P， Q 两点的坐标分别代入得 ? 2D 4E F 20， 3D E F 10. 又令 y 0，得 x2 Dx F 0. 设 x1， x2是方程 的两根， 由 |x1 x2| 6，即 (x1 x2)2 4x1x2 36， 得 D2 4F 36， 由 解得 D 2，

8、E 4， F 8 或 D 6， E 8， F 0. 故所求圆的方程为 x2 y2 2x 4y 8 0 或 x2 y2 6x 8y 0. 思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程 (2)待定系数法 若已知条件与圆心 (a， b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a， b， r 的值； 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D， E， F 的方程组，进而求出 D， E， F 的值 跟踪训练 (2017 广东七校联考 )一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x 3y 0 上，且在直线 y x 上截得的弦长为 2 7，则该圆的方程为 答案 x2 y2 6x 2y 1 0 或 x2

9、 y2 6x 2y 1 0 解析 方法一 所求圆的圆心在直线 x 3y 0 上， 设所求圆的圆心为 (3a， a)， 又所求圆与 y 轴相切， 半径 r 3|a|， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又所求圆在直线 y x 上截得的弦长为 2 7，圆心 (3a， a)到直线 y x 的距离 d |2a|2 ， d2 ( 7)2 r2，即 2a2 7 9a2， a 1. 故所求圆的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9 或 (x 3)2 (y 1)2 9，即 x2 y2 6x 2y 1 0或 x2 y2 6x 2y 1 0. 方法二 设所求圆的方程为 (x a)2 (y b)2 r2， 则圆心

10、(a， b)到直线 y x 的距离为 |a b|2 ， r2 ?a b?22 7，即 2r2 (a b)2 14. 由于所求圆与 y 轴相切， r2 a2， 又 所求圆的圆心在直线 x 3y 0 上， a 3b 0， 联立 ，解得? a 3，b 1，r2 9或? a 3，b 1，r2 9.故所求圆的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9 或 (x 3)2 (y 1)2 9，即 x2 y2 6x 2y 1 0或 x2 y2 6x 2y 1 0. 方法三 设 所求圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，则圆心坐标为 ? ? D2， E2 ， 半径 r 12 D2 E2 4F. 在圆的方程中，令

11、 x 0，得 y2 Ey F 0. 由于所求圆与 y 轴相切， 0，则 E2 4F. 圆心 ? ? D2， E2 到直线 y x 的距离为 d ? ? D2 E22 ， 由已知得 d2 ( 7)2 r2， 即 (D E)2 56 2(D2 E2 4F) 又圆心 ? ? D2， E2 在直线 x 3y 0 上， D 3E 0. 联立 ，解得? D 6，E 2，F 1或? D 6，E 2，F 1.=【 ;精品教育资源文库 】 = 故所求圆的方程为 x2 y2 6x 2y 1 0 或 x2 y2 6x 2y 1 0. 题型二 与圆有关的最值问题 典例 已知点 (x， y)在圆 (x 2)2 (y 3

12、)2 1 上，求 x y 的最大值和最小值 解 设 t x y，则 y x t， t 可视为直线 y x t 在 y 轴上的截距， x y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在 y 轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即 |2 ? 3? t|2 1， 解得 t 2 1 或 t 2 1. x y 的最大值为 2 1，最小值为 2 1. 引申探究 1在本例的条件下，求 yx的最大值和最小值 解 yx可视为点 (x， y)与原点连线的斜率， yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的

13、斜率 设过原点的直线的方程为 y kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即 |2k 3|k2 1 1，解得 k 2 2 33 或 k 2 2 33 ， yx的最大值为 2 2 33 ，最小值为 2 2 33 . 2在本例的条件下，求 x2 y2 2x 4y 5的最大值和最小值 解 x2 y2 2x 4y 5 ?x 1?2 ?y 2?2，求它的最值可视为求点 (x， y)到定点 ( 1,2)的距离的最值，可转化为 求圆心 (2， 3)到定点 ( 1,2)的距离与半径的和或差又圆心到定点 ( 1,2)的距离为 34， x2 y2 2x 4y 5的最大值为 34 1，最小值为 34 1.

14、思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解 (2)与圆上点 (x， y)有关代数式的最值的常见类型及解法 形如 u y bx a型的最值问题，可 转化为过点 (a， b)和点 (x， y)的直线的斜率的最值问题； 形如 t ax by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； 形如 (x a)2 (y b)2型的最值问题，可转化为动点到定点 (a， b)的距离的平方的最值问题 跟踪训练 已知点 P(x， y)在圆 C： x2 y2 6x 6y 14 0 上 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 yx的最大值和最小值； (2)求 x y 的最大值与最小值 解 (1)方程 x2 y2 6x 6y 14 0 可变形为 (x 3)2 (y 3)2 4. yx表示圆上的点 P 与 原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点 )与圆相切时，斜率最大或最小，如图 所示 设切线方程为 y kx，即 kx y 0， 由圆心 C(3,3)到切线的距离等于半径 2， 可得 |3k 3|k2 1 2， 解得 k 92 145 ， 所以 yx的最大值为 9 2 145 ，最