高考数学导数及其应用.docx
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1、1.导数的运算及几何意义(1)函数f(x)在xx0处的导数f(x0) ,f(x) .(2)导数的几何意义:曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率等于f(x0),其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).(3)函数的求导公式:(C)0,(xn)nxn1,(sin x)cos x,(cos x)sin x,(ax)axln a,(ex)ex,(logax),(ln x).(4)导数的四则运算法则:f(x)g(x)f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x),(g(x)0).2.导数的应用(1)函数的单调性:在区间(a,b)内,f(x)0,则f(x)递增;f(x)
2、0,则f(x)递减.(2)函数的极值:f(x0)0,在x0附近,从左到右,f(x)的符号由正到负,f(x0)为极大值;由负到正,f(x0)为极小值.(3)函数的最值:闭区间a,b上图象连续不断的函数yf(x),最值在极值点或区间端点处取得,最大的为最大值,最小的为最小值.(4)生活中的优化问题(导数的实际应用).3.定积分概念、运算和应用题型一解决与切线有关的问题例1已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x0时,x2ex.(1)解由f(x)exax,得f(x)exa.又f(0)1a1,得
3、a2.所以f(x)ex2x,f(x)ex2.令f(x)0,得xln 2.当xln 2时,f(x)ln 2时,f(x)0,f(x)单调递增.所以当xln 2时,f(x)取得极小值,且极小值f(ln 2)eln 22ln 22ln 4,f(x)无极大值.(2)证明令g(x)exx2,则g(x)ex2x.由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0.故g(x)在R上单调递增,又g(0)10,因此,当x0时,g(x)g(0)0,即x2ex.反思与感悟高考中求切线方程问题主要有以下两种类型:类型1求“在”曲线yf(x)上一点P(x0,y0)的切线方程(高考常考类型).则点P(x0,y0)为切点,当切线斜率
4、存在(即函数f(x)在x0处可导)时,切线斜率为kf(x0),有唯一的一条切线,对应的切线方程为yy0f(x0)(xx0);当切线斜率不存在时,对应的切线方程为xx0.类型2求“过”曲线yf(x)上一点P(x0,y0)的切线方程,则切线经过点P,点P可以是切点,也可以不是切点.这样的直线可能有多条,解决问题的关键是设切点,利用“待定切点法”,即:设点A(x1,y1)是曲线yf(x)上的一点,则以A为切点的切线方程为yy1f(x1)(xx1);根据题意知点P(x0,y0)在切线上,点A(x1,y1)在曲线yf(x)上,得到方程组求出切点A(x1,y1),代入方程yy1f(x1)(xx1),化简即
5、得所求的切线方程.跟踪训练1已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2,6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线yf(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.解(1)f(2)232166,点(2,6)在曲线上.f(x)(x3x16)3x21,在点(2,6)处的切线的斜率为kf(2)322113,切线的方程为y13(x2)(6),即y13x32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)3x1,直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0),0(3x1)(x0)xx016,整理得x8,x02,y0(2)3(2)1626,k3(2)
6、2113,直线l的方程为y13x,切点坐标为(2,26).题型二利用导数求参数取值范围问题例2设函数f(x)x2exxex.(1)求f(x)的单调区间;(2)若当x2,2时,不等式f(x)m恒成立,求实数m的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(,),f(x)xex(exxex)x(1ex).若x0,则1ex0,所以f(x)0;若x0,则1ex0,所以f(x)0;若x0,则f(x)0.f(x)在(,)上为减函数,即f(x)的单调减区间为(,).(2)由(1)知f(x)在2,2上单调递减,f(x)minf(2)2e2.当m2e2时,不等式f(x)m恒成立.反思与感悟利用导数确定参数的取值范围
7、时,要充分利用f(x)与其导数f(x)之间的对应关系,然后结合函数的单调性等知识求解.求解参数范围的步骤为:(1)对含参数的函数f(x)求导,得到f(x);(2)若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则f(x)0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则f(x)0恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围;(3)验证参数范围中取等号时,是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立,则函数f(x)在(a,b)上为常函数,舍去此参数值.跟踪训练2已知函数f(x)ax1,其中aR.(1)若f(x)在定义域上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若函数g(x)xf(x)有唯一零点,试求实数a的取值范围.
8、 解(1)f(x)a,由题意知f(x)0在(0,)上恒成立,ax2ln x10在(0,)上恒成立,a,令h(x),则h(x)0有根,令x0,当x(0,x0)时,h(x)0,函数h(x)单调递增;当x(x0,)时,h(x)0,函数h(x)单调递减.h(x)在x0处取得最大值.ah(x)maxh(x0).(2)由题意知g(x)xf(x)ax2xlnx0,即a有唯一正实数根,令(x),即函数ya与函数y(x)的图象有唯一交点;(x).再令R(x)x12ln x,R(x)10,且易得R(1)0,故当x(0,1)时,R(x)0,(x)0,函数(x)单调递减;当x(1,)时,R(x)0,(x)0,函数(x
9、)单调递增.故(x)(1)1.又当x0时,(x),而当x时,(x)0且(x)0,可得如图所示的图象.故满足条件的实数a的取值范围为a|a0或a1.题型三利用导数求函数的极值、最值问题例3已知函数f(x)x2aln x(aR), (1)若f(x)在x2时取得极值,求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)求证:当x1时,x2ln xx3.(1)解f(x)x,因为x2是一个极值点,所以20,则a4.此时f(x)x,因为f(x)的定义域是(0,),所以当x(0,2)时,f(x)0;当x(2,),f(x)0,所以当a4时,x2是一个极小值点,故a4.(2)解因为f(x)x,所以当a0时,f(x)的单
10、调递增区间为(0,).当a0时,f(x)x,所以函数f(x)的单调递增区间为(,);递减区间为(0,).(3)证明设g(x)x3x2ln x,则g(x)2x2x,因为当x1时,g(x)0,所以g(x)在x(1,)上是增函数,所以g(x)g(1)0,所以当x1时,x2ln xx3.反思与感悟有关函数极值、最值问题,需注意求解思路与方法,理解构造函数在解(证)题中的灵活运用.跟踪训练3已知函数f(x)x3ax2bx在区间(2,1)内,当x1时取极小值,当x时取极大值.(1)求函数yf(x)在x2时的对应点的切线方程;(2)求函数yf(x)在2,1上的最大值与最小值.解(1)f(x)3x22axb.
11、又x1,x分别对应函数取得极小值、极大值的情况,所以1,为方程3x22axb0的两个根.所以a,b2,则f(x)x3x22x.x2时,f(x)2,即(2,2)在曲线上.又切线斜率为kf(x)3x2x2,f(2)8,所求切线方程为y28(x2),即为8xy140.(2)x在变化时,f(x)及f(x)的变化情况如下表:x2(2,1)11f(x)00f(x)2则f(x)在2,1上的最大值为2,最小值为.解实际问题时因忽略定义域致误例4现有一批货物由海上A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/小时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料
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