2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.3空间图形的基本关系与公（理科）学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.3 空间图形的基本关系与公理 最新考纲 考情考向分析 1.理解空间直线、平面位置关系的定义 2.了解可以作为推理依据的公理和定理 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 . 主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力 . 1四个公理 公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理 2：过 不在一条直线上 的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有

2、一条 过该点的公共直线 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ? 共面直线? 平行 直线相交 直线异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角 定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a 与 b所成的 锐角 (或直角 )叫作 异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角 ) 范围： ? ?0， 2 . 3直线与平面的位置关系有 直线在平面内 、 直线与平面相交 、 直线与平面平行 三种情况 4平面与平面的位置关系有 平行 、 相交 两种情况 5等角定理 空间中如果两个角的

3、两边分别对应平行 ，那么这两个角相等或互补 知识拓展 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)过平面外一点有且只有一个平面与已 知平面平行 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a，就说平面 ， 相交，并记作 a.( ) (2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ，

4、相交于过 A 点的任意一条直线 ( ) (3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( ) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面 ( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线 ( ) (6)若 a， b 是两条直线， ， 是两个平面，且 a ， b ，则 a， b 是异面直线 ( ) 题组二 教材改编 2如图所示，已知 M， N 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1中 BB1和 B1C1的中点，则 MN 与 CD1所成的角为 _ 答案 60 解析 连接 AD1， AC，因为 M， N 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1中 BB1和 B1C1的中点，所以 AD1 MN，故

5、 AD1C 为 MN 与 CD1所成的角或其补角，由于 AC AD1 D1C，故 AD1C 60 ，则 MN 与 CD1所成的角为 60. 3.如图，在三棱锥 A BCD 中， E， F， G， H 分别是棱 AB， BC， CD， DA 的中点，则 (1)当 AC， BD 满足条件 _时，四边形 EFGH 为菱形； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)当 AC， BD 满足条件 _时，四边形 EFGH 为正方形 答案 (1)AC BD (2)AC BD 且 AC BD 解析 (1) 四边形 EFGH 为菱形， EF EH，故 AC BD. (2) 四边形 EFGH 为正方形， EF EH

6、 且 EF EH， EF 綊 12AC， EH 綊 12BD， AC BD 且 AC BD. 题组三 易错自纠 4若 P 是两条异面直线 l， m 外的任意一点，则 ( ) A过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都平行 B过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都垂直 C过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都相交 D过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都异面 答案 B 解析 A 项，设过点 P 的直线为 n，若 n 与 l， m 都平行，则 l， m 平行，与 l， m 异面矛盾， A错； B 项， l， m 只有唯一的公垂线，而过点 P 与公垂线平行的直线只有 1 条， B 对；

7、 C 项，如图所示，在正方体 ABCD A B C D 中，设 AD 为直线 l， A B 为直线 m，若点P 在 P1点，显然无法作出直线与两直线都相交， C 错； D 项，若 P 在 P2点，则直线 CC 及 D P2均与 l， m 异面， D 错 5下列命题正确的有 _ (填序号 ) 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内； 若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l 与平面 平行； 若直线 l 与平面 相交，则 l 与平面 内的任意直线都是异面直线； 如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交； 若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的直线 平行或异

8、面 答案 解析 正确； 错误，直线 l 与平面 相交时，仍有无数个点不在平面 内； =【 ;精品教育资源文库 】 = 错误，直线 l 与平面 内过该交点的直线不是异面直线； 错误，另一条直线可能在该平面内； 正确 6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB， CD， EF， GH 在原正方体中互为异面的对数为 _ 答案 3 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB， CD， EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD， EF 与 GH， AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交， CD 与 GH 相交， CD 与 EF平行故互为异面的直线有

9、且只有 3 对 题型一 平面基本性质的应用 典例 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是 AB 和 AA1的中点求证： (1)E， C， D1， F 四点共面； (2)CE， D1F， DA 三线共点 证明 (1)如图，连接 EF， CD1， A1B. E， F 分别是 AB， AA1的中点， EF BA1. 又 A1B D1C， EF CD1， E， C， D1， F 四点共面 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2) EF CD1， EFCD1， CE 与 D1F 必相交， 设交点为 P，如图所示 则由 P CE， CE 平面 ABCD，得 P 平面 ABCD

10、. 同理 P 平面 ADD1A1. 又平面 ABCD 平面 ADD1A1 DA， P 直线 DA， CE， D1F， DA 三线共点 思维升华 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法： 首先由所给条件中的部分线 (或点 )确定一个平面，然后再证其余的线 (或点 )在这个平面内； 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合 (2)证明点共线问题的两种方法： 先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； 直接证明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明线 共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 跟踪训练 已知正方体 ABCD A

11、1B1C1D1中， E， F 分别为 D1C1， C1B1的中点， AC BD P， A1C1 EF Q，求证： (1)D， B， F， E 四点共面； (2)若 A1C 交平面 BDEF 于 R 点，则 P， Q， R 三点共线 证明 (1)如图 EF 是 D1B1C1的中位线， EF B1D1. 在正方体 AC1中， B1D1 BD， EF BD. EF， DB 确定一个平面， 即 D， B， F， E 四点共面 (2)在正方体 AC1中，设 A1ACC1确定的平面为 ，平面 BDEF 为 . Q A1C1， Q . 又 Q EF， Q ，则 Q 是 与 的公共点， PQ. 又 A1C R

12、， R A1C， R ，且 R ，则 R PQ，故 P， Q， R 三点共线 题型二 判断空间两直线的位置关系 =【 ;精品教育资源文库 】 = 典例 (1)若直线 l1和 l2是异面直线， l1在平面 内， l2在平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是 ( ) A l 与 l1， l2都不相交 B l 与 l1， l2都相交 C l 至多与 l1， l2中的一条相交 D l 至少与 l1， l2中的一条相交 答 案 D 解析 方法一 由于 l 与直线 l1， l2分别共面，故直线 l 与 l1， l2要么都不相交，要么至少与 l1， l2中的一条相交若 l l1， l l

13、2，则 l1 l2，这与 l1， l2是异面直线矛盾故 l 至少与 l1， l2中的一条相交 方法二 如图 1， l1与 l2是异面直线， l1与 l 平行， l2与 l 相交，故 A， B 不正确；如图 2，l1与 l2是异面直线， l1， l2都与 l 相交，故 C 不正确 (2)(2017 唐山一中月考 )如图， G， H， M， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH， MN 是异面直线的图形有 _ (填上所有正确答案的序号 ) 答案 解析 在图 中，直线 GH MN； 在图 中， G， H， N 三点共面， 但 M?平面 GHN， N?GH， 因此直线 GH 与 M

14、N 异面； 在图 中，连接 GM， GM HN，因此 GH 与 MN 共面； 在图 中， G， M， N 共面，但 H?平面 GMN， G?MN， 因此 GH 与 MN 异面 所以在图 中 GH 与 MN 异面 思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形 (梯形 )中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面 平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决 跟踪训练 (1)(2016 山东 )已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则 “ 直线 a 和=【 ;精品教育资源文库 】 = 直线 b 相交 ” 是 “ 平面 和平面 相交 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 A 解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 和平面 相交； 若平面 和平面 相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A. (2)已知 a， b， c 为三条不重合的直线，已知下列结论： 若 a b， a c，则 b c； 若 a b， a c，则