高考数学知识点考点重点讲解第2讲-解析几何中的“瓶颈题”-(1).docx
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1、第2讲 解析几何中的“瓶颈题”【举题说法】第2讲解析几何中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第6573页)数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,主要分六块:三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、解析几何(或与平面向量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇).其中三角函数和立体几何属于基础问题,若能够拿下应用问题和解析几何题,便攻下了全部中档题和基础题,锁定了128分,应该认为这已打了一个大胜仗,基本上已经进入了“第一方阵”(本科行列).解析几何重点考查的内容是:直线方程,圆的方程,圆锥曲线的定义,标准方程及其应用,离心率、焦点、准线和渐近线等简单的几何性质以及数
2、学学科内在的联系和综合.解析几何解答题重点考查的内容是:圆锥曲线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系.常考常新的题型有轨迹、最值、定值、对称、参数范围、几何证明、实际应用和探究性问题等.圆锥曲线是高考的重点、难点和热点,其难度往往体现在运算上,尤其是代数式的运算,“降低运算量”应视为解答解析几何综合问题的首要理念,只有将运算量有效地降下来,才能回避繁重的计算.因而如何降低运算量就成为了突破解析几何问题的关键.回归定义,追根溯源对某些圆锥曲线问题,甚至一些从表面上看并不是圆锥曲线问题的问题,若采取“回归定义”的策略,把定量的计算和定性的分析有机地结合起来,则往往能获得题目所固有的本质属性,达到准
3、确判断、合理运算、灵活解题的目的,这样可使计算量大大减小.例1如图,已知圆C:(x+2)2+y2=36,P是圆C上的任意一动点,点A的坐标为(2,0),线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q.求点Q的轨迹G的方程.(例1)【分析】因为QA=QP,所以QC+QA=QC+QP=CP=r=6,再根据椭圆的定义,点Q的轨迹G是中心在原点,以C,A为焦点,长轴长等于6的椭圆.【解答】圆C的圆心为C(-2,0),半径r=6,CA=4,连接QA.由已知得QA=QP,所以QC+QA=QC+QP=CP=r=6CA.根据椭圆的定义,点Q的轨迹G是中心在原点,以C,A为焦点,长轴长等于6的椭圆,即a=3,c=2,
4、b2=a2-c2=9-4=5,所以点Q的轨迹G的方程为+=1.【点评】应用定义求动点轨迹或其方程,其优势在于避免列式、化简等繁琐的代数处理过程,给人以简捷、明快之感.定义法是解析几何中最朴素、最基本的数学思想方法,可以说它是求动点轨迹或其方程的重要方法之一.练习如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(ab0)的两焦点分别为F1(-,0),F2(,0),且经过点.(1)求椭圆的方程及离心率.(2)设点B,C,D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点B与点D关于原点O对称.设直线CD,CB,OB,OC的斜率分别为k1,k2,k3,k4,且k1k2=k3k4.求k1k2的值;求OB2+OC2的值.(练
5、习)【解答】(1)方法一:依题意知c=,a2=b2+3,由+=1,解得b2=1,从而a2=4.故所求椭圆方程为+y2=1,离心率e=.方法二:由椭圆的定义知2a=+=4,即a=2.又因为c=,故b2=1.下同方法一.(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),则D(-x1,-y1),于是k1k2=-.由知k3k4=k1k2=-,故x1x2=-4y1y2.所以(x1x2)2=(-4y1y2)2,即(x1x2)2=16=16-4(+)+,所以+=4.又2=+=+,故+=1.所以OB2+OC2=+=5.设而不求,多思少算在解题时,可设一些辅助元(参数),然后在解题过程中,巧妙地消去辅助元(参数),而
6、不必求出这些辅助元(参数)的值(有时也求不出),便于降低运算量,优化解题过程.例2(2015苏锡常镇、宿迁一调)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,且经过点,过椭圆的左顶点A作直线lx轴,点M为直线l上的动点(点M与点A不重合),点B为椭圆的右顶点,直线BM交椭圆C于点P.(1)求椭圆C的方程.(2)求证:APOM.(3)试问是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是,请说明理由.(例2)【解答】(1)因为椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,所以a2=2c2,又c2=a2-b2,所以a2=2b2.又椭圆C过点,所以+=1,所以a2=4,b2=2.所以椭圆C的
7、方程为+=1.(2)方法一:设直线BM的斜率为k,则直线BM的方程为y=k(x-2).设P(x1,y1),将y=k(x-2)代入椭圆C的方程+=1中,化简得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-4=0,解得x1=,x2=2,所以y1=k(x1-2)=,从而P.令x=-2,得y=-4k,所以M(-2,-4k),=(-2,-4k).又=,所以=+=0,所以APOM.方法二:设P(x0,y0).因为A(-2,0),B(2,0).所以kPAkPB=.又因为点P在椭圆上,所以+=1,所以=2.所以kPAkPB=-.因为kPB=kMB=-tanMBA=-,kMO=-tanMOA=-.所以2kPB=kMO.
8、因为kPA=,所以kMOkPA=-1,即APMO.(3)设P(x0,y0),M(-2,t).由(2)得APMO,所以kAP=,kOM=.所以kAPkOM=-1,所以t=.所以=(x0,y0)=-2x0+y0=4.所以为定值4.【点评】本题第(2)问中方法一是采用设直线斜率k为参数,用k表示点P的坐标;方法二是用点P坐标去表示与之相关的直线斜率,并且成功地避开求出点P坐标,而是利用点P的几何特征求出直线斜率之间的关系,从而达到设而不求简化计算的目的.练习过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M平分,求这条弦所在直线的方程.【解答】设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
9、因为M(2,1)为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2.又A,B在椭圆上,所以+4=16,+4=16,以上两式相减得(-)+4(-)=0,所以(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,所以=-=-=-,即kAB=-.故所求直线的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.平几渗透,数形结合在用代数方法研究曲线间关系的同时,充分利用好图形本身所具有的平面几何性质,常可得出简捷而优美的解法.例3如图,已知点P是圆O:x2+y2=1上第一象限内的任意一点,过点P作圆O的切线交椭圆C:+y2=1于Q(x1,y1),R(x2,y2)(y1y2)两点,椭圆C的右焦点为
10、F(,0).(1)求证:PQ+FQ=2;(2)求QR的最大值.(例3)【分析】(1)由两点间的距离公式求QF(用x1表示),由勾股定理求PQ(用x1表示);(2)同理,PR+FR=2,有QR+QF+FR=4,结合QRQF+FR求解.【解答】(1)由点Q(x1,y1)在椭圆上,得+=1,则QF=2-x1,PQ=x1,所以PQ+FQ=2.(2)由(1)同理得PR+FR=2,则QR+QF+FR=4.又QRQF+FR2QR4,即QR2,所以当QR过点F时取得最大值2.【点评】运用平面几何知识,可降低运算量、直观地解决问题.如:(1)线段垂直平分线:已知线段AB,动点P满足PA=PB点P在线段AB的垂直
11、平分线上.(2)三角形:三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;等腰三角形的两底角相等,且两底角必为锐角;两个特殊直角三角形.(3)四边形:对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线之积的一半;平行四边形的对角线互相平分(反之也行);菱形的对角线互相平分且互相垂直(反之也行);矩形的对角线互相平分且相等(反之也行);正方形的对角线互相平分、垂直、相等(反之也行),其中含有等腰直角三角形.(4)圆:直径所对的圆周角为直角(反之也行);垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦(反之也行).练习设直线l:3x+4y+m=0与圆C:x2+y2+x-2y=0相交于P,Q两点,则当m为何值时,OPOQ?(
12、练习)【解答】如图,因为圆C:x2+y2+x-2y=0过原点O,则POQ是圆C的圆周角,且为直角.根据“圆中90的圆周角所对的弦是直径”可知PQ为圆C的直径,即直线3x+4y+m=0过圆心C,代入直线方程得3+41+m=0,解得m=-.【点评】将直线方程3x+4y+m=0代入圆的方程,消元后利用x1x2+y1y2=0来求m值,也是切实可行的.而借助圆的几何性质来解题,则令人拍案叫绝!同理推算,整体代换解析几何中存在不少类似问题,这些问题只需算好一部分,然后作类似的推算与替换即可得到另一部分结果.例4如图,已知点P在椭圆C:+=1(ab0)上,且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B是椭
13、圆C上两点,且kPA+kPB=0,求直线AB的斜率kAB.(例4)【分析】(1)由=,可用a表示b,再代入点P得椭圆的方程.(2)由kPA+kPB=0,设直线PA:y-=k(x-1),则直线PB:y-=-k(x-1),将PA的方程与椭圆的方程联立结合韦达定理可求得点A的坐标(用k表示).同理(以-k替换k)可得点B的坐标(用k表示),再求kAB即可.【解答】(1)由=,得c2=a2=a2-b2,有b2=a2,所以椭圆C:+=1,又点P在椭圆C上,代入解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线PA,PB的斜率存在,设直线PA:y-=
14、k(x-1),则直线PB:y-=-k(x-1),由消去y,得(4k2+3)x2+8kx+4-12=0,由1x1=,即x1=,y1=k+=,所以A.同理可得B,所以kAB=,即直线AB的斜率kAB=.【点评】当一动直线与圆锥曲线相交时,若两个交点均为未知点,要求出这两个交点,是非常困难的事,但若知道了一个交点,借用韦达定理求另一个交点难度也就不大了,一旦求出了交点的坐标,问题则已接近解决.练习如图,已知椭圆E:+=1过点D,且右焦点为F(1,0),右顶点为A.过点F的弦为BC,直线BA、直线CA分别交直线l:x=m (m2)于P,Q两点.(1)求椭圆E的方程;(2)若FPFQ,求m的值.(练习)
15、【解答】(1)因为椭圆E过点D,所以+=1,又椭圆E的右焦点为F(1,0),所以a2-b2=1,联立两方程解得a2=4,b2=3,所以椭圆E的方程为+=1.(2)设B(x0,y0),则BC:y=(x-1),与椭圆E:+=1联立方程组解得x=x0,y=y0或x=,y=,所以C.kABkAC=-.显然kAB=kAP,kAC=kAQ,所以kAPkAQ=-.设Q(m,y1),kFQ=kAQ,同理kFP=kAP.所以kFPkFQ=kAPkAQ=-=-1,又m2,所以=,所以m=4.【点评】本题考查了椭圆的标准方程、直线的斜率.重点考查学生的计算能力,即应用解析的方法证明圆锥曲线性质的能力.本题中要证明F
16、PFQ,即证明kFPkFQ=-1,通过分析可以发现kFQ与kAQ成比例,同理kFP与kAP成比例,故只需证明kABkAC即可.【几何性质的应用】几何性质的应用圆中的几何量转化为代数关系例1如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A为椭圆+=1的右顶点,点D(1,0),点P,B在椭圆上,=.(1)求直线BD的方程.(2)求直线BD被过P,A,B三点的圆C截得的弦长.(3)是否存在分别以PB,PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.(例1)【点拨】弦长公式l=2.【分析】(1)根据两点式即可求出直线BD的方程;(2)先求出圆心、半径,再根据弦长公式求出弦长;(3
17、)根据两个等圆相外切得到P,M,N在一条直线上,且PM=PN,从而求出两个圆的方程.【解答】(1)因为=,且A(3,0),所以BP=DA=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,从而得P(1,2),B(-1,2),所以直线BD的方程为x+y-1=0.(2)由(1)知线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为y=x-1,联立解得所以圆C的圆心为(0,-1),且圆C的半径为r=.又圆心(0,-1)到直线BD的距离为d=,所以直线BD被圆C截得的弦长为2=4.(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PA的垂直
18、平分线y=x-1上.当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN.设M(0,b),则N(2,4-b),根据N(2,4-b)在直线y=x-1上,解得b=3.所以M(0,3),N(2,1),PM=PN=,故存在这样的两个圆,且方程分别为x2+(y-3)2=2,(x-2)2+(y-1)2=2.【点评】求圆中弦长问题,多用垂径定理,先计算圆心到直线的距离,再利用弦长公式l=2;求圆的方程问题常见于找出圆心和半径,对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行判定.练习在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-3)2+(y+2)2=4,圆C2:(x+m)2+(y+m+5)2=
19、2m2+8m+10(mR,且m-3).(1)设P为坐标轴上的点,满足过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线,切点分别为T1,T2,使得PT1=PT2,试求出所有满足条件的点P的坐标;(2)若斜率为正数的直线l平分圆C1,求证:直线l与圆C2总相交.【点拨】“相交”转化为圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系.【分析】(1)将等式PT1=PT2转化为坐标之间的关系,通过解方程求解;(2)利用直线与圆的位置关系的判定方法证明.【解答】(1)设点P的坐标为(x0,y0),圆C1与圆C2的半径分别为r1,r2.由题意得P-=P-,即(x0-3)2+(y0+2)2-4=(x0+m)2+(y0+m+5)2-(
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