图形的位似变换与坐标课件.ppt

1、1.什么叫位似图形什么叫位似图形?定义：定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应 边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位 似中心.位似比：位似比：两个位似图形的相似比叫做位似比.注意：注意：（1）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图 形，位似图形与它们的位置有关，而相似图形与它们的位置无关；（2）位似图形是一种特殊的相似图形，它的每一组对应点所在的直线都经过同一个点；（3）位似是一种重要的图形变换方式，利用位似变换可以将一个图形进行放大或缩小.复习回顾复习回顾三个条件三个条件: 1、相似、相似 2、对应顶点的连线相交于一点、对应顶点的连线相交于一

2、点 3、对应点连线互相平行、对应点连线互相平行什么叫位似图形什么叫位似图形?复习回顾复习回顾2.位似图形的性质位似图形的性质性质：性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.规律：规律： （1）位似图形对应点的连线或延长线 相交于一点；（2）位似图形对应线段平行且成比例；（3）位似图形的对应角相等.复习回顾复习回顾3.画位似图形的步骤画位似图形的步骤步骤：步骤： （1）确定位似中心点；（2）将图形各顶点与位似中心连接（或延长）；（3）按位似比进行取点；（4）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形.注意：注意： （1）位似中心可以是任意一点，这个点可以在多边形的内部 或外部或

3、在多边形上，但具体问题一般要考虑画图方便 且符合要求；（2）一般情况下，画已知图形的位似图形的结果不唯一； （3）将一个图形放大或缩小而保持形状不变.复习回顾复习回顾DEFAOBC如何把三角形如何把三角形ABC放大为原来的放大为原来的2倍倍?DEFAOBC对应点连线都交于对应点连线都交于_对应线段对应线段_位似中心位似中心平行或在一条直线上平行或在一条直线上复习回顾复习回顾 1、如果把位似图形放到直角坐标系中，、如果把位似图形放到直角坐标系中，又如何去探究位似变换与坐标之间的关系呢？又如何去探究位似变换与坐标之间的关系呢？下来想一想？下来想一想？ 问题问题1 图图1中中,AOB沿沿x轴向右平移

4、轴向右平移3个单位之后个单位之后,得到得到AOB.三个顶点的坐三个顶点的坐标有什么变化呢标有什么变化呢?55ABABO图图1A”B”O”当图形向右平移三个单位时当图形向右平移三个单位时,各点的各点的横坐标分别横坐标分别加加3,纵坐标不变纵坐标不变.当图形向上当图形向上平移时平移时,坐标坐标又有什么变又有什么变化呢化呢?归纳归纳(一一):图形的平移图形的平移: (a0)(x.y) (x+a,y)(x.y) (x-a,y)(x.y) (x,y+a)(x.y) (x,y-a)向右平移向右平移a个单位个单位向左平移向左平移a个单位个单位向上平移向上平移a个单位个单位向下平移向下平移a个单位个单位 问题

5、问题2 图中图中,ABC关于关于x轴的轴对称轴的轴对称图形是图形是ABC.对应顶点的坐标有什么变对应顶点的坐标有什么变化化?图图2xy0A(3,4)B(1,2)C(5,1)A(3,-4)B(1,-2)C(5,-1)A”(-3,4)B”(-1,2)C”(-5,1)A(-3,-4)B(-1,-2)C(-5,-1)当图形关当图形关于于x轴对称轴对称,横坐标不横坐标不变变,纵坐标纵坐标乘以乘以(-1).图形的对称图形的对称: (x.y) (x,-y)(x.y) (-x,y)(x.y) (-x,-y)归纳归纳(二二):关于关于y轴对称轴对称关于原点关于原点O中心对称中心对称关于关于x轴对称轴对称xy0

6、xy0 xy0 xy0 xy0 xy0 xy0 xy0问题问题3 整个图形形状不变整个图形形状不变,大小扩大大小扩大2倍后倍后,对应的坐标又有什么变化呢对应的坐标又有什么变化呢?xy0(5,4)(x,y)(2x,2y)问题问题4 将图中的鱼横向伸长到原来的将图中的鱼横向伸长到原来的2倍倍,那么它的那么它的坐标将会发生什么变化呢坐标将会发生什么变化呢?xy0A(10,4)DCE(8,-2)BE(4,-2)A(5,4)D(5,-1)C(5,1)B(3,0)纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的2倍倍.87654321-1-2-3-4y0 1 2 3 4 5 6 7

7、 8 9 10 x图形被横向压缩为原来的图形被横向压缩为原来的1/2412345678012361234578910 xy原图形被纵向拉伸到原来的原图形被纵向拉伸到原来的2倍倍yx10987654321-2-101432xy123456789101234567-1-2-3-408FOGMLHACDEBOv1、线段、线段CD与与HL，OA与与OF，BE与与GM的长度各是多少？的长度各是多少？（图（图1 1）（图（图2 2）CD=2, HL=4;4141OA= , OF=2 ;55BE= , GM=2 .yx10987654321-2-101432xy123456789101234567-1-2-

8、3-408FOGMLHACDEBO（图（图1 1）（图（图2 2）2、线段、线段CD与与HL，OA与与OF，BE与与GM的比各是多少？的比各是多少？ 它们相等吗？它们相等吗？wCD HL= 1 2, wOA OF= 1 2,wBE GM=1 2.yx10987654321-2-101432xy123456789101234567-1-2-3-408FOGMLHACDEBO（图（图1 1）（图（图2 2）3、在图中，你还能找到比相等的其他线段吗？、在图中，你还能找到比相等的其他线段吗？w如:CD HL= OA OF.w再如:AB：FG=OE：OM.yx10987654321-2-101432xy

9、123456789101234567-1-2-3-408FOMLHGACDEBO（图（图2 2）4、如果把图（、如果把图（1）中的）中的“鱼鱼”画到同一个直角坐标系中，它画到同一个直角坐标系中，它们是位似图形吗？如果是位似图形，位似中心是哪一个点？们是位似图形吗？如果是位似图形，位似中心是哪一个点？是；是；原点原点O. 顺次连接下列各点顺次连接下列各点,你得到什么图形你得到什么图形? (0,0) (6,0) (6,4) (0,4) (0,0)yx-4-3-2-101234567891087654321(1)把上面各点坐标的横坐标、纵坐标都除把上面各点坐标的横坐标、纵坐标都除2，画出这，画出这个

10、新图形。个新图形。(0,0)(3,0)(3,2)(0,2)(0,0)yx-4-3-2-101234567891087654321(2)你能发现这两个图形有什么关系吗？你能发现这两个图形有什么关系吗？ 顺次连接下列各点顺次连接下列各点,你得到什么图形你得到什么图形? (0,0) (6,0) (6,4) (0,4) (0,0)两个图两个图形位似形位似BAxyBAo在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,有两点有两点A(6,3),B(6,0),A(6,3),B(6,0),以原点以原点O O为为位似中心位似中心, ,相似比为相似比为1:3,1:3,把线段把线段ABAB缩小缩小. .A(2,1), B

11、(2,0)观察对应点之间的坐标的变化观察对应点之间的坐标的变化, ,你有什么发现你有什么发现? ?探索探索1:1:BAxyBAo在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,有两点有两点A(6,3),B(6,0),A(6,3),B(6,0),以以原点原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比为相似比为1:3,1:3,把线段把线段ABAB缩小缩小. .A(2,1),B(2,0)ABA(-2,-1),B(-2,0)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,如果位似变换是以原如果位似变换是以原点为位似中心点为位似中心, ,相似比为相似比为k,k,那么位似图形对那么位似图形对应点的坐标的比等于应点的坐标的

12、比等于k k或或-k.-k.观察对应点之间的坐标的变化观察对应点之间的坐标的变化, ,你有什么发现你有什么发现? ?xyo在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, , ABCABC三个顶点的坐标分别三个顶点的坐标分别为为A(2,3),B(2,1),C(6,2),A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点以原点O O为位似中心为位似中心, ,相相似比为似比为2 2画它的位似图形画它的位似图形. .BACA( 4 ,6 ), B( 4 ,2 ), C( 12 ,4 )放大后对应点的坐标分别是多少放大后对应点的坐标分别是多少? ?BAC探索探索2:2:还有其他办法吗还有其他办法吗? ?24612

13、13624xyo在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, , ABCABC三个顶点的坐标分三个顶点的坐标分别为别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点以原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比为相似比为2,2,将将ABCABC放大放大. .A( -4 ,-6 ), B( -4 ,-2 ), C( -12 ,-4 )BAC放大后对应点的坐标分别是多少放大后对应点的坐标分别是多少? ?B”A”xyo例题例题. .在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, , 四边形四边形ABCDABCD的四个顶点的坐标的四个顶点的坐标分别为分别为A(-6,6),B

14、(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个画出它的一个以原点以原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比为相似比为1/21/2的位似图形的位似图形. .A( -3,3 ), B( -4,1 ), C( -2,0 ), D( -1,2 )BACDABCD你还有其他办法吗你还有其他办法吗? ?试试看试试看. .BAxyBAo在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,有两点有两点A(6,3),B(6,0),A(6,3),B(6,0),以以原点原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比为相似比为1:3,1:3,把线段把线段

15、ABAB缩小缩小. .A(2,1),B(2,0)ABA(-2,-1),B(-2,0)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,如果位似变换是以原如果位似变换是以原点为位似中心点为位似中心, ,相似比为相似比为k,k,那么位似图形对那么位似图形对应点的坐标的比等于应点的坐标的比等于k k或或-k.-k.观察对应点之间的坐标的变化观察对应点之间的坐标的变化, ,你有什么发现你有什么发现? ?例例3 如图，矩形如图，矩形OABC的顶点坐标分别为的顶点坐标分别为O（0，0），），A（6，0），），B（6，4），），C（0，4）.画出以点画出以点O为为位似中心，矩形位似中心，矩形OABC的位似图形的位似

16、图形OA B C ，使，使它的面积等于矩形它的面积等于矩形OABC面积的面积的 ，并分别写出，并分别写出A，B，C三点的坐标三点的坐标.41Oxy（0，4）C（6，4）B（6，0）A解：因为矩形OABC与矩形OABC是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2.连接OB，分别取线段OA，OB，OC的中点A，B，C，连接O A，A B，B C， CO，矩形OABC就是所求的图形.ABCA，B，C三点的坐标分别为A（3，0），B（3，2），C（0，2）.ABAOxy（0，4）C（6，4）B（6，0）ACB观察图形观察图形：（1） A，B，C三点三点的坐标与的坐标与A，B，C三点的坐标有什三

17、点的坐标有什么关系？么关系？A，B，C三点的横、纵坐标都除以2后，就是相应的点A，B，C的坐标.（2）你还能在其他象限）你还能在其他象限中画出满足条件的矩形中画出满足条件的矩形OABC吗？如果能，吗？如果能，两个矩形的对应顶点的坐两个矩形的对应顶点的坐标有什么关系？标有什么关系？（3，0）（0，2） （3，2）C（3，0）（3，2）（0，2）A，B，C三点的横、纵坐标都除以2后，就是相应的点A，B，C的坐标.AOxy（0，4）C（6，4）B（6，0）ACBAB（3，0）（0，2） （3，2）C（3，0）（3，2）（0，2）在同一个直角坐标系中，将一个图形上各点的横在同一个直角坐标系中，将一个图

18、形上各点的横坐标和纵坐标都乘同一个数坐标和纵坐标都乘同一个数k，当，当k是一个不等于是一个不等于1的正数时，得到的图形与原来的图形是位似图的正数时，得到的图形与原来的图形是位似图形吗？如果是位似图形，位似中心是哪个点？位形吗？如果是位似图形，位似中心是哪个点？位似比等于多少？当似比等于多少？当k是一个负数时呢？是一个负数时呢？是是坐标原点坐标原点 k ： 1当当k是一个负数时，还是是一个负数时，还是位似图形，位似中心是位似图形，位似中心是坐标原点，位似比是坐标原点，位似比是k：1.xyoB1.1.如图表示如图表示AOBAOB和把它缩小后得到的和把它缩小后得到的COD,COD,求它们的相似比求它

19、们的相似比ACD练一练练一练:xyo2.2.如图如图ABCABC的三个顶点坐标分别为的三个顶点坐标分别为A(2,-2),B(4,-5),C(5,-2),A(2,-2),B(4,-5),C(5,-2),以原点以原点O O为位似中心为位似中心, ,将这个三角形放大为原来的将这个三角形放大为原来的2 2倍倍. .BAC练一练练一练:xyo3.3.如图如图, ,已知矩形已知矩形wxyzwxyz各点的坐标各点的坐标, ,如果矩形如果矩形STUVSTUV相似于相似于wxyzwxyz, ,点点S S 的坐标为的坐标为(2,2),(2,2),按照下列相似比按照下列相似比, ,分别写出分别写出T T、U U、V

20、 V各点的坐标各点的坐标. . W x y z(1)(1)相似比为相似比为 ; ;12练一练练一练:( 1,1 )( 5,1 )( 5,4 )( 1,4 ) S( 2,2 )课堂小结：课堂小结： 1、如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，直线都经过同一个点， 那么这样的两个图形叫做那么这样的两个图形叫做。 2、 这个点叫做这个点叫做。 3、这时的相似比又称为这时的相似比又称为 。4、位似图形上任意一对对应点到位似中位似图形上任意一对对应点到位似中 心的距离之比等于心的距离之比等于 。 5. 在以坐标原点为位似中心

21、的位似变换中在以坐标原点为位似中心的位似变换中若原图形上点的坐标为（若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（或（kx，ky） 6、我学会了把任意图形我学会了把任意图形 。位似图形位似图形位似中心位似中心位似比位似比位似比位似比放大与缩小放大与缩小坐标系中的位似变换坐标系中的位似变换规律：规律： 若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.类型之一位似图形的概念类型之一位似图形的概念如图40-1，菱形ABCD中，对角线AC、

22、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（C）A.AOM和AON都是等边三角形B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形C.四边形AMON和四边形ABCD是位似图形D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形【解析】 因为菱形ABCD的内角度数不确定，所以AOM与AON不一定是等边三角形;四边形MBON和四边形MODN是平行四边形，但不一定是菱形；同样，因为AB不一定等于AC,所以BM不一定等于OC,所以四边形MBCO和四边形NDCO不一定是等腰梯形,故只有C正确.【点悟】判断两个图形位似时，一要注意两个图形是相似图形；二要两个图形每组对应顶点

23、所在的直线都相交于一点；三要对应边互相平行或重合.已知已知ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，在直角坐标系中的位置如图所示，如果如果ABC与与ABC 关于关于y轴对称轴对称.那么点那么点A的对应点的对应点A的坐标为（的坐标为（ ）A(4，2) B(4，2) C(4，2) D(4，2)D如图，已知如图，已知ABC的顶点的顶点A的坐标为的坐标为(3,5)，将，将ABC沿沿X轴平移轴平移4个单位，则顶点个单位，则顶点A的坐标相应变为（的坐标相应变为（ ） 1,5A 1,5B7,5C1,5D 7,5，或或D (x,y)(x,y4)变换后的图形与原图变换后的图形与原图形相比形相比,整个图形向上整个图形

24、向上平移了平移了4个单位个单位.对应对应的坐标变化是怎样的的坐标变化是怎样的呢呢? (x,y)(x , -y)变换后的图形与原变换后的图形与原图形相比图形相比,新图形新图形与原图形关于与原图形关于x轴轴对称对称,你能说出坐你能说出坐标的变化吗标的变化吗?图形变换后坐标发生了如下变图形变换后坐标发生了如下变化化:(x,y)(x-2,y),你知道它是作你知道它是作了怎样的变换吗了怎样的变换吗?新图形与原图形相比新图形与原图形相比,整个图形向左平移了整个图形向左平移了2个单位个单位.下面的新图案是由旧图案的坐标经过怎样变化得到的？下面的新图案是由旧图案的坐标经过怎样变化得到的？xyoxyoxyoxy

25、oxyo横不变，横不变，纵加纵加3横不变，纵横不变，纵为相反数为相反数纵不变，纵不变，横减横减横纵皆为横纵皆为相反数相反数(2005南通市南通市)某学习小组在讨论某学习小组在讨论 “变化的鱼变化的鱼”时，知道大鱼与时，知道大鱼与小鱼是位似图（如图所示）则小鱼上的点（小鱼是位似图（如图所示）则小鱼上的点（a，b）对）对应大鱼上的点应大鱼上的点( )yxO 1 1A（2a，2b） B（a，2b） C（2b，2a） D（2a，b）A (2007 海南海南)如图的方格纸中，如图的方格纸中，ABC的顶点坐标分别为的顶点坐标分别为A(-2,5)、B(-4,1) 和和C(-1,3). （1）作出）作出ABC

26、关于关于x轴对称的轴对称的A1B1C1 ，并写出点，并写出点A、B、C的对称点的对称点A1、B1、C1的坐标；的坐标； （2）作出）作出ABC关于原点关于原点O对称的对称的A2B2C2 ，并写出点，并写出点A、B、C的对的对称点称点A2、B2、C2的坐标；的坐标； （3）试判断：）试判断： A1B1C1与与A2B2C2是否关于是否关于y轴对称（只需写出判断结轴对称（只需写出判断结果）果）. xy0ABC(1)图形沿图形沿x轴平移，横变纵不变；轴平移，横变纵不变； 图形沿图形沿y轴平移，纵变横不变。轴平移，纵变横不变。直角坐标系中，图形经过平移、对称、放缩的变化，其对应平直角坐标系中，图形经过平

27、移、对称、放缩的变化，其对应平面的坐标也发生了变化，其变化规律为：面的坐标也发生了变化，其变化规律为：(2)图形关于图形关于x轴对称，横不变，纵为相反数；轴对称，横不变，纵为相反数； 图形关于图形关于y轴对称，纵不变，横为相反数。轴对称，纵不变，横为相反数。(3)图形关于原点对称，横纵皆为相反数。图形关于原点对称，横纵皆为相反数。(4)以以O为位似中心放大或缩小，横纵坐标都扩大或缩小相同的为位似中心放大或缩小，横纵坐标都扩大或缩小相同的倍数。倍数。通过这节课的学习，你有哪些收获？通过这节课的学习，你有哪些收获？在平面直角坐标系中，若把一个图形的各个在平面直角坐标系中，若把一个图形的各个点的横、

28、纵坐标同时乘以（或除以）同一个点的横、纵坐标同时乘以（或除以）同一个数数n（n0且且n1），就会把原图形放大），就会把原图形放大（或缩小）成它的一个位似图形，且变换前（或缩小）成它的一个位似图形，且变换前后两图形的位似比为后两图形的位似比为1 n(或或n 1). 在以坐标原点为位似中心的在以坐标原点为位似中心的位似变换中位似变换中若原图形上点的若原图形上点的坐标为（坐标为（x，y），像与原图），像与原图形的位似比为形的位似比为k，则像上的对，则像上的对应点的坐标为应点的坐标为（kx，ky）或）或（kx，ky） 不经历风雨，怎么见彩虹不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便便成功没有人能随随便便便成功! !