第4章-傅里叶变换和系统的频谱分析课件.ppt

1、2022-6-61第四章第四章傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析2022-6-62第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-634.1 信号分解为正交函数 矢量的分量和矢量的分解1122123123,xyxyzyxzxxyyzzAc vc vAc vc vc vA vA vA vcccvvvvvv平面矢量分解图平面矢量分解图1Axvxyyv2yc v1xc v空间中的矢量分解图空间中的矢量分解图2Axvyzyvzvx2yc v3zc v1 xc vzxyvvv， ， 是坐标轴上的单位矢量：第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统

2、频域分析2022-6-6412( ),( ),( )nttt),(21tt21( )( )d0()tijttttij212( )dtiitttK( )it12( , )t t1( )( )iinif tCt4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解 第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6521212( )( ) d( ) diiitf ttttCtttt4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解 2211222211212111( )( )( )( )nniijjrjtttf tCtdtft dtC Kttttttn2( ) t2lim(

3、 )0nt iC代表函数代表函数 和和 间的间的相似相似程度或程度或相关程相关程度度( )f t( )it1xxxA vcvv第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-66满足等式满足等式21( )( )d0ittttti为任意整数为任意整数则此函数集称为完备正交函数集。则此函数集称为完备正交函数集。如果在正交函数集如果在正交函数集 外外,不存在函数不存在函数 ，12( ),( ),( )nttt ( ) t2210( )dtttt 其中其中4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解 完备正交函数集完备正交函数集定义定义2）第四章第四章 傅里叶变换和系

4、统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-67完备完备-有两层意思：有两层意思：1.1.如果如果 在区间内与在区间内与 正交，则正交，则 必属必属 于这个正交集。于这个正交集。( )it( ) t( ) t2.2.若若 与与 正交，但正交，但 中不包含中不包含 ， 则此集不完备。则此集不完备。( )it( )it( ) t( ) t4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解 1( )( )iiif tCt即：即：函数函数f(t)在区间在区间(t1,t2)内可展开成完备正交函数空间中的无穷级数。内可展开成完备正交函数空间中的无穷级数。第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换

5、和系统频域分析2022-6-68如果在区间如果在区间 内，复变函数集内，复变函数集21,()t t( )itni,21满足满足2121( )( )d( )( )d0iiijmttttktttttijt则称则称 为正交函数集。为正交函数集。( )it4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解 n复变函数的正交特性复变函数的正交特性1( )( )iiif tCt22*1*1( )( ) d( )( ) diiiitf ttttCttttt若复变函数集是完备的，则若复变函数集是完备的，则第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-694.2 傅里叶级数第四章第

6、四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6104.2 傅里叶级数ttfTTd )( 2/2/第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6111,cos,cos 2,cos,sin,sin 2,sin,ttntttntn 三角函数集是完备正交函数集三角函数集是完备正交函数集4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数2T均为周期信号；公共周期为特点：00000000000000cossind0cosd0sind0coscosd0sinsind0 , 0coscosd2 , 0sinsind2tTmtnttttTtTmttnttt

7、ttTtTmtnttmtnttttTtTmnmtntttTmntTTmtntttmnmn 若若，第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-612一种三角函数集是完备正交函数集00( )( ,)tTf tTt 连续函数，可能为实数或复数，周期为周期函数在区间内可用三角函数集表示为01( )cossin2nnnaf tantbnt 00000000000022( )cosd2( )cosdcosd( )sind2( )sindsindnntTtTttTtttTtTttTttf tnttaf tnttTnt tf tnttbf tnttTntt4.2 傅里叶级数 周

8、期信号展开为三角型傅里叶级数2T 傅傅里里叶叶系系数：数：第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-61302a 直 流 分 量11cossinatbt 称为基波分量1cossinnnan tbnnnt 次谐波分量 为,称4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数0100( )cossin(2,)nnnaf tan tbn ttttT ,0101( )cossin,( )cossi,n)22nnnnnnTaf tan tbn t taf tan tbn t 和的所以，在其它区间内，它们也相等。周期均为=第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和

9、系统频域分析2022-6-614010101( )cossicossin2cos(n)22nnnnnnnnnnnnf taabAntntAAaantbntAAnt arctannnnba 22 , 1,2,nnnAabn00Aa4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角形傅里叶级数00cos0sin0nnnnnnaAbAb ，nAnanbn第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-615222( ) cosdnTTaf tnt tT020222( 1) cosd(1) cosdTTnttnttTT0/ 2/ 202121sinsinTTntntT nT n04.2

10、 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-616222( )sindTnTbf tnt tT020222( 1)sindsindTTnt tnt tTT0/2/202 12 1coscosTTn tn tT nT n21 cosnn0 , 2,4,6,4 , 1,3,5,nnn4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6174111( )sinsin3sin5sin35f ttttn tn 21212211( )( )jjnjtf t

11、ctdtttt均方误差为均方误差为考虑考虑 时，时，12,222jTTTttK 本例中：本例中：2222122221121( )d211 d122TnTjjTnnTjjjjTfttcTTtccT4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6184.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-619105 .0t)(tf1n%99n3n4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数 用用有限次有限次谐波分谐波分量来近似原信号，量来近似

12、原信号，在在不连续点附近出现起不连续点附近出现起伏伏，起伏频率，起伏频率随谐波随谐波分量增加而增加，分量增加而增加，起起伏峰值不随谐波分量伏峰值不随谐波分量增加而减少增加而减少，起伏峰，起伏峰值有值有9% %的超量的超量。第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6204.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-621222( ) cosdnTTaf tnttT222( )sindnTTbf tnttT0204( ) cosdTf tnttTarctannnnba 22 nnnA

13、abna mm， 为整数 偶函数信号偶函数信号的的傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式中只含有中只含有直流直流项项与与余弦项余弦项。4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-622222( ) cosdnTTaf tnttT222( )sindnTTbf tnttT204( )sindTf tnttTarctannnnba 22 nnnAab21 2mm， 为整数0nb奇对称信号奇对称信号的的傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式中只含有中只含有正弦项正弦项。4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数第四章第四章

14、 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-623( )2Tf tft 024240aaabb( )2Tf tft1351350aaabbbT/2T/2f(t)t4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-62400240( )sindTtnntabf tn t tT，的对称条件)(tf），纵轴对称（偶函数)()(tftf( )()2Tf tf t，半波镜像（奇谐函数 ）( )()2Tf tf t，半波重叠（偶谐函数），原点对称（奇函数）)()(tftf展开式中系数特点00240( )cosd

15、Ttnntbaf tn t tT，和偶次谐波无奇次谐波，只有直流无直流和偶次谐波，只有奇次谐波分量n周期信号的对称性与傅里叶系数的关系周期信号的对称性与傅里叶系数的关系4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-625je0, 1, 2)ntn （其中0000jjjjeed0, eed, tTmtntttTntntttmntTmnjen t为完备的正交函数集n复指数函数集是完备正交函数集复指数函数集是完备正交函数集4.2 傅里叶级数 周期信号展开为指数型傅里叶级数2T 第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶

16、变换和系统频域分析2022-6-626j( )2en tf tTT 任意周期函数，其周期为 ，可用表示，01212jj2jjj2jj( )eeeeeeennnttn tttn tn tnf tFFFFFFFF 000000jjjj( )ed1( )edeedtTn ttTtn tntTtn tn ttf ttFf ttTt4.2 傅里叶级数 周期信号展开为指数型傅里叶级数傅傅里里叶叶系系数：数：第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-627jjeecos2xxx4.2 傅里叶级数 从三角型傅里叶级数推导出指数形式01j()j()01( )cos()2 ee2

17、2nnnnnn tn tnnAf tAn tAA jjjj01111eeee222nnn tn tnnnnAAAjjjj01111eeee222nnn tn tnnnnAAAjjjj01111eeee222nnn tn tnnnnAAA第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-628jjjjjj011111( )eeeeee2222nnnn tn tn tnnnnnnAf tAAA0jjj0011eee22nnnnnFFAFA令（包括了）j ( )en tnnf tF则4.2 傅里叶级数 从三角型傅里叶级数推导出指数形式jj*11ee22| |nnnnnnnn

18、FAAFFF若若 f (t)为实函数为实函数第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-629例例 试计算图示周期矩形脉冲信号试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数展开式。展开式。解解:At)(tfT-T0因此，因此， f (t)的的指数形式傅里叶级数指数形式傅里叶级数展开式为展开式为22jj22211Sa()( )e)e2(Tn tn tnTFf tdtf tdAnTtTTT 令，则jj( )eSa()e2n tnnn tnfAtTFnt4.2 傅里叶级数 傅里叶级数的指数形式第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2

19、022-6-630 求求 Fn )4cos(3)(0ttf)4( j)4( j00ee213tttt00j4 jj4 jee23ee23)4cos(3)(0ttf根据指数形式傅里叶级数的定义可得根据指数形式傅里叶级数的定义可得4 j14 j1e23,e23CC1, 0nCn1F1FnF4.2 傅里叶级数 傅里叶级数的指数形式第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6314.2 傅里叶级数 傅里叶级数总结第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-632n从功率的角度来考察周期信号时域和频域特性间的关系从功率的角度来考察周期信号

20、时域和频域特性间的关系2221( )( )dTTf tPfttT实信号的归一化平均功率：4.3 周期信号的频谱 周期信号的功率20212( )1 cos()d2TTnnnf tAPAn ttT 将的傅里叶级数代入：2201122nnAA直流功率谐波功率 物理意义：任意物理意义：任意周期信号的周期信号的平均功平均功率率等于信号所包含等于信号所包含的的直流、基波以及直流、基波以及各次谐波的平均功各次谐波的平均功率之和率之和。222012nnnnFFFParseval s定理第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-633 tttttf0000j2jjj2e2e34

21、e3e2)(求求f (t)的功率。的功率。422343222222Ptttf002cos4cos64)(424216214222P4.3 周期信号的频谱 周期信号的功率22/2/2d)(1nnTTCttfTP2|nF40C31C22CFFF第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-634n频谱的概念频谱的概念01( )cos()2nnnAftAnt或或jj1( )e,e2nntnnnnf tFFAnnAFn或与的对应关系根据绘制的线图 幅度频谱nn与的对应关系绘根据制的线图相位频谱 通过研究傅里叶系数通过研究傅里叶系数An、Fn 和和 来研究信号的特性，它来研

22、究信号的特性，它们是频率的函数，反映了们是频率的函数，反映了组成信号各频率分量的幅度、相位组成信号各频率分量的幅度、相位的分布情况，称为的分布情况，称为频谱函数频谱函数。n4.3 周期信号的频谱 周期信号的频谱第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6354.3 周期信号的频谱 周期信号的频谱第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6364.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱Sa()2nAnFT2T 1Sa()42nAt)(tfT-T0nnFF为实数，可用 的正负来表示相位为0或4 ,1TA第四章第四章 傅里叶变换和系

23、统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-637FSa2 (1, 2,)2mm 2mB4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-638 物理意义：物理意义： 在信号的有效带宽内，在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分集中了信号绝大部分谐波分量量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。号产生明显影响。当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配匹配”4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱1FB21

24、（角频率）或 （频率）第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-639脉冲宽度越窄，有效带宽越宽，高频分量越多脉冲宽度越窄，有效带宽越宽，高频分量越多。即即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱4T8T16T02AFT，带宽第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6404.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱4T8T16TT 02AFTT ，第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6

25、41T0,0T n 2T T04.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6422T4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱若信号若信号时域波形变化越平缓时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，高次谐波成分就越少，幅度幅度频谱衰减越快频谱衰减越快；若信号若信号时域波形变化跳变越多时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，高次谐波成分就越多，幅幅度频谱衰减越慢度频谱衰减越慢。第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6432221( )dTTPfttT522100120.1806nnPF

26、F0.120.111 d0.21tSa0.2Sa 0.22nnFnT100.180690.3%0.2PP4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-644( )()TnttnTj( )en tTnntFjj2222111( )ed( )edTTn tn tTTnFf ttttTTT4.3 周期信号的频谱 周期单位冲激序列的频谱第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6450t)(t1TT0nFT1 1 22 4.3 周期信号的频谱 周期单位冲激序列的频谱第四章第四章 傅里叶变换和系统频

27、域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6464.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换2|Sa()002nAnTFTT 间隔趋于0趋于连续频此时，使得|=，谱线，离散频谱。频谱，但不同位置处谱幅度值趋于0大小并不相同。T 令周期矩形脉冲信号的，得到非周期矩形脉冲信号22tA)(tf2Sa2|nAnTFT频谱幅度|；谱线间隔 第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-647j( )en tnnf tFj221( )edTntTnFfttTj222( )edTntTnnFTFTf tt两边同时乘以 ：4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换Tdn 时，在 轴上，jj2

28、2limlim( )ed(j )( )ednTn tTTTtFTf ttFf tt定义:第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-648j2nnFF TF从量纲上来看：j( )Ff t反映的概念为单位频率所具有的频谱，称单位频带的频谱值频谱频为原函谱密数的密度度函数。4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换FTj(j )( )ed( )|( )|d( )(j )tFf ttf tftfttF 傅里叶变 也定义为的换即， 要求第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-649（1）周期信号的频谱为周期信号的频谱为离散离散的，的， 非周

29、期信号的频谱密度为非周期信号的频谱密度为连续连续的的。（2）周期信号的频谱为周期信号的频谱为Fn的分布，表示的分布，表示每个谐波每个谐波分量的复振幅分量的复振幅；非周期信号的频谱为非周期信号的频谱为TFn的分布，表示的分布，表示每单每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频，即频谱密度函数。谱密度函数。 两者关系：两者关系：(j )limnTFF T(j )|nnFFT 4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换时域非周期时域非周期频域连续频域连续时域周期时域周期频域离散频域离散第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-650j( )

30、entnnf tF对周期信号: (j )nF TF，4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换dTn 当，IFjjT1e()2(j)( )jd)e(d2(j)ttfFjFfFFtt定义为的傅立叶反变换,即jjj1e2ee12nnnntntnnntnF TF TF TT第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-651jj(j)( )ed1( )(j)ed2ttFf ttf tF1(j )( ) ( )(j )( )(j )Ff tf tFf tF或作，记：FF傅立叶变换傅立叶反变换4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换j ()(j )(j )(j ) e( )j ( )

31、FFFRX 是复函数:非周期信号非周期信号可以分解为可以分解为无数个虚指无数个虚指数信号数信号的线的线性组合，这性组合，这些信号的些信号的频频率是连续的，率是连续的，幅度为无穷幅度为无穷小小。第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-652例例 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱密度函数。试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱密度函数。22tA)(tf 解：解： 非周期矩形脉冲信号非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为的时域表示式为2/| 02/| )(ttAtf，由由定义式，定义式，可得可得 tAttfFttdede )()j (22jj)2(Sa A22A)j

32、(F4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换非常重要的公式！非常重要的公式！信号在信号在时域有限时域有限，则在，则在频域将无限延续频域将无限延续第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-653( )e( ),0tf tt1t0f(t)j(j ) ( )( )edtFf tf ttF4.4 非周期信号的频谱 常用信号的傅里叶变换221(j ),( )arctanF (j)0 edtt1jjarctan221ej ()(j ) eF 第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6544.4 非周期信号的频谱 常用信号的傅里叶变换0 1(

33、j )F2 021t0f(t)1e( )jtt221(j )( )arctanF 第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-655( )e,0tf tf(t)0t14.4 非周期信号的频谱 常用信号的傅里叶变换(j )F02(j )etFFjeettdt222222(j )( )0F 第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-656t（）)(t) 1 (0t(j )F01jj 0(j ) ( ) ( )e1de)1(ttFtttF4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换时域内的无限窄时域内的无限窄频域内的无限宽频域内的无

34、限宽第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-657( )IFT 比较：冲激函数的逆变换（）j1,()1 ed2tttt 令得4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换?( ) j1()1 ed2ttt将 与 作变量代换:j1()( ), ( )ed2tt 又由 1( )12( )2 或 j1( )1( )1 ed2ttt由知时域内的无限宽时域内的无限宽频域内的无限窄频域内的无限窄第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6584.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换j(j )( )edtFtt( )( ) ( )

35、( )d( 1)(0)nnnttt 由jj0d( )( )edejdttttttt F( )( )jnnt 同理可得, F第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6594.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换1 0tt tt，20sgn( )lim( )tFF第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-66000jj2( )eedeedttttFtt 20sgn( )lim( )tFF2202limj2 j4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换22221122 =j-j+j+j(+) 2/2/)(0第四章第四章

36、傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-661( ) t不满足绝对可积条件，不能直接应用公式去进行变换11( )sgn( )22tt4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换( ) t11( )sgn( )22tt FFF1( )j ( ) t以后学习傅里叶变换性质后，还可以通过求得第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-662p线性线性p奇偶性奇偶性p对称性对称性p尺度变换尺度变换p时移特性时移特性p卷积定理卷积定理p时域微分和积分时域微分和积分p频域微分和积分频域微分和积分4.5 傅里叶变换的性质第四章第四章 傅里叶变换和系统频

37、域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-663 11j,1 2( )(j),iinniiiiiiiftFina f ta Fa若、则常数FF4.5 傅里叶变换的性质 线性11( )sgn( )22tt11( )sgn( )22tt FFF1( )j 第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-664j(j )( )etFf tdt4.5 傅里叶变换的性质 奇偶性22 (j )( )( )( ) ( )arctan( )FRXXR ( )cosj( )sinf ttdtf ttdtj ()( )j ( )(j ) eRXF (j )( )F 是 的函数，是偶的

38、奇函数第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-665* ( j)()(j1)FFft 分 析 ： 是 实 函 数*0(2)( )()2( )co()( )sin0(j)()(j)(j)(j( j)s)Xf ttdtFRf tftf ttdtFFFtFf必为 的实偶函数，是实偶函数即，即则*0(3) ( )( )(), ( )0(j )j ( )(j )(j )( j )(j )( 2j( )sij )nf tf tftf tRFXFFFtdtFF 必为 的虚奇函数，即=-，是，即=-实奇数则函j ()(j )( )j ( )(j ) eFRXF ( )( )

39、cos( )( )sinRf ttdtXf ttdt时域实偶时域实偶频域实偶频域实偶时域实奇时域实奇频域虚奇频域虚奇4.5 傅里叶变换的性质 奇偶性第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-666( )a()( )12sg tg t，表示高度为，宽度为 ，中心位于原点的矩形脉冲函数。211( )2Sa( )a( )22sg tF21( )a( )2sg t4.5 傅里叶变换的性质 对称性( )(j)(j )2()f tFFtf若则第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6672 a( )( ) 1stg，F2211a( )2

40、()2( )22stgg4.5 傅里叶变换的性质 对称性第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6682sgn( )jt22 sgn()2 sgn( )jt1j sgn( )t( )1 , 12( )( )(j )tf tF 还有等本性质为与的互求提供方便4.5 傅里叶变换的性质 对称性第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-66922( )(j )1f tFt例：求信号的222et221et即解：利用傅里叶变换的对称性( )(j )(j )2()f tFFtf(j )2 eF4.5 傅里叶变换的性质 对称性第四章第四章

41、傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-670( )( j),1()( j)f tFf atFaaa若则是 非 零 的 常 数1()( j )aftF 当时，(1)(1)aaaa 信号在等效于在，同时各频率分量大小。信号在等效于在，同时各频率分时域中压缩频域中扩展减小 倍时域中扩展频域中压缩增量大小。在无线电通信中，大 倍通信速度与占用频带宽度是一物理意义：对矛盾。4.5 傅里叶变换的性质 尺度变换第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-671)(2tf01t)(1tf12t201( j)F24242(j )F2224.5 傅里叶变换的

42、性质 尺度变换第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6720j0( )(j ),()(j )etf tFf ttF若那么100( ), ,f ttt信号在时说明：应用域中的和在频域中的相对应。要使一个信号通过一个系统传输后仅时延则系延时移统设相计得否则 每个频率分量 输都出滞后相位：会失真。)(tf)(0ttf0jet4.5 傅里叶变换的性质 时移特性第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-67300j0j01 ()()e1 ()()etataf attFaafattFaa可以证明：FF4.5 傅里叶变换的性质 时移加尺

43、度变换第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6740)(tfE22TTt0t)(0tf1220(j )Sa()2FE0220( )FE000( )( )()()f tf tf tTf tTjj0(j )(j )(1 ee)Sa() 12cos()2TTFFET4.5 傅里叶变换的性质 时移特性第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6750T2(j )FE3T420220( )FE4.5 傅里叶变换的性质 时移特性第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6760j0( )(j),( )

44、ej()tf tFf tF若则00000011( )cosjj2211( )sinjjjj22f ttFFf ttFF0j0e,t频谱说明：一个信号在时域中乘以等效于在频域中将整个频谱延频率轴右移技术，在通信系统中得到广泛应用，如调幅、同步解调、变频等过程在此搬移基础上完成4.5 傅里叶变换的性质 频移特性第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-677t0( )g t1220( )cosg tt2t21Sa2Y j200000000cos ()()sinj ()()tt 4.5 傅里叶变换的性质 频移特性第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统

45、频域分析2022-6-67811221212(1)( )( j)( )( j( )( )( j)( j)ftFftfttFFFf时 域 卷 积 定 理若，则11221212(2)( )( j)( )( j1( )( )( j) *( j)2)ftfftFfFFFtt频 域 卷 积 定 理若，则4.5 傅里叶变换的性质 卷积定理卷积特性是傅里叶变换性质之一，在通信系卷积特性是傅里叶变换性质之一，在通信系统和信号处理中占有重要地位，应用最广。统和信号处理中占有重要地位，应用最广。第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-679cos()()2( )0()2Ettf

46、ttt)(tfE022 4.5 傅里叶变换的性质 卷积定理第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-680t)(tfE022 t)(tGE022 t tcos1022 tF cos)(0 )(02()G jE2 403(j)FE23 5?4.5 傅里叶变换的性质 卷积定理第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-681()(1)( )( j)( )j( j)( )( j)( j)nnftFftFftF时 域 微 分 定 理若，则 (2)( )(j)(-j ) ( )(j)(-j )( )(j)nnf tFt f tFtf tF

47、频域微分定理若，则4.5 傅里叶变换的性质 微分特性( )( )1j()1jtt 第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-682( )(j )f tF若( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)1)( 1)1( )(j )( )() ( )j1( )( )()2( )()(0)( )( )( ( )( )1 ( )(j0) ( )(jj )tftFfff tF f tffFf t dtffftdfffFF ，而所以可而得进可得) ( ) 4.5 傅里叶变换的性质 积分特性第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-683

48、0000 2( ) 01 tty tttttt，t)(tf01t00tttdfty)()(100t4.5 傅里叶变换的性质 积分特性第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-684 )(1tft01t020t20tt)(tf01t00t时移时移01(j )Sa()2tF0j02(j )Sa()e2ttF时移时移0j021(j )(j ) ( )() ( )j1Sa()e( )j2tYFyyt 4.5 傅里叶变换的性质 积分特性第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-6851( )2 (1)g tt1( )2 (1)g ttj

49、1( )2 (1)2eg ttj1112( )2 (1)( )() ( )ejg ttgg j22( )ej 2( )sgn(1)2 (1) 1g tttj2( )2 (1)2eg tt2()1g jj22222( )( )() ( )eejjg tgg 4.5 傅里叶变换的性质 积分特性第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-686例：求信号的频谱 j4Sa 22SaF)()()(42tgtgtf 24( )Sa2 ( )2Sa( )4Sa 2g tg tg t已知：则：， -2 -1 0 1 2 t f(t) 2 4.5 傅里叶变换的性质综合运用第四章第

50、四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-687sin( )cos(4 )(j )tf ttFt例：求信号的解：利用傅里叶变换的频移性和对称性 21sin( )Sa2g t)()(212sin22ggtt( )(j )(j )2()f tFFtf22(j )(4)(4)2Fgg00011( )cosjj22f ttFF4.5 傅里叶变换的性质综合运用第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-688小结：小结：4.5 傅里叶变换的性质第四章第四章 傅里叶变换和系统频域分析傅里叶变换和系统频域分析2022-6-689Parseval能量信