第二章-一维杆中的应力波(1)课件.ppt

1、第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -物理问题物理问题假设：假设： 变形前后横截面为平面变形前后横截面为平面 只有均布轴向力只有均布轴向力, , , u v XtXttXAA XuXttutuvXtv(2-1)vXt2vuXuvtvXtv(2-2)3, ,v ( ) (, ), (, ), (, )X tX t v X t4 ( ) 210ddCdd2vCtX2vCtX2vXtvCtX2vXtvCtX 5222022CXtvXXtt222022vvCXt, , , v u 第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -物理问题物理问题E6 uXuvt2220220uuCtX

2、7第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -特征线特征线(, )X tu, v222222vvuudvdXdtdXdtXtX ttuuddXdXdXdtXtXX t 8d ff dXf dtdSX dSt dSdXdXdSdtdtdS92010CdtdtdXdX 222022uuCXtdXdt (1)(2)00dXCdXC dtdt 或22222()0uuudvddtdtdXdXtX tX 第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -特征线特征线100C0dvC d 22222()0uuudvddtdtdXdXtX tX 0dC dv E110dXC dt0dXC dt 00

3、dvC ddvC d 00dC dvdC dv ( , )vXt0dXC dt0dXC dt 第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -特征线特征线( , )v12第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -特征线特征线2000vXtvCtXvvdXdtdvXtdXdtdXt201001001000000vXvCtdXdtdvXdXdtdt13第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -特征线特征线123400123400dXC dt 20100101000000CdXdtdXdt0dvC d 142vXtvCtX 212210vvCXtXt(1)(2)21221Cd

4、Xdt, v1512C dXCdt 120dvddtdt1112220vvXtXtdvCddvCd dvv dXvvvCdtX dttXtddXCdtX dttXt16第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -初边值问题初边值问题22222222FFFFX 22222FFCXt(,0)()(,0)()tF Xf XXF Xg X XCtXCtFFFX则22222222(2)FFFFCt (2-12)(2-13)(2-10)(2-11)1720F ( , )( )( )F (, )()()F X tXCtXCt（2-14）()()()()()()XXf XCXXg X0()tdXd0(

5、)tdXd（2-15）第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -初边值问题初边值问题1811(, )()()( )22XCtXCtF X tf XCtf XCtgdC11(, )(,0)(,0)( ,0)22XCttXCtF X tf XCtf XCtFdC（2-17）11()()()211()()()2XfXg XCXfXg XC11()()( )211()()( )2XaXaXf XgdCXf XgdC积分（2-16）第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -初边值问题初边值问题19( )0tF Q 11( )( )( )( )22BtAF PF BF AF Q dC(

6、 )0tF Q 1( )( )( )2F PF BF A( )F P,A B,A B第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -初边值问题初边值问题2012XCtXXCt21LRXCtXCt常数常数,则则 =常数常数;常数常数,则则 =常数常数;沿沿 :沿沿 :第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -初边值问题初边值问题22 ( , )F x t()X()XCCC11()(,0)( ,0)211()(,0)( ,0)2XtaXtaXF XFdCXF XFdC()XCt()XCt(, )()()F X tXCtXCt第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -初边值问

7、题初边值问题23222022uuCXt第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弹性杆中波的传播弹性杆中波的传播（1）00(, )()()( )( )u X tXC tXC t 00XC tXC t引入00XtddudddduCCdd对 求 的偏微分u,X t001212XtXtduuCdduuCd（2）00XC tXC t常数常数dddd为常数；为常数；（3）240XC t常数01XtuuC 常数20XtuuvEC，2001vCC 常数；0C v 常数；0dC dv 0dXC dt 1212,R R 001XC tvCR1002XC tvCR2Rieman不变量25第二章第二章 一

8、维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弹性杆中波的传播弹性杆中波的传播PA:00PPBBC vC v00PPAAC vC v01()()2PABABC vvPB:011()()2PABABvvvC,ABABvv,PABPABvvv26PA:00PPBBC vC v00PPAAC vC vPB:00BBDDC vC vDB:00AADDC vC vDA:(1)(2)(3)(4)(1)+(2)-(3)-(4):PABDPABDvvvv第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弹性杆中波的传播弹性杆中波的传播270t 0X (,0)(,0)00(1)v XXx 2220220uuCxt0(0

9、, )( )0(1)vtvt第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- Cauchy- Cauchy问题和问题和PicardPicard问题问题2800( )( )vCv QCQ右行00( )( )vCv RCR左行QPRP( )( )( )( )0v QQv RR第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- Cauchy- Cauchy问题和问题和PicardPicard问题问题01( )( )( )( )( )2v Pv Rv QCRQ001( )( )( )( )( )2Pv Rv QCRQC( )v P( )P( )( )0v PP29 。( )( )PQ( )( )v Qv

10、 R( )( )( )v Pv Qv R( )( )( )PQRAOXQR, vQRQPRP第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- Cauchy- Cauchy问题和问题和PicardPicard问题问题30020vCR0v000vCC 20R OA0100222( )cvCRvCv BCOtOtBCv第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- Cauchy- Cauchy问题和问题和PicardPicard问题问题020vCRMt0( )vv310()XC t, v000()XvCv tC CB,B X t0( )v0C, vv第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-

11、 Cauchy- Cauchy问题和问题和PicardPicard问题问题32第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- Cauchy- Cauchy问题和问题和PicardPicard问题问题333t2tt1t4t345, ,t t t( , )v O( )v tt( , )v t1XX1X第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -波形曲线波形曲线34(,0)(,0)0Xv X0:(0, )Xt:0Xl0v00PPQQC vC v00QQPvv0P:0Xl v第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波350,RRvC 00ssRRC vC v0sv 2sRRR0,2ssR

12、vv第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波360000:2:2MMMMMMMMMRMMC vC vMMC vC v0()MMRRMMvC3700NNAAC vC v0,0,0NAANvv000002PPPPPPPPPC vC vC vC v012PPPPvC第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波38第三章第三章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -塑性波塑性波Y00YYvvC39, AvXtvtX( ,)fX2222(,)0XuufE uXXtX( ,)(,)xfXE uX( ,)(,)XfXf uXXXuffXXuX22220ffuuXXt或或第三章第三章 一维杆中的应力波

13、一维杆中的应力波- -塑性波塑性波40三 ( )( )duu dxu dydxdyPqdx dy ddd0 xxxyyyFuuu, ,xyx y u u( , )x yyqu( ), ( ), ( ), ( )xyuq( )pu00(,)xy( , )u x y00(,)xy22000000000222200021( , )(,)(,)()(,)()21()2pppuu x yu xyp xyxxq xyyyxxxuuyyxxyyyx y 第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -塑性波塑性波(1)41( )xyxxxydpdxdypppu xu yddd( )xyxyyydqdxd

14、yqqqu xu yddd(2a),xxxyyyuuuxxxyyyxxxyxyyyuuuu xu ypu xu yq ,xxxyyyRSTuuuQQQ第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -塑性波塑性波420,QSTR0Q 220()( )0Qxyyx yxxy 0Rpyqxy00Sxpqy0Txypxq22()( )0yx yx 2()()0dxdxdydy24( , , ,)2xydxx y u u udy第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -塑性波塑性波432402402400S 0,0RT0dpdqdydy第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -塑

15、性波塑性波442222(,)0XuufE uXXtX,0,fEX (,)XE uXdXCdt ()0ddvfECCdtdtX 第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -塑性波塑性波24( , , ,)2xydxx y u u udy0dpdqdydy450fXfdvCCXtXdt0ffdvCCCXXdt0dfdvCCdXdtdfffdxxX0dfCdv0dCdv460dCdv0CCC ( )()Xff u( )vconst m0dvconstCm0( )dC 第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -塑性波塑性波ddv 上式对弹性波和弹塑性波都适用，积分后，可得到左行波和上

16、式对弹性波和弹塑性波都适用，积分后，可得到左行波和右行波特征线上的相容关系的等价式为：右行波特征线上的相容关系的等价式为：12vRvR47第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -塑性波塑性波48 （1）线弹性材料）线弹性材料 对于特定的材料弹性波波速为常数：对于特定的材料弹性波波速为常数： ， 特征线为相互平行的直线。特征线为相互平行的直线。 （2）线弹性）线弹性-线性硬化材料线性硬化材料 弹性弹性 区内区内 ，塑性区内，塑性区内 ，塑性波速为常数，且塑性波速为常数，且 。弹性区内。弹性区内和塑性区内的特征线分别相互平行，但是和塑性区内的特征线分别相互平行，但是弹性波特征线与塑性波

17、特征线斜率不相同。弹性波特征线与塑性波特征线斜率不相同。0eEC10pECpeCC00EC第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -塑性波塑性波49 （3）线弹性）线弹性-递减硬化材料递减硬化材料 弹性区：弹性区： ，塑性区：，塑性区： ，且有，且有 .弹弹性区内特征线分别相互平行，塑性区内波幅不同的特征线彼性区内特征线分别相互平行，塑性区内波幅不同的特征线彼此不平行。此不平行。 a） 上凸形的上凸形的 曲线；曲线； 二阶导数二阶导数 ； b） 随着应力增加随着应力增加,应变增加应变增加,塑性波速减小塑性波速减小,塑性波传播过塑性波传播过程中，波剖面是逐渐发散和展宽的（发散波）。程中

18、，波剖面是逐渐发散和展宽的（发散波）。0eEC01 dCd( ) 220ddpeCC第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -塑性波塑性波50 （4）线弹性）线弹性-递增硬化材料递增硬化材料 弹性区：弹性区： ，塑性区：，塑性区： ，塑性波速不为常，塑性波速不为常数。弹性区内特征线分别相互平行，塑性区内波幅不同的特征数。弹性区内特征线分别相互平行，塑性区内波幅不同的特征线彼此不平行。线彼此不平行。 (a) 下凹形的下凹形的 曲线曲线; 二阶导数二阶导数 ；(b) 随着应力增加随着应力增加,塑性波速增加；塑性波速增加；(c)塑性波传播过程中，高幅值扰动的塑性波传播过程中，高幅值扰动的传

19、播速度大于低幅值扰动的传播速度，传播速度大于低幅值扰动的传播速度，波剖面会愈来愈陡波剖面会愈来愈陡(会聚波会聚波)，最终将，最终将在波阵面上发生质点、速度和应力应变的突跃，形成冲击波。在波阵面上发生质点、速度和应力应变的突跃，形成冲击波。0eEC01 dCd( ) 220dd第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -塑性波塑性波510( )v(,0)(,0)00Xv XX 0(0, )( ),0vtvt0,0v00000()( )Xv tvCCC 52000dvCdC 10( )2Rvv v( )C( )C( )()XCt0( )Yvv53,tt vt, v vvv5455,vv56

20、 uuvtux, , v第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -强间断强间断 弱间断弱间断 冲击波冲击波5722vuatt, , vu58第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -强间断强间断 弱间断弱间断 冲击波冲击波593t2tt1t4t( , )v O( )v ttX0A123444tt4( )v t40t 60第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -强间断强间断 弱间断弱间断 冲击波冲击波610C1C第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -强间断强间断 弱间断弱间断 冲击波冲击波62第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -强间断

21、强间断 弱间断弱间断 冲击波冲击波63第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -强间断强间断 弱间断弱间断 冲击波冲击波64220102dcddc d第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -强间断强间断 弱间断弱间断 冲击波冲击波65第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -强间断强间断 弱间断弱间断 冲击波冲击波 XFCt ,0Xf XCt fXCtX 0X 0minmin01FtCfCCFXFC 00t ( )0f66 2) 0,tg XCt Xg tC XtGC第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -强间断强间断 弱间断弱间断 冲击波冲击波21

22、( )1( )( )( )tXCgXCC21( )( )( )( )tXCGXCC(2-6-3)(2-6-4)67 220minmin0Cc Gxg CCCGtGCg 00 x ddt 0t第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -强间断强间断 弱间断弱间断 冲击波冲击波68 0 0 dDdttX (, )X t dDdttX第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -波阵面上的守恒条件波阵面上的守恒条件69 0ddtDtX dDdttX 0222dDdtttt X 222dDdtXt XX tX(2-7-5)第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -波阵面上的守恒

23、条件波阵面上的守恒条件70222222DDtX tX 0ddtt0ddtX(2-7-6)第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -波阵面上的守恒条件波阵面上的守恒条件71 冲击波冲击波加速度波加速度波冲击波冲击波加速度波加速度波 0u vD 2vvDDDttXX 1第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -波阵面上的守恒条件波阵面上的守恒条件722000()()A dtA dX vv0 D v 弱间断波弱间断波 0v 00vXt0vXt(2-7-9)第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -波阵面上的守恒条件波阵面上的守恒条件7320 D01 D01XDX第二章第

24、二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -波阵面上的守恒条件波阵面上的守恒条件 vD 74，dXdX01 dDd dd常数第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -波阵面上的守恒条件波阵面上的守恒条件75第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -波阵面上的守恒条件波阵面上的守恒条件763 冲击波，根据能量守恒定律，应力波在冲击波，根据能量守恒定律，应力波在dt时间内，对时间内，对dX微元内介质所做的功，一部分用来增加介质的内能，一部分微元内介质所做的功，一部分用来增加介质的内能，一部分变为介质的运动动能，即有：变为介质的运动动能，即有：22000001()()()()2v

25、vA dtA dX eeA dXvv 20012vD eD v vD 0 D v 第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -波阵面上的守恒条件波阵面上的守恒条件7701()()2ee0Ee1()()2EE0 1 ()()2vDD vE00 1 ()()2vDD ve第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -波阵面上的守恒条件波阵面上的守恒条件78001dvCddCdvded 右行波取（-）左行波取（+）与特征线上的相容关系相反第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -波阵面上的守恒条件波阵面上的守恒条件0dvCddCdvdd E79CD第二章第二章 一维杆中的应力

26、波一维杆中的应力波- -波阵面上的守恒条件波阵面上的守恒条件80第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应(, )XXXuX tXE(, ),(, )YZYXZXuuX tX tYZ (, )(, )XYXXZXuX tuYYXuX tuZX 81YXXYZXXZuvvYYttXuvvZZttX 222222YXXXYZXXXZvvaaYYYttX tXvvaaZZZttX tX 第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应82YXXYZXXZuvvYYttXuvvZZttX 022222000111()22XYZgAvvdXdYdZrA dX

27、tgr022201()gArYZdYdZA第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应830A0AdXX00(, )(, )PP XdX tP X tdXAAdXXX0(, )P X tA20001()2AdX vA dXvXt0vtX第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应8401ded 2222011()22gErtttt22202gErt第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应8522t222002gvErtXt,uuvXt24222220222220guuEuurCtXtXX第二章第二章 一维杆中的应力波一

28、维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应860C0(, )exp ()u X tuitkX24222220222220guuEuurCtXtXX22222220grkk C2f2k2202221gCCkr k第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应872221gr k22222220111()1212gggrCr kCr k 2gar 22201CaC 0.7a第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应88实验测量中得到波形实验测量中得到波形,包括波形包括波形振荡振荡;高频率的强间断波在传播中很高频率的强间断波在传播中很难保持其陡峭的前沿难保持其陡峭的前沿,波阵面的波阵面的升时增大升时增大.第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应89第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应90（第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应9122201CaC 第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应92第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应93第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应94 第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波- -弥散效应弥散效应