指数函数与对数函数的关系课件.ppt

1、3.2.3 3.2.3 指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的关系.xay 1.1.知识目标：知识目标：理解反函数的定义理解反函数的定义. .知道指数函数知道指数函数 与对数函数与对数函数 互为反函互为反函数数 . .2.2.能力目标：能力目标：通过描点法作出指数函数、对数函数的图象，掌握它通过描点法作出指数函数、对数函数的图象，掌握它们的性质们的性质. .3.3.情感目标：情感目标：养成科学严谨的学习态度，培养勇于探索的精神养成科学严谨的学习态度，培养勇于探索的精神. .xay xyalog1, 0aa学习目标.请同学们欣赏下面几张优美的图片请同学们欣赏下面几张优美的图片.以上图片虽然

2、来自各个领域，但都有一个共同特点，以上图片虽然来自各个领域，但都有一个共同特点，是什么？是什么？对称美对称美在数学中也是无处不在的，我们这节课的任务就在数学中也是无处不在的，我们这节课的任务就是进一步研究指数函数与对数函数图象之间的对称关系是进一步研究指数函数与对数函数图象之间的对称关系. .以上三个图形都是轴对称图形以上三个图形都是轴对称图形思考.探究探究1 1 观察图象，回答问题观察图象，回答问题 .)21(2).1 (在同一坐标系内的图象与函数xxyy1()2xy y y.loglog)2(212在同一坐标系内的图象和函数xyxy21-1-21240yx32114xy2logxy21lo

3、g.上述两对图象有什么特点？上述两对图象有什么特点？结论：结论：底数互为倒数的指数函数图象关于底数互为倒数的指数函数图象关于y y轴对称；底数轴对称；底数互为倒数的对数函数图象关于互为倒数的对数函数图象关于x x轴对称轴对称. .思考.探究探究2 2 观察图象，回答问题观察图象，回答问题 .log2) 1 (2在同一坐标系内的图象与函数xyyxy=xxy2xy2logxyxy.问题：问题：（1 1）两个函数图象之间有什么关系？两个函数图象之间有什么关系？ （2 2）关于直线）关于直线y=xy=x对称的两个点的坐标有什么关对称的两个点的坐标有什么关系？系？结论结论: :（1 1）两个图象关于）两

4、个图象关于y=xy=x对称对称. . （2 2）关于直线）关于直线y=xy=x对称的两个点的坐标的对应值中对称的两个点的坐标的对应值中x x、y y的值互换的值互换. .log)21()2(21在同一坐标系内的图象与函数xyyxxyxy)21(y=xy=log x.思考思考：通过观察图象，你又有怎样的结论？：通过观察图象，你又有怎样的结论？结论：结论：同底的指数函数与对数函数的图象关于直线同底的指数函数与对数函数的图象关于直线y=xy=x对称对称. .思考：思考：上述结论是否具有一般性？上述结论是否具有一般性？.思考：思考：指数函数指数函数y=ay=ax x(a0,a1)(a0,a1)与对数函

5、数与对数函数y=logy=loga ax x ( a0,a1)( a0,a1)有何内在关系？有何内在关系？xay yxalogxyalog互化互化互换互换思考思考：第一步变换有没有引起图象的变化？为什么？第一步变换有没有引起图象的变化？为什么？答：答：没有，因为没有，因为x,yx,y之间的关系是一样的之间的关系是一样的. .思考思考：第二步变换有没有引起图象的变化？为什么？：第二步变换有没有引起图象的变化？为什么？思考思考：两步变换顺序能否交换？：两步变换顺序能否交换？答：答：变化了，因为变化了，因为x,yx,y交换了交换了. .答：答：能能. .xay x x、y y互换互换yax xyal

6、og互化互化 结论：结论：指数式、对数式互化图象不变，指数式、对数式互化图象不变，x,yx,y互换引起图互换引起图象关于直线象关于直线y=xy=x对称，指数函数与对数函数之间的这种对称，指数函数与对数函数之间的这种关系并不是它们所特有的，有大量的函数之间具有这关系并不是它们所特有的，有大量的函数之间具有这种关系，我们称它们互为反函数种关系，我们称它们互为反函数. .反函数的定义：反函数的定义： 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因

7、变量，我们称这两个函数互为反函数。为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。.)()(.)()(11互为反函数与概念可知，函数从反函数的表示的反函数通常用函数xfyxfyxfyxfy.反函数的性质：反函数的性质：（1 1）原函数的定义域、值域恰好是反函数的值域、定）原函数的定义域、值域恰好是反函数的值域、定义域义域. .（2 2）互为反函数的两个函数的图象关于直线）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=xy=x对称对称. .例例1 1、求下列函数的反函数、求下列函数的反函数. .132(1)23;(2)log;(3)( ) .3xyxyxy思路分析：思路分析：求反函数就是从已知函数中解出

8、求反函数就是从已知函数中解出x,x,即写出即写出x x关于关于y y的函数，然后再把的函数，然后再把x,yx,y互换互换. .求函数的反函数求函数的反函数题型一题型一.13xx23131y2x3xy,2213y2x3yx(xR).221(2)ylog x31y( ) (xR).322(3)y( )33ylog x(x0).=+=-=+=-=（ ）由得，所以函数的反函数是的底数是 ，它的反函数是指数函数函数的底数是 ，它的反函数为对数函数解：.变式训练变式训练1 1、求下列函数的反函数、求下列函数的反函数. . 常见函数的反函数可以直接写出来，其他函数的常见函数的反函数可以直接写出来，其他函数的

9、反函数可以按照求反函数的步骤来做，注意写出反函反函数可以按照求反函数的步骤来做，注意写出反函数的定义域数的定义域. .技巧点拨技巧点拨)(3Rxyx)0(log6xxy（2 2） （1 1）.x3x3y6x61y3xlog yy3ylog x(x0)(2)ylog xx6ylog xy6 (xR)=（ ）由得，所以函数的反函数为由得，解：所以函数的反函数为.指数函数、对数函数图象及性质的应用指数函数、对数函数图象及性质的应用题型二题型二【例【例2 2】（】（1 1）设）设a,b,ca,b,c均为正数，且均为正数，且2a= ,2a= , , ,则（则（ ）A.abcA.abcB.cbaB.cba

10、C.cabC.cabD.bacD.bac（2 2）已知实数）已知实数a a、b b满足等式满足等式 ，下列五个关系，下列五个关系式：式：0ba0baab0ab00ab0abba0ba0a=ba=b其中不可能成立的关系式有（）其中不可能成立的关系式有（）A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个12log ab121( )log b2c121( )log c2ab11( )( )23.答案答案: : (1)A (2)B(1)A (2)B(1)(1)【解法一】由函数【解法一】由函数y=2y=2x x,y= ,y=log2,y= ,y=log2x x,y=,y=的图象知：的图象

11、知：0ab1c,0ab10,2a0,2a a1, 1, 0a1, 1, 0a0,0 1,0 0,0 1,0 1, b1, b0, log 0, log2 2c0, c1,c0, c1,(2)(2)【解】当【解】当abb0abb0时都有时都有 ，故，故正确，正确，不正确，因此选不正确，因此选B.B.12log a12b1( )212log b12c1( )2ab11( )( )23.指数、对数函数的综合应用指数、对数函数的综合应用题型三题型三,1) 1() 1(lg)(322xaxaxf、已知函数例（1 1）若）若f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，求实数，求实数a a的取值范围；的取值

12、范围；（2 2）若）若f(x)f(x)的值域为的值域为R R，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围. .【解】【解】（1 1）依题意，（）依题意，（a a2 2-1-1）x x2 2+(a+1)x+10+(a+1)x+10对一切对一切xRxR恒成立恒成立. .当当a a2 2-10-10时的充要条件是时的充要条件是222a10(a1)4(a1)0 .解得解得a-1aa又当又当a=-1a=-1时，有时，有1010恒成立恒成立. .aa的取值范围是（的取值范围是（-，-1-1）（ ，+）（2 2）依题意，只要）依题意，只要t=(at=(a2 2-1)x-1)x2 2+(a+1)x+1+(a+1

13、)x+1能取到（能取到（0 0，+）内的所有值，则内的所有值，则f f（x x）又当又当a a2 2-1=0,-1=0,即即a=1a=1时，时，t=2x+1t=2x+1符合题意符合题意. .aa的取值范围为的取值范围为1, 1, 53532a1051a.30 解得53. 技巧点拨技巧点拨RR.xxR.+对数函数的值域为 时，其真数必定要取遍内所有的值此时若真数为二次函数，则应有二次函数的图象开口向上，且与 轴有交点，而对应的定义域是交点左、右两边 取值，不是 已知函数已知函数f(x)=3f(x)=3x x, ,且且f(a+2)=18,g(x)=3f(a+2)=18,g(x)=3axax-4-4

14、x x的定义域为区间的定义域为区间00，1.1.（1 1）求）求g(x)g(x)的解析式；的解析式；（2 2）求）求g(x)g(x)的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；（3 3）求）求g(x)g(x)的值域的值域. .变式训练变式训练3 3.解：解：（1 1）f(x)=3f(x)=3x x, ,且且f(a+2)=3f(a+2)=3a+2a+2=18, 3=18, 3a a=2.=2.g(x)=3g(x)=3axax-4-4x x=(3=(3a a) )x x-4-4x x, g(x)=2, g(x)=2x x-4-4x x. .(2) (2) 函数函

15、数g(x)g(x)的定义域为的定义域为0,1,0,1,令令t=2t=2x x, ,x 0,1,x 0,1,函数函数t t在区间在区间0,10,1上单调递增，上单调递增，且且t1,2,t1,2,则则g(t)=t-tg(t)=t-t2 2在在1,21,2上单调递减，上单调递减， g(t) g(t)在在0,10,1上单调递减上单调递减. .证明如下：证明如下：设设x x1 1、x x2 2为区间为区间0,10,1内任意两值，内任意两值，且且x x1 1xx2 2, ,则则.g(xg(x2 2)- g(x)- g(x1 1)=2)=2x x2 2-4-4x x2 2-2-2x x1 1+4+4x x1

16、 1=(2=(2x x2 2-2-2x x1 1)-(2)-(2x x2 2-2-2x x1 1)(2)(2x x2 2+2+2x x1 1) )=(2=(2x x2 2-2-2x x1 1)-(1-2)-(1-2x x2 2-2-2x x1 1) )0 x0 x1 1x22x x1,1,且且1212x x1 122， 1212x x2 2 2, 222, 22x x1 1+2+2x x2 24,4,-31- 2-31- 2x x1 1-2-2x x2 2-1,-1,可知可知(2(2x x2 2-2-2x x1 1)-(1-2)-(1-2x x2 2-2-2x x1 1)0)0， g(x g(

17、x2 2) g(x) g(x1 1),),函数函数g(x)g(x)在在0,10,1上是单调递减上是单调递减. .(3)g(x)(3)g(x)在在0,10,1上是减函数，上是减函数，又又x 0,1,x 0,1,有有g(1)g(x)g(0)g(1)g(x)g(0)， g(1)=2 g(1)=21 1-4-41 1=-2=-2， g(0)=2g(0)=20 0-4-40 0=0=0，-2g(x)0.-2g(x)0.故函数故函数g g（x x）的值域为）的值域为-2,0.-2,0.通过关联及比较、对照的方法，认识理解通过关联及比较、对照的方法，认识理解 指数函数、指数函数、 对数函数对数函数的的图象图象和和性质性质. .对数对数函数是函数是指数指数函数的函数的反函数反函数( (互为反函数）互为反函数）. .3.3. 对数函数对数函数与指数函数的与指数函数的图象图象关于直线关于直线 y=xy=x 对称对称. .星星使天空绚烂夺目，知识使人增长才干。.