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类型2022届山东省泰安肥城市高三下学期5月高考模拟考试 数学 试题(二)(学生版+解析版).docx

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    资源描述:

    1、2022年高考适应性训练数学试题 (二)本试卷共22题,满分150分,共8页考试用时120分钟注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”.2作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案. 答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答无效.4考生必须保持答题卡的整洁

    2、,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集,集合,则图中阴影部分表示的集合为( )A. B. C. D. 2. 命题:有等差数列是等比数列,则( )A. :有的等差数列不是等比数列B. :有的等比数列是等差数列C. :所有的等差数列都是等比数列D. :所有的等差数列都不是等比数列3. 在矩形中,是的中点,是上靠近的三等分点,则向量=( )A. B. C. D. 4. 已知,其中且,且,若,则的值为( )A. B. C. 2D. 35. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形

    3、象备受追捧,引来国内外粉丝争相购买,竟出现了“一墩难求”的局面. 已知某工厂生产一批冰墩墩,产品合格率为. 现引进一种设备对产品质量进行检测,但该设备存在缺陷,在产品为次品的前提下用该设备进行检测,检测结果有的可能为不合格,但在该产品为正品的前提下,检测结果也有的可能为不合格. 现从生产的冰墩墩中任取一件用该设备进行检测,则检测结果为合格的概率是( )A. B. C. D. 6. 在正三棱锥中,底面是边长为正三角形,是的中点,若直线和平面所成的角为,则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D. 7. 函数的大致图像为( )A. B. C. D. 8. 已知、为椭圆的左、右焦点,若为椭圆

    4、上一点,且的内切圆的周长等于,则满足条件的点的个数为( )A. B. C. D. 不确定二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9. 如图,正方体的棱长为 ,线段上有两个动点,且,以下结论正确的有( )A. B. 正方体体积是三棱锥的体积的6倍C D. 异面直线,所成的角为定值10. 某校举行劳动技能大赛,统计了名学生的比赛成绩,得到如图所示的频率分布直方图,已知成绩均在区间内,不低于分的视为优秀,低于分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值,则下列说法中正确的是( )A. B.

    5、 优秀学生人数比不及格学生人数少人C. 该次比赛成绩的平均分约为D. 这次比赛成绩的分位数为11. 向量 函数,则下述结论正确的有( )A. 若的图像关于直线对称,则可能为B. 周期时,则的图像关于点对称C. 若的图像向左平移个单位长度后得到一个偶函数,则的最小值为D. 若在上单调递增,则12. 已知函数,是自然对数的底数,则( )A. 的最大值为B. C. 若,则D. 对任意两个正实数,且,若,则三、填空题:本题共 4小题,每小题5分,共20 分.13. 点是直线上一点,是直线的一个方向向量,则点到直线的距离是_14. 在对某中学高一年级学生每周体育锻炼时间的调查中,采用随机数法,抽取了男生

    6、人,女生人. 已知男同学每周锻炼时间的平均数为小时,方差为;女同学每周锻炼时间的平均数为小时,方差为. 依据样本数据,估计本校高一年级学生每周体育锻炼时间的方差为_.15. 已知抛物线的焦点为,准线为,点是抛物线上一点,过点作准线的垂线,交于点,若,则抛物线的方程为_.16. 已知函数满足且,当时,则的值域为_,若方程在上有个不同的实数根,则实数的取值范围为_.四、解答题:本题共6小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知,的内角的对边分别为,对,都有成立,从条件,条件,条件中选择一个作为已知,(1)求角;(2)求周长的取值范围.条件条件条件(注:如果选择多个条件

    7、解答,按第一个解答计分.)18. 如图,圆台下底面圆的直径为, 是圆上异于的点,且,为上底面圆的一条直径,是边长为的等边三角形,.(1)证明:平面;(2)求平面和平面夹角的余弦值.19. 已知数列的前项和为,若,且.(1)求的通项公式;(2)设,数列的前项和为,求证.20. 新冠病毒传播以来,在世界各地造成极大影响“动态清零”政策是我国根据疫情防控经验的总结和提炼,是现阶段我们疫情防控的一个最佳选择和总方针.为落实动态清零政策下的常态化防疫,要求学校作为重点人群,每天要进行核酸检测.某高中学校核酸抽检工作:每天下午开始,当天安排 位师生核酸检测,教职员工每天都要检测,学生五天时间全员覆盖(1)

    8、该校教职员工有人,高二学生有人,高三学生有人,用分层抽样的方法,求高一学生每天抽检人数;高一年级共个班,该年级每天抽检的学生有两种安排方案,方案一:集中来自部分班级;方案二:分散来自所有班级,每班随机抽取你认为哪种方案更合理,并给出理由(2)学校开展核酸抽检的某轮核酸抽检用时记录如下:第天12345用时(小时)252.32.1212.0计算变量和相关系数(精确到),说明两变量线性相关的强弱;并根据的计算结果,判定变量和是正相关,还是负相关,给出可能的原因参考数据和公式:,相关系数21. 在平面直角坐标系中,已知两点的坐标分别是,直线相交于点,且它们的斜率之积为.(1)求点的轨迹方程;(2)记点

    9、的轨迹为曲线,是曲线上的点,若直线,均过曲线的右焦点且互相垂直,线段的中点为,线段的中点为. 是否存在点,使直线恒过点,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.22. 已知函数(1)求函数的极值;(2)若且,证明:,2022年高考适应性训练数学试题 (二)本试卷共22题,满分150分,共8页考试用时120分钟注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”.2作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案. 答案不能

    10、答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答无效.4考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集,集合,则图中阴影部分表示的集合为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合A,由图可知阴影部分表示的集合为,根据并集的定义即可得解.【详解】解:,图中阴影部分表示的集合为,且.故选:C.2. 命题:有的等差数列是

    11、等比数列,则( )A. :有的等差数列不是等比数列B. :有的等比数列是等差数列C. :所有的等差数列都是等比数列D. :所有的等差数列都不是等比数列【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系,准确改写,即可求解.【详解】因为命题是存在量词命题,存在量词的否定为全称量词,且否定结论,所以命题的否定是“所有的等差数列都不是等比数列”故选:D3. 在矩形中,是的中点,是上靠近的三等分点,则向量=( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则,准确化简,即可求解.【详解】如图所示,根据平面向量的运算法则,可得. 故选:B4. 已知,其中且,且,若,则

    12、的值为( )A. B. C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】由对数换底公式用表示出,代入解方程可得【详解】因为,所以,得,所以.即. 因为,所以,解得故选:A5. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追捧,引来国内外粉丝争相购买,竟出现了“一墩难求”的局面. 已知某工厂生产一批冰墩墩,产品合格率为. 现引进一种设备对产品质量进行检测,但该设备存在缺陷,在产品为次品的前提下用该设备进行检测,检测结果有的可能为不合格,但在该产品为正品的前提下,检测结果也有的可能为不合格. 现从生产的冰墩墩中任取一件用该设备进行检测,则检测结果为合格的概率是( )A. B. C. D

    13、. 【答案】C【解析】【分析】由全概率公式求解【详解】设事件“任取一件产品用该设备进行检测,检测结果为合格”,事件“抽取的该产品为正品”,事件“抽取的该产品为次品”,则,由全概率公式得. 故选:C6. 在正三棱锥中,底面是边长为正三角形,是的中点,若直线和平面所成的角为,则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先作出直线和平面所成的角,求得三棱锥的高AF,进而得到关于三棱锥外接球半径的方程,进而求得三棱锥外接球的表面积【详解】连接,AE,过A点作平面于,则落在上,且为的重心,所以为直线和底面所成的角,即. 因为的边长为,所以,.设三棱锥外接球的球心为,外

    14、接球半径为,则在上,连接.在中,由勾股定理得,即,解得. 所以三棱锥外接球的表面积为.故选:C7. 函数的大致图像为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项,再由函数值的正负排除一个选项,得正确结论【详解】函数的定义域为,当时,所以为奇函数,故排除B、D选项.当时,所以,排除C,故选:A8. 已知、为椭圆的左、右焦点,若为椭圆上一点,且的内切圆的周长等于,则满足条件的点的个数为( )A. B. C. D. 不确定【答案】B【解析】【分析】计算出,计算出的内切圆的半径为,结合等面积法可求得点的坐标,即可得解.【详解】由得,所以,.由椭圆的定义知,.因为

    15、的内切圆的周长等于,所以内切圆的半径为,设点,则,所以,将点的坐标代入椭圆方程可得,解得,所以,点的坐标为或或或,因此,满足条件的点的个数为.故选:B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9. 如图,正方体的棱长为 ,线段上有两个动点,且,以下结论正确的有( )A. B. 正方体体积是三棱锥的体积的6倍C. D. 异面直线,所成的角为定值【答案】AC【解析】【分析】根据数量积的定义判断A,根据锥体的体积公式计算即可判断B,根据线面垂直的性质判断C,利用特殊点判断D;【详解】解:对于A选项,

    16、易知,所以,所以A正确;对于B项,连接交于点,则,又平面,平面,所以,平面,所以平面,所以三棱锥的体积,所以正方体体积是三棱锥的体积的倍,所以B错误;对于C项,如图建立空间直角坐标系,则,所以,所以,即,因为,平面,所以平面,而平面,所以,所以C正确;对于D项,当点在处,为的中点时,异面直线所成的角是,当在的中点时,F在的位置,异面直线所成的角是,显然两个角不相等,所以D错误;故选:AC10. 某校举行劳动技能大赛,统计了名学生的比赛成绩,得到如图所示的频率分布直方图,已知成绩均在区间内,不低于分的视为优秀,低于分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值,则下列说法中正确的是( )

    17、A. B. 优秀学生人数比不及格学生人数少人C. 该次比赛成绩的平均分约为D. 这次比赛成绩的分位数为【答案】BCD【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质特点,即可求解.【详解】对于A项,由题意,所以,故A错误;对于B项,优秀学生人数为,不及格学生人数,优秀学生人数比不及格学生人数少15人,故B正确;对于C项,平均分,故C正确;对于D项,设百分位数为,则有,所以,故D正确.故选:BCD11. 向量 函数,则下述结论正确的有( )A. 若的图像关于直线对称,则可能为B. 周期时,则的图像关于点对称C. 若的图像向左平移个单位长度后得到一个偶函数,则的最小值为D. 若在上单调递增,则【答案】AC

    18、D【解析】【分析】先由向量的数量积及三角恒等变换得到,再由对称性、奇偶性及单调性依次判断4个选项即可.【详解】,对于A选项,若的图像关于直线对称,则,所以,当时,故A正确;对于B选项,当,则=2,令,当时,所以关于对称,故B错误;对于C选项,若的图像向左平移个单位长度后得到,所以,又,所以,故C正确;对于D选项,因为函数在上递增,所以,故D正确.故选:ACD.12. 已知函数,是自然对数的底数,则( )A. 的最大值为B. C. 若,则D. 对任意两个正实数,且,若,则【答案】ABD【解析】【分析】对于A,求出函数的导数,判断导数正负,确定函数单调性,即可求得最大值;对于B,根据函数的单调性,

    19、即可判断;对于C,构造函数,判断其单调性,结合即即可判断;对于D,将展开整理得,然后采用分析法的思想,推出,构造函数,求其最小值即可判断.【详解】由题意得,则 ,当 时,递增 ,当 时,递减,故,故A正确;由于,由于当 时,递减,故 ,即 ,即,因为 ,故,即,故,故B正确;因为,即,设 ,由于当 时,递增 ,当 时, 递减,故单调减函数,故,即,由于,不妨设, 则 ,即,故C错误;对任意两个正实数,且,若,不妨设 ,即,设,则,则,而 ,设 令 ,则,即为单调增函数,故,即成立,故,故D正确,故选:ABD三、填空题:本题共 4小题,每小题5分,共20 分.13. 点是直线上一点,是直线的一个

    20、方向向量,则点到直线的距离是_【答案】【解析】【分析】根据题意求得,且,结合,即可求解.【详解】由题意,点和,可得,且,所以点到直线的距离是.故答案为:.14. 在对某中学高一年级学生每周体育锻炼时间的调查中,采用随机数法,抽取了男生人,女生人. 已知男同学每周锻炼时间的平均数为小时,方差为;女同学每周锻炼时间的平均数为小时,方差为. 依据样本数据,估计本校高一年级学生每周体育锻炼时间的方差为_.【答案】19【解析】【分析】根据数据的平均数与方差的公式,准确计算,即可求解.【详解】根据平均数的计算公式,全班的平均数为,由,设男同学为,女同学为,则男同学的方差,从而,则女同学的方差,从而;所以全

    21、班同学的方差为.故答案为:.15. 已知抛物线的焦点为,准线为,点是抛物线上一点,过点作准线的垂线,交于点,若,则抛物线的方程为_.【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义得到,再利用等腰三角形得到,进而利用直角三角形和的几何意义进行求解.【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,所以,又,所以为顶角为的等腰三角形,所以,记准线与轴交于点,则,所以,所以该抛物线方程为.故答案为:.16. 已知函数满足且,当时,则的值域为_,若方程在上有个不同的实数根,则实数的取值范围为_.【答案】 . . 【解析】【分析】根据题意得到函数是上周期为4的偶函数,转化为每个周期内有6个不同的实根,得到

    22、方程在内有3个不同的实数根,利用导数求得函数的单调性,求得函数的值域,设,转化为,设,得到方程在内有个不同的实数根,得到1个根在, 另1个根在,分类讨论,即可求解.【详解】由题意,函数满足可得函数是上周期为4的偶函数,又由区间内共有5个周期,方程有30个不同的实数根,所以每个周期内有6个不同的实根.所以方程在内有3个不同的实数根,当时,可得,当时,单调递减;当时,单调递增,所以,则的值域为.设则,设,则,而,要使方程在内有个不同的实数根,则函数在上必有2个根,且1个根在, 另1个根在,如图所示当作为根时,另一个根在,则 ,此时;当一个根在时,另一个根在,则,解得,综上可得,实数的取值范围为.故

    23、答案为:;.四、解答题:本题共6小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知,内角的对边分别为,对,都有成立,从条件,条件,条件中选择一个作为已知,(1)求角;(2)求周长的取值范围.条件条件条件(注:如果选择多个条件解答,按第一个解答计分.)【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由三角恒等变换公式化简,选择条件,由正余弦定理化简求解选择条件,由正弦函数求解,选择条件,由二倍角公式化简后求解(2)由正弦定理转化为三角函数求解【小问1详解】,令代入得,从而, 同理 , , 选条件: ,可化为,从而,于是,得 选条件:, 由 得 选条件:, 则, =,得,从而【小

    24、问2详解】由正弦定理知:,得, 所以周长=,=, 由,知,从而, 于是,所以,周长的取值范围为18. 如图,圆台下底面圆的直径为, 是圆上异于的点,且,为上底面圆的一条直径,是边长为的等边三角形,.(1)证明:平面;(2)求平面和平面夹角余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.(2)利用向量法,即可求二面角的余弦值.【小问1详解】为圆台下底面圆的直径,是圆上异于的点,故又,又,平面平面【小问2详解】取的中点,连接,则,由(1)可知,平面,又 以为原点,为轴,为轴,为轴,建立如下图所示的空间直角坐标系;由题意可得,平面,四边形为矩形, 平面的一个法

    25、向量为.设平面的一条法向量为,由 得 令,则,平面的一个法向量为 则平面与平面的夹角的余弦值为平面和平面夹角余弦值为19. 已知数列的前项和为,若,且.(1)求的通项公式;(2)设,数列的前项和为,求证.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)由已知等式可得,采用累乘法可求得当时的,利用可求得,检验首项后可得结论;(2)由(1)可得时的通项,由,采用裂项相消法可求得,由可得结论.【小问1详解】由得:,则当时,又,经检验:满足;.【小问2详解】由(1)得:当时,;,.20. 新冠病毒传播以来,在世界各地造成极大影响“动态清零”政策是我国根据疫情防控经验的总结和提炼,是现阶段我们疫情

    26、防控的一个最佳选择和总方针.为落实动态清零政策下的常态化防疫,要求学校作为重点人群,每天要进行核酸检测.某高中学校核酸抽检工作:每天下午开始,当天安排 位师生核酸检测,教职员工每天都要检测,学生五天时间全员覆盖(1)该校教职员工有人,高二学生有人,高三学生有人,用分层抽样的方法,求高一学生每天抽检人数;高一年级共个班,该年级每天抽检的学生有两种安排方案,方案一:集中来自部分班级;方案二:分散来自所有班级,每班随机抽取你认为哪种方案更合理,并给出理由(2)学校开展核酸抽检的某轮核酸抽检用时记录如下:第天12345用时(小时)2.52.32.12.12.0计算变量和的相关系数(精确到),说明两变量

    27、线性相关的强弱;并根据的计算结果,判定变量和是正相关,还是负相关,给出可能的原因参考数据和公式:,相关系数【答案】(1)250;分散抽检,理由见解析; (2)-0.95,负相关,答案见解析.【解析】【分析】(1)直接利用分层抽样的公式求出高一学生每天抽检人数;答案见解析;(2)求出相关系数即得解.【小问1详解】解:高一学生每天抽检人数为. 方案二更合理,因为新冠病毒奥密克戎毒株传染性更强、潜伏期更短,分散抽检可以全面检测年级中每班学生的状况,更有利于防控筛查工作.【小问2详解】解: 变量和的相关系数为:因为,可知两变量线性相关性很强,由可知变量和是负相关.可能的原因:随着抽检工作的开展,学校相

    28、关管理协调工作效率提高,因此用时缩短.21. 在平面直角坐标系中,已知两点的坐标分别是,直线相交于点,且它们的斜率之积为.(1)求点的轨迹方程;(2)记点轨迹为曲线,是曲线上的点,若直线,均过曲线的右焦点且互相垂直,线段的中点为,线段的中点为. 是否存在点,使直线恒过点,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.【答案】(1); (2)存在,.【解析】分析】(1)根据直线斜率公式,结合已知等式进行求解即可;(2)设出直线方程与双曲线方程联立,根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系、直线斜率公式进行求解即可.【小问1详解】设,因为直线相交于点,且它们的斜率之积为,所以,整理可得,所以点的轨迹方

    29、程为.【小问2详解】因为曲线的方程为,所以直线的斜率都存在且不为0. 设直线:,则直线:, 设由可得:,当时,即,方程为,此时只有一解,不符合题意,当时,由韦达定理可得:,所以点的横坐标为,代入直线:可得:,所以线段的中点,用替换可得,所以线段的中点,当时,直线的方程为:,整理可得:,此时直线过定点, 若时, 则, ,或,直线的方程为,此时直线也过点, 综上所述:直线过定点【点睛】关键点睛:利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.22. 已知函数(1)求函数的极值;(2)若且,证明:,【答案】(1)极大值:,极小值 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)求出导函数,解不等式和得单调区间,从而

    30、得极值;(2)首先对欲证的不等式进行变形,引入新函数,利用二次求导得,从而变化为欲证(实际上这里处理了变量)再由已知得出与的关系,同时利用导数对引入的函数,证明在时,这样才能得出,此时欲证不等式转化为只有一个变量:即仅需证,为此再引入函数,利用导数完成证明【小问1详解】函数的定义域为, ,由得或由得,的单调递增区间为和;单调递减区间为的极大值:的极小值:【小问2详解】欲证,即证,令,则 令,则,因为,所以,所以在上单调递增,所以,所以,所以在上单调递增,所以所以欲证,只需证,因为,所以, 即, 令,则,当时, 所以在上单调递增,所以,即,所以,故式可等价变形为:,所以,欲证式成立,只需证成立所以仅需证,令,(),则,在上单调递增,故,即,结论得证【点睛】关键点点睛:本题考查用导数求函数的极值,证明不等式证明不等式的难点在于涉及到多个变量,解题的关键是减元化,一是参变分离,由任意性求出关于一个变量的最值,消去一个变量;二是代入消元,利用变量间的关系,用一个变量表示另一个变量,代入后二元化为一元,难点在于每一次变化包括最后的证明中都要引诱函数,利用导数求出最值,证明相应的不等关系成立,从而达到目的,本题属于困难题

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