安徽省合肥市一中2022届高考模拟最后一卷 数学（文） 试题（学生版+解析版）.pdf

1、最后一卷理科数学 一、一、选择题（共选择题（共 12 题，每题题，每题 5 分，共分，共 60 分分.在每题列出的四个选项中，只有一项是最在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的符合题目要求的.） 1.已知集合21Ax x=，2log1Bxx=，则AB =（ ） A()0,2 B()0,3 C()1,2 D(),3 【答案】C 2.若3i1 2ia+（i为虚数单位）是实数，则实数a的值为（ ） A.-6 B.32 C.6 D.32 【答案】B 【解析】2223i(3i)(1 2i)2 i3i6i(6)(32 )i632i1 2i(1 2i)(1 2i)1(2i)555aaaaaaaa

2、+=+， 当3i1 2ia+为实数时，实数32a =. 3已知a，b为正实数，则“2abab+”是“16ab”的( ) A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意，正实数a，b，可得2abab+，当且仅当ab=时，等号成立， 若16ab，可得11162222ababababab=+，故“2abab+”是“16ab”的必要条件， 反之，例如2a =，10b =，此时2abab+，而20ab =，此时16ab ， 故“2abab+”是“16ab”的不充分条件，综上所述， “2abab+”是“16ab”的必要不充分条件. 4. 黎曼函数是一个特

3、殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：1,( ,( )0=0,10,1qqxp qpppR xx=当都是正整数， 是既约分数）， 当或上的无理数，若函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且对任意 x 都有(2)( )0fxf x+=，当0,1x时，( )( )f xR x=，则)5202230()2022(lg+ ff（ ） A. 51 B. 52 C. 25 D. 15 【答案】D 【解析】0)2022(lg4)(=fxf，的周期为，20222221(30)(2)( )( )55555fffR+=+= = = D所以选 5如图，圆锥的轴截面

4、ABC为正三角形，其面积为4 3，D为弧AB的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC，DE所成角的余弦值为( ) A24 B22 C63 D33 【答案】B 【解析】取AB的中点O，连接OD，OE，则/ /OEAC，OED为异面直线AC与DE所成角，设底面圆O的半径为r，正ABC的面积为4 3，1234 32rr=，解得2r =， 24ACABr=，2ODr=，122OEAC=， 由轴截面的性质知，平面ABC 平面ABD，D为弧AB的中点，ODAB， 又平面ABC平面ABDAB=，OD平面ABC，ODOE， 在Rt ODE中，2tan12ODOEDOE=，2cos2OED= 故选：B 6.某

5、校有 5 名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有 1 名学生且至多 2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ） A. 48 B. 54 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】60222312142412=+ACCCCC 7. 已知数列na的前n项和为nS，且112nnnaa+=+，12a =，若128nS，则n的最小值为( ) A5 B6 C7 D8 【答案】C 【解析】数列na的前n项和为nS，且112nnnaa+=+，12a =， 当1n =时，解得23a =， 当2n =时，解得35a =， ，765a = 所以7127134Saaa=+=， 由

6、于669S =， 当7n =时，满足128nS， 故选：C 8已知点P在直线4xy+=上，过点P作圆22:4O xy+=的两条切线，切点分别为A，B，则点(3,2)M到直线AB距离的最大值为( ) A2 B3 C2 D5 【答案】D 【解析】根据题意，点P在直线4xy+=上，设( , )P a b，则4ab+=， 过点P作圆22:4O xy+=的两条切线，切点分别为A，B，则PAOA，PBOB， 则点A、B在以OP为直径的圆上， 又由( , )P a b，则以OP为直径的圆的方程是22221()()()224abxyab+=+， 圆O的方程为224xy+=， 联立两个圆的方程可得：直线AB的方

7、程为4axby+=，即40axby+=， 因为4ab+=， 所以4ba=， 代入直线AB的方程， 得(4)40axa y+=， 即()440a xyy+=， 当xy=且440y =，即1x =，1y =时该方程恒成立，所以直线AB过定点(1,1)N， 点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，|5MN =， 即点(3,2)M到直线AB距离的最大值为5 故选：D 9.足球场上有句顺口溜：冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的， 射点对球门的张角越大， 射门的命中率就越高如图为标准对称的足球场示意图，设球场长 A

8、Ba，宽 BCb，球门长 PQm在某场比赛中有一位左边锋球员欲在边线AB上点M处射门， 为使得张角PMQ最大， 则AM （ ） A2abm B222bm C2bm+ D222abm+ 【答案】B 【解析】如图，设PMA，QMA，AMx， 则，则 tanPMQtan（） ， 当且仅当，即 AM时取等号 故选：B 10. 32( )(1)( 44),(21)(2)(1 2 )xf xx xexfxffx=+ +设函数若，则 x 的取值范围是（ ） A31(,)22 B3 1(, )2 2 C1(,)2 D3(,)2+ 【答案】A 【解析】函数 y=f（x） ，x（4，4） ，定义域关于原点对称，

9、且 f（x）f（x） ，所以 f（x）是奇函数， 当 x0，4）时，y=f（x）0，且为增函数， 所以函数 f（x）单调递增，则当 x（4，0时，函数 f（x）单调递增，所以函数 f（x）当 x（4，4)单调递增 所以令41+2x4，412x4，解得3322x， 令 g（x）f（1+2x）+f（2）f（12x） ，则不等式可化为 g（x）0， 可知 g（x）在（4，4）上单调递增，且1()(0)(2)(2)02gfff=+=， 所以1( )()2g xg，解得12x ，则3122x ，即解集为31(,)22 故选：A 11过抛物线2:2(0)E ypx p=焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过

10、A，B分别向E的准线作垂线，垂足分别为C，D，若ACF与BDF的面积之比为 4，则直线AB的斜率为( ) A1 B3 C2 D2 2 【答案】D 【解析】设ACF中AC边上的高与BDF中BD边上的高分别1h，2h，则12|hAFhBF=， 由抛物线的性质可得| |AFAC=，| |BFBD=， 21221| |241| |2ACFBDFAChSAFSBFBDh=，则|2|AFBF=， 设AB的倾斜角为， 1cospAF=，1cospBF=+， （抛物线焦点弦推论） ， 所以1cos21cos+=，解得1cos3=， 所以2 2sin3tan2 21cos3=， 当| |AFBF，这时tan2

11、2= ， 故选：D 12. 双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥在数学中，双曲函数是一类与三角函 数 类 似 的 函 数 ， 最 基 础 的 是 双 曲 正 弦 函 数sinh2xxeex=和 双 曲 余 弦 函 数cosh2xxeex+=下列结论错误的是（ ） Acoshsinh1xxx+ Bsinh()sinh coshcosh sinhxyxyxy+=+ C若ym=与双曲余弦函数 C1和双曲正弦函数 C2共有三个交点，分别为123xxx， ，则123ln(12)xxx+ D已知函数2( )1coshf xxax= +，aR ，则函数( )f x零点的个数所有可能值构成的集合

12、为0,1,2 【答案】D 【解析】Acoshsinh2xxxxxeeeexxe+=，设 g（x）exx1，g（x）ex1， 当 x0 时，g（x）0，函数 g（x）单调递减；当 x0 时，g（x）0，函数 g（x）单调递增； 则当 x0 时， g （x） 取得极小值也是最小值 g （0） 0， 则 g （x） 0， 即 exx1， 则 coshx+sinhxx+1 成立，故 A 正确， B， ()()()()sinh coshcosh sinh4xxyyxxyyeeeeeeeexyxy+= ()()sinh()42x yx yy xx yx yx yy xx yx yx yeeeeeeeeee

13、xy+ + + +=+， 故B正确， C函数sinh2xxeex=是奇函数，且单调递增，函数的值域为 R， 若 ym 与双曲余弦函数和双曲正弦函数，共有三个交点，则 m1， 由双曲余弦函数为偶函数，得 x1+x20，则由1，得 exex2， 即（ex）22ex10，得 ex1+，得 xln（1+） ，即 x3ln（1+） ， 则 x1+x2+x3ln（1+） ，故 C 正确， D函数2( )-1cosh=+f xxax，aR，当0.54a取-时，可以说明有 个零点 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知双曲线22

14、2:1(0)4xyCbb=，以C的焦点为圆心，3 为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是_. 【答案】13(1,)2 【解析】双曲线C的渐近线方程为2byx= ，焦点( ,0)F c， 渐近线与圆相交，2|231( )bcba+，即3b ， 222cb =，可得22413cb=+， 双曲线C的离心率为：132cea=，且1e 13(1,)2e 14 已知0a ，0b ， 向量(2 , 9)mab=+，(8,)nab=， 若mn， 则2ab+的最小值为_. 【答案】8 【解析】根据题意，向量(2 , 9)mab=+，(8,)nab=， 若mn，则8(2 )90m nabab=

15、+=，即8(2 )9abab+=，变形可得1298ba+=， 则898128222(2)()(2)(5)9899ababababbaba+=+=+=+， 又由0a ，0b ，则222() 4ababbaba+=+，当且仅当ab=时等号成立， 则82282(5)(54)899ababba+=+=， 则2ab+的最小值为 8 15 “中国剩余定理”又称“孙子定理” ，讲的是一个关于整除的问题现有这样一个整除问题：将 1 到 2021 这 2021 个数中，能被 3 除余 2 且被 5 整除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列na，则此数列所有项中，中间项的值为_. 【答案】1007 【解

16、析】 由题意可知，2na 既是 3 的倍数， 又是 5 的倍数， 所以是 15 的倍数， 即215(1)nan=，所以1513nan=， 当135n =时，13515 135 1320122021a=， 当136n =时，13615 136 1320272021a=， 故1n =， 2 ， 3， 135 ，数 列na共 有 135 项 ，因此 数列 中间 项为 第 68 项 ， 且6815 68 131007a=故中间项的值为 1007 16.如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体， 亦称 “阿基米德体” 点， ，是该多面体的三个顶点， 点是该

17、多面体表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为 ，点轨迹的长度为 【答案】； 【解析】根据题意，该正四面体的棱长为，点，分别是正四面体棱的三等分点，该正四面体的表面积为， 该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体， 每个角上小正四面体的侧面面积为， ABMNMNAB4AB =N112 388 3+312AB =ABM1412 12 sin60144 32=1344 sin6012 32 =每个角上小正四面体的底面面积为， 所以该多面体的表面积为； 如图，设点为该多面体的一个顶点，则， 在中， 则，所以，即，同理， 又，平面，所以平面， 由点是该多面体表面上的动点，且总满足，则点的轨迹

18、是线段，所以点的轨迹的长度为 三三解答题（共解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题（一）必考题 17 在3(cos )3sinbcAaC=， 1 tan(1)2 tanaCbB=+， sincos()6cBbC=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_ （1）求C； （2）若ABC的面积为1

19、0 3，D为AC的中点，求BD的最小值 【解析】 （1）选时，3(cos )3sinbcAaC=，利用正弦定理：3sinsincossinsin3BCAAC=， 由于()BAC=+，所以sinsin()BAC=+，故3sincossinsin3ACAC=，整理得tan3C =， 0C，故3C= 选时，1 tan(1)2 tanaCbB=+，整理得sin1 sincossin()(1)sin2 cossin2cossinACBBCBCBCB+=+=， 由于由于ACB+=，所以sin()sinBCA+=，故1cos2C =，0C，故3C= 144 sin604 32 =144 34 12 344

20、3112 3 +=H8HFHMMF=HFB2222212cos608424 8482HBHFBFBH HF=+=+ =4 3HB =222HBBFHF+=HBBF4 3MB =MBABHBMBB=HBMBMBHAB MBHNMNABNMBHBMHN84 34 388 3MBHBMH+=+=+选时，sincos()6cBbC=，整理得31sincos()cossin622CCCC=+， 所以sin3cosCC=，整理得tan3C =，0C，故3C= （2）由于ABC的面积为10 3，所以113sin10 3222abCab=，解得40ab = 由余弦定理22222111cos220442222b

21、bbBDaabCaabaabab=+=+=，故2 5BD 当且仅当12ab=，即2 5a =，4 5b =，BD的最小值为2 5 18 已知四棱锥中， 四边形为等腰梯形，为等边三角形，且平面平面 （1）求证：； （2）是否存在一点，满足，且使平面与平面所成的锐二面角的余弦值为若存在，求出的值，否则请说明理由 【解析】 （1）证明：取的中点，连结，因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以，在等腰梯形中， 因为，所以， 所以，即， 在中，由余弦定理可知， 在中，由余弦定理可知， 所以，则，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）解：存在点满足

22、条件，则由（1）可知，平面，且， EABCDABCD/ /ABDC2ADDC=4AB =ADEADE ABCDAEBDF(01)EFEB=ADFBCE6513ADGEGADEEGADADEABCDAD=ADE ABCDEG ABCDBD ABCDBDEGABCDAECDCB= / /ABDCDABADCDABDCB+= +=DCBDAB=coscosDCBDAB= DCB22228cos28DCBCBDBDDCBDC BC+=DAB222220cos216DAABBDBDDABDA AB+=22820816BDBD= 212BD =222ADBDAB+=ADBDADEGG=ADEG ADEBD

23、 ADEAE ADEAEBDFED ABCDADBD取的中点，连结，则，所以， 不妨以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系如图所示，则， 所以， 设，则， 因为，所以，所以， 不妨设平面的法向量为， 则，整理可得， 取，则，设平面的法向量为， 则，整理可得， 取，则，所以平面于平面所成的锐二面角的余弦值为 ， 整理可得，解得或， 因为，所以，故存在点，满足且 19.北京 2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破为了宣传 2022 年北ABHHG/ /HGBDGH

24、ADGGAGHGExyz(1,0,0),( 1,0,0),(0,0, 3), ( 1,2 3,0),( 2, 3,0)ADEBC( 2,0,0),( 1,3,0)ADBC= = (F xy)z(,3),( 1,2 3,3)EFxy zEB= = EFEB=2 333xyz = = = +(1,2 3 ,33)AF= +ADF122( ,)mx y z=111120(1)2 3(33)0m ADxm AFxyz= = + +=111012xyz=12z=(0,1,2 )m=BCE222(,)nxy z=222222 33030n EBxyzn BCxy= += =222233zyxy= 21y

25、=(3,1,3)n = ADFBCE222222|16 |71|65|cos,|13(1)413(1)4(3)13m nm nm n +=+ +(21)(31)0+=12=13= 0112=FEFEB=12=京冬奥会和冬残奥会，合肥一中决定安排 5 名志愿者将两个吉祥物安装在合一广场，活动共分 3 批次进行每次活动需要同时派送 2 名志愿者，且每次派送人员均从 5 人中随机抽选已知这 5 名志愿者中，2 人有安装经验，3 人没有安装经验 （1）求 5 名志愿者中的“小明” ，在这 3 批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率； （2）求第二次抽选时，选到没有安装经验志愿者的人数最有可能是几人？

26、请说明理由； （3）现在需要 2 名志愿者完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位志愿者一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位志愿者若有 A、B 两个志愿者可派，他们各自完成任务的概率分别为 p1，p2，假设 1p1p2，且假定各人能否完成任务的事件相互独立若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为 q1，q2，其中 q1，q2是 p1、p2的一个排列，试分析以怎样的顺序派出志愿者，可使所需派出志愿者的人员数目的数学期望达到最小 【解析】 （1）5 名志愿者的“小明”在每轮抽取中，被抽取到概率为， 则三次抽取中， “小明”恰有一次被抽取到的概率 PC

27、； （2）第二次抽取到的没有没有安装经验志愿者人数最有可能是 1 人 设 表示第一次抽取到的没有安装经验志愿者人数， 可能的取值有 0，1，2， 则； 设 表示第二次抽取到的没有安装经验志愿者的人数， 可能的取值有 0，1，2，则 11222222 33322422222255555537(0)100c ccccccpcccccc=+= 因为 P（1）P（0）P（2） ， 故第二次抽取到的没有安装经验志愿者人数最有可能是 1 人 （3）按照先 A 后 B 的顺序所需人数期望最小： 设 X 表示先 A 后 B 完成任务所需人员数目，则 X 1 2 P P1 1P1 E（X）P1+2（1P1）2P

28、1， 设 Y 表示 B 先后 A 完成任务所需人员数目，则 X 1 2 P P2 1P2 E（Y）P2+2（1P2）2P2，E（Y）E（X）P1P20， 故按照先 A 后 B 的顺序所需人数期望最小 20在平面直角坐标系中，1A，2A两点的坐标分别为( 2,0)，(2,0)，直线1AM，2A M相交于点M且它们的斜率之积是34， 记动点M的轨迹为曲线E 过点(1,0)F作直线l交曲线E于P，Q两点，且点P位于x轴上方，记直线1AQ，2A P的斜率分别为1k，2k （1）证明：12kk为定值； （2）设点Q关于x轴的对称点为1Q，求1PFQ面积的最大值 【解析】 （1）设( , )M x y，由

29、题可知3224yyxx= +，所以221(2)43xyx+= 设直线l的方程为1xmy=+，1(Q x，1)y，2(P x，2)y， 联立221143xmyxy=+=，得22(34)690mymy+=， 所以122634myym+= +，122934y ym=+，所以1112ykx=+，2222ykx=， 所以11121121221212222(2)(2)32ykxxymy yyykxymy yyx+=+22222222296()3(34)13434993(34)3334mmymmymmmmmyym +=+， 所以12kk为定值 （2）设1(Q x，1)y，由椭圆的对称性，不妨设0m ， 11

30、2111211( 2)()2PQQSyxxx yx y= =，1111111(1)( 2)2QQ FSxyx yy=， 而11111211111211229()()(1)34PFQPQQQQ FmSSSx yx yx yyymyymy ym=+= =+ 993 3442 123mm=+，当243m =，即2 33m =时，等号成立， 此时1PFQ的面积最大值为3 34 21. 已知( )=2sinxf xexx. （1）求( )f x在0, x上的最小值； （2）设2( cossin )0.51xm xxxexx=，在0, x上有两个实根，求m的取值范围. 【解析】 （1）依题意，( )=2s

31、inxf xexx，( )=(2sin )2cossinxxfxexxexxx= ( )=2sin2cosxfxexxx+ 因为 x0，所以 ex1，xsinx0， 因此( )fx22cosx0， 所以( )fx在0，上单调递增，于是( )fx(0)f 20， 故函数 f（x）在0，上单调递增，( )f x(0)f2，( )f x的最小值为 2 (2)2( )0.51( cossin )xg xexxm xxx= , 2( )(0.51( cossin )1+xxemxsinx xg xexxm xxx= = 令 h（x）ex1+mxsinxx，h（x）ex +m（sinx+xcosx）1，

32、当12m 时， ，1( )1sin2xh xexxx 由（1）可知，当 x（0，时， 当 x（0，时，h（x）0 而 h（0）0，当 x0，时， h（x）0，( )0g x在 ，上递增，又(0)0g= 而 g（0）0，当 x0，时，g（x）仅有 1 个零点，舍去 当12m 时，h（x）ex+m（sinx+xcosx）1，h（x）ex-m（xsinx2cosx） 当时，h（x）0，所以 h（x）单调递增 当时，h（x）ex-m（3sinx+xcosx） 因为 ex0，-m（3sinx+xcosx）0， 所以 h（x）0，所以 h（x）单调递增 又 h（0）12m0，h（x）ex-m（xsinx2

33、cosx） ，2()022mhe= 因此 h（x）在上存在唯一的零点 x0，且 当 x（0，x0）时，h（x）0，所以 h（x）单调递减； 当时，h（x）0，所以 h（x）单调递增 又 h（0）0，h（x0）h（0）0，h（）e-m10， 因此 h（x）在(0，上存在唯一的零点 x1，且 x1（x0，） 当 x（0，x1）时，h（x）0，所以 h（x）单调递减； 当 x（x1，）时，h（x）0，所以 h（x）单调递增 又 h（0）0，h（x1）h（0）0，h（）e10， 所以 h（x）在（x1，）上存在唯一零点， 因此 h（x）在0，上有两个零点11( )0) ,( , ) ,(0)0g xx

34、xg=在（ ，又 21( )0,( )102g xgem= 又,( )g x在(0， 上存在唯一的零点x2， 且x2 （x1，） 因此 g（x）在0，上有两个零点 综上所述，实数 m 的取值范围是1(,)2 （二） 选考题，（二） 选考题， 共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、 23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做， 则按所做的第一题计分，如果多做， 则按所做的第一题计分，作答时用作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 2222选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy

35、 中，已知曲线 E 经过点3(1, )2P，其参数方程为cos3sinxay=( 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 E 的极坐标方程； (2)若直线 l 交曲线 E 于点 A，B，且 OAOB，求1|OA|21|OB|2的值 【解析】 (1)将点3(1, )2P代入曲线 E 的参数方程， 得1cos33sin2a=，解得 a24， 所以曲线 E 的普通方程为x24y231， 极坐标方程为22211( cossin)143+= (2)不妨设12(, ), (,)2AB +，10，20，则 12114cos213sin2，12214sin213cos2， 两式相加得1211221413712，即1|OA|21|OB|2712 23选修选修 4 4- -5 5：坐标系与参数方程不等式选讲：坐标系与参数方程不等式选讲 已知函数 （1）解不等式； （2）记函数的最小值为m，若, a b为正实数，且24abm+=，求2a b的最大值 【解析】， 等价于或或，或或， 不等式的解集为； 由可知， 26ab+=，且, a b为正实数， 23()83aaba ba a b+= =，当且仅当ab=，又26ab+=，即2ab=时等号成立， 2a b的最大值为8