物理奥赛力学质点的运动课件.ppt
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- 物理 力学 质点 运动 课件
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1、一、运动分解的任意性12rrr12vvv12aaa 不限于正交分解,更不限于沿水平、竖直方向的正交分解. 可以根据解题需要沿选定方向分解.知识与方法研究 运动的分解与合成是不同于参照系变化时(KK)对运动描述的伽利略或洛仑兹变换, 是在一个参照系中进行的. 例1 足球运动员在球门正前方距离球门S远处的O点踢出一球,球从球门高为h的横梁下边沿射入球门. 问球以怎样的角度 射出,才能使射出的初速度v0最小?OCBSxyh解一建立如图的坐标系,则有0(cos )svt201(sin )2hvtgt 消去t 得:2220tan2cosgshsv 进而得:22022(tan)cosgsvsh2sin2c
2、os2gsshh222.sin(2gshsh)(arctan)hs其中:022v当时, 有最小值.所以42将v0做水平、竖直的正交分解.v0OCBShxyv0 解二如图,建立坐标系.则有将v0、g均沿x、y方向进行分解.201(cos )( sin )2xvtgt201(sin)( cos )2yvtgt足球到达B时,0,y 所以有22201(cos )( sin )2shvtgt2010(sin)( cos )2vtgt消去t 得:222022sin(coscossinsin )cosvshg202sinsin(2)sincosvg所以220cossin(2)singv022v当时, 有最小
3、值.此时111(),2 24211().2 242g22xshOCBShv0 解三xy建立如图的坐标.据图中的几何关系,由正弦定理有:sinsinsin()BDODOB即222012sinsinsin()gtv tsh由左边的等式得:02sinsinvtg将此代入右边的等式:222022sinsinsin()vshg所以22220sin2sin() sing shv222sincoscos(2)g sh02v当时, 有最小值.此时则x方向为匀速直线运动,y方向为自由落体运动.1()21()2242现在足球在x轴方向、y轴方向的分运动各是什么运动?DOCBShv0Dxy 题后总结与思考本题充分说
4、明运动分解的任意性.如果愿意,还有一种如图的有效分解方式! 例2 弹性小球从高h处自由落下,落到与水平面成角的足够长的斜面上,碰撞后以同样大小的速度弹回来. (1)求每个弹回点(第一点和第二点,第二点和第三点,第n点和第(n+1)点)间的距离x1-2、x2-3、x3-4、x n-(n+1). (2)求当斜面以匀速度u沿竖直方向向上运动时的x1-2的数值.解h 小球第一次与斜面相碰(前、后)的速度大小为102.vghxyo 则小球在两个碰点之间的在x、y方向的分运动均是匀变速直线运动.10vgxgyg于是1010s2,insinxvvgh1010cos2cos .yvvgh以斜面为参照系.建立如
5、图所示的坐标系.10 xv10yv 第一次碰后(第二次碰前)的运动方程为:11010sin( sin )xxxvvg tvgt11010cos( cos )yyyvvg tvgt221101011(sin )( sin )22xxxvtg tvtgt221101011(cos )( cos )22yyyvtg tvtgthxyo10vgxgyg10 xv10yv令 y 1=0,可得第一与第二次碰撞的时间间隔为101 22vtg代入x1的计算式后可得2101 24sinvxg2 2ghg22hg8sinhhxy10vgxgyg10 xv10yv 第二次碰后瞬间的速度大小等于第二次碰前瞬间的速度大
6、小:1020102sin( sin )xvvvgg1020102cos( cos )yvvvgg 显然,1020,yyvv进而可知每相邻两次相碰的时间间隔均相等,1 222.httg以此类推,碰后瞬间在y方向的速度大小均相等.于是22 32012xxxvtg t2sin2 2singhgh8 sin8 sinhho可知在每次碰前3 2singh2cosgh为22123 2sin2sin(22hhghggg)12 sin4 sinhh注意:x2-3-x1-2=8hsin ! 会不会每碰一次增加“8hsin ”?hxyo10vgxgyg10 xv10yv 小球每一次碰后瞬间的x方向分速度将比前一次
7、增加2( sin ) 22 2sin .xhg tghgg 因而每接连两次相碰的间距将比相邻的两次接连相碰的间距增加2(2 2sin )(2 2sin ) 28 sin .hghtghhg 所以第n次碰撞与第(n+1)次碰撞之间的间距为(1)8 sin1)8 sinnnxhnh( 题后思考 能否建立水平方向的 x 坐标与竖直方向的y 坐标解本题?能否建立斜面方向的x坐标与竖直方向的y坐标求解? (2)求当斜面以匀速度u沿竖直方向向上运动时的x1-2的数值. 此时,仍以斜面为参照系. 则小球第一次与斜面相碰时速度大小便由(1)中的v10变成了(v10+u).所以将(1)中相关式子中的v0代换为(
8、v0+u),能得到对应的结果.便于是2101 24sinvxg204()sinvug24( 2)singhug8sin .nh让质点的做某种轨迹为给定的曲线的运动确定质点在运动轨迹上各处的v和a心由向心加速度公式求在选择质点的运动时,尽量考虑如何方便 得到曲线各处的v和a心 二、曲率半径的物理求法1、从曲率圆的角度看平面光滑曲线运动的速度和加速度aaa切心22va 心|dvadt切表示速度大小的变化快慢表示速度方向的变化快慢yop1p1va切a心ax2、由物理运动学求曲率半径思路:这样的运动在椭圆的顶点处的v和a心是易求得的. 例3 试求椭圆 的顶点处的曲率半径.22221xyAB解椭圆的参数
9、方程为cosxAtsinyBtxy0AB可以选择质点沿椭圆轨道的运动为:在x方向和y方向的分运动为简谐振动的运动.(其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程)sincos;xyvAtvBt 22cossinxyaAtaBt 于是有在图中顶点A处:0 xv yvBvB2xaA 0ya 2xaaA心xy0AB所以2Ava心va心同理可得2BAB222BA2BA 总是指向轮心但是否总是指向滚轮线的曲率圆圆心?a 例4 求滚轮线的最高点的曲率半径和1最低点的曲率半径2.解oPv0为方便计,设轮子做匀速的纯滚动.设轮心O相对地面的速度为v0 . P在最高点处相对于地面的速度大小为102vv P在最低点处相对
10、于地面的速度大小为20v 00a 由于,aa0.aaa 故0aaa则PPP ,Pa Pa设 点相对地面参照系的加速度为点相对轮心参照系的加速度为 ,oooaa轮边缘上的任意一点P相对轮心O的线速度为多大?故滚轮线最高处的曲 率半径为oPv0aaaa滚轮线最低处的曲率半径为PPP在滚轮线的最高点处和最低点处,a正好又是指向该处的曲率圆圆心的,a所以在此两处的完全用作向心加速度,aaa心故211va心oooaaaa20vR202024vRvR222va心2000vR 题后总结此两题的解法属于物理运动学的求法;曲率半径还有物理动力学的求法这将在以后研究.三、两运动曲线(包括直线)的交点的运动 注 意
11、 交点并非曲线上的一个固定点,而是两条曲线相交而成的几何点.两曲线并非均作平动.1、几种交点的运动情况Pv2v1(1)直线与直线的交点(2)曲线与曲线的交点(3)直线与曲线的交点2、如何求交点的速度Pv1v2决不能 !12PvvvP(1)由速度的定义出发求.(2)从相对运动出发求. 例5 如图,一平面内有l1、l2两细杆,相交成角. 细杆分别以垂直于自身杆长的速度匀速运动. 求两杆的交点P相对于纸面的速率.解一AB由定义出发求速度l1l2Pv1v2P2P3设经过时间t, 交点P匀速直线运动至P1处.21csccsc ,PPAPvt1232csccscPPPPPBvt2212122122cos(
12、)PPP PPPP P PP在图中:由余弦定理有所以(求出交点相对某一曲线的速度,再叠加上此曲线的速度)1P22121 22coscscvvvvt 22121 22coscscvvv v1PPPvtP1PPP2 , P1P2如何求得P1P ?l1l2Pv1v2P1ABP2P3解二由相对运动出发求速度先求出交点相对于杆l1的速率v1:在图中:1122APPPAP所以11APvt 进一步得交点P相对于地面的速率:21csccotvtvt32PPAPcsccotPBAP12cotcscvv22121 22coscscvvvv2211Pvvv22112(cotcsc )vvv 例6 如图, 在o-xy
13、平面内有一个圆, 在y轴上放一根细杆,从t=0开始, 细杆以速度v0朝x轴正方向匀速平动. 试求细杆与第一象限内的圆弧的交点的向心加速度与时间t的关系.xyOv0解一交点的运动方向总是沿圆的切线方向. 设在t 时刻交点在P点,经过小量时间t,交点由P点运动到P1点.P0则1PPR而121 323PPPPP PP2P3当极小时,有122 (cos )2PPR由、消去 :121,cosPPPP将22 20cosRv tR代入即得022 20Pv RvRv t所以22022 20.PPv RvaRRv t心(其中 )0Rv t由速度定义出发解答.2 cos()sin22Rsin()sinRR所以11
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