隐函数及参数方程求导课件.ppt
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- 关 键 词:
- 函数 参数 方程 求导 课件
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1、2022年6月6日星期一1一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 第二章 2定义由二元方程由二元方程)(xfy 0),( yxF)(xfy 1. 隐函数的定义)(xyy 所确定的函数0),( yxF一、隐函数的导数称为隐函数(implicit function).的形式称为显函数.隐函数的013 yx可显化为函数;13xy 例),10(sin yxy开普勒方程开普勒(J.Kepler)1571-1630德国数学家,天文学家.xy关于关于的隐函数客观存在,但无法将yx表达成的显式表达式.显化.32. 隐函数求导法
2、隐函数求导法则 用复合函数求导法则,并注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.隐函数不易显化或不能显化 如何求导2022年6月6日星期一4隐函数求导方法求导方法: : 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y.0 1dxdyyexyey的导数所确定的隐函数求由方程例yexydxdy,求导方程两边对 x解解0ydxdyxdxdyey)(xyy 注意5 虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在 的表达式中含有变量y.y y 一般来说,隐函数求导, 求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中
3、解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,6.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解得得求导求导方程两边对方程两边对,x04433 yyyxyx解得xyxyy 3344得得求导求导两边再对两边再对将将,4433xxyxyy yy )4(3xy )12(2xy )4(3xy ;41 )1 ,0(y )1 ,0(.161 23)4(xy )112(2yy2022年6月6日星期一7例例2.)0 , 0(, 02357处的值在点求设yyyxx 解解求导得方程两边对 x05212146yyyx得代入0, 0yx;2100 yxy求导得两边再对将上方程x05
4、)(2021264235 yyyyyx得2100yxy, 0, 0yx代代入入.000 yxy2022年6月6日星期一8例例3. 求椭圆求椭圆191622yx在点在点)3,2(23处的切线方程处的切线方程.解解: : 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx练习练习解解在题设方程两边同时对自变量在题设方程两边同时对自变量x求导求导, , 得得解得解得求由方程求由方程所确定的函数所确定的函数1ln yxy在点在点处的切线方程处的切线方程. .)(xfy )1 , 1(M01 yyxyy12 xyyy在点在点
5、处处)1 , 1(M1111211 yxy21 于是于是, , 在点在点处的切线方程为处的切线方程为)1 , 1(M)1(211 xy即即. 032 yx2022年6月6日星期一10对数求导法对数求导法1.方法方法:2. .适用范围适用范围: :先在 两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出y的导数.)(xfy 适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数.例如幂指函数:)0)()()( xuxuyxvuuvuvyy ln1 )()()()(ln)()( )(xuxuxvxuxvxuyxv 所所以以uvylnln 先先两两端端取取对对数数两端对两端对x求导:求导:2022年6月6日星期一11例
6、例.解解.),0(sinyxxyx求设等式两边取对数得xxylnsinln求导得两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx)1sinln(cos )ln(sin)(lnsinlnsinlnsinxxxxexxeeyxxxxxx)sinln(cossinxxxxxx也可这样求:2022年6月6日星期一12例例.解解等式两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy求导得上式两边对x4131)2(11121xxxxyy.,)4)(3()2)(1(yxxxxy求设4131)2(111)4)(3()2)(1(
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