量子力学作业解答00课件.ppt

1、1. 某金属产生光电效应的极限波长为某金属产生光电效应的极限波长为0；现以波长为；现以波长为( 0)的单色光照射该金属的单色光照射该金属, 金属释放出的电子金属释放出的电子 (质质量为量为me)的动量大小为多少？的动量大小为多少？解：解：由于金属产生光电效应的极限波长为由于金属产生光电效应的极限波长为0 0所以，所以，0hcA 当以波长为当以波长为( 0)的单色光照射该金属时的单色光照射该金属时= +khcA E 202=+ehchcpm2011=()epm hc3. 粒子在一维无限深势阱中运动，势阱如下粒子在一维无限深势阱中运动，势阱如下0,( )=,xaU xxa求粒子的能量和波函数。求粒

2、子的能量和波函数。2. 一自由粒子的质量为一自由粒子的质量为m、动能为、动能为Ek，与该粒子相联系，与该粒子相联系的德布罗意波长的德布罗意波长 为多少？为多少？解：解：2=khppmE 2=khmE 解：解： 在势阱内体系所满足的定态薛定谔方程为2222=,dExam dx 为简单起见，引入符号22=mEk于是上式方程可化为2220+=dkdx 它的通解为= sin+ cosAkx Bkx 波函数在x=-a和x=a处连续，可得00()=sin+ cos=( ) =sin+ cos=aAka BkaaAka Bka 00sin=cos=AkaBkaA和B不能同时为零，否则波函数处处为零，无意义。

3、于是可得100200( )= , cos=( )= ,sin=AkaBka=,2ka nn取奇数= .2 ka nn， 取偶数由此可得12 32=,= , ,ka nn 222=mEnkaa 22228=nnEma 将两组解分别代入波函数可得到两组波函数100( )= , cos=Akacos,2=0,nnBx nx aaxa为奇数，200( )= ,sin=Bkasin,2=0,nnAx nx aaxa为偶数，cos,2=0,nnBx nx aaxa为奇数，sin,2=0,nnAx nx aaxa为偶数，上面两个式子可以合并为一个式子sin( + )2=0,nnAx axaaxa，通过归一化

4、可求得1=Aa4. 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置（即求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置（即几率密度最大处几率密度最大处x的值）的值）解：解：一维谐振子第一激发态的波函数为221212( )=xxxe其几率密度为22222132222=xxPxex e223232=(22)xdPxx edx=01=0 x或即几率最大的位置。5.5.一维运动的粒子处于一维运动的粒子处于-,0( )=0,0，求：，求：（1）归一化因子）归一化因子A；（；（2）粒子的几率密度；）粒子的几率密度；（3）粒子出现在何处的几率最大？）粒子出现在何处的几率最大？解：解： （1）+2-01=xAxedx+

5、22-20=xAx edx利用+-1 -0( )=txtx e dx( +1)= !nn上式，令：y=2x，则2+2-y301=8Ay e dy+-1 -0( )=txtx e dx23=(3)8A231=2!8A32=2A（2）2( )Px22-2=xA x e32-2=4xx e（3）3-2=8(1)xdPexxdx=01=0 x或或即几率最大的位置6. 6. 证明在定态中，几率流密度与时间无关。证明在定态中，几率流密度与时间无关。证明：证明： 定态波函数可写为-( , )= ( )Eitr tr e( , )=( )Eitr tr e=()2i =()2iJ 几率流密度7.7.试用证明判

6、断下列算符中哪些是厄米算符？试用证明判断下列算符中哪些是厄米算符？2222,ddddiidxdx dxdx证明：证明： （1）设1和2为任意波函数+12-dddx+21-=ddydzdxdx+1122-=ddydzdxdx +12-=()dddx不是厄米算符（3）设1和2为任意波函数2+122-dddx2+212-=ddydzdxdx+2211-=ddddydzdxdxdxdx+21-=()dddydzdxdxdx+12-=dddydzdxdxdx+2+11222-=dddydzdxddx+2+11222-=dddydzdxddx2+122-=ddydzdxdx2+122-=()ddxdx是厄

7、米算符8. 在一维无限深势阱中运动的粒子质量为在一维无限深势阱中运动的粒子质量为m，势阱的宽度，势阱的宽度为为a，如果粒子的状态由波函数，如果粒子的状态由波函数描写，描写，A为归一化常数，求粒子能量的平均值。为归一化常数，求粒子能量的平均值。( )=()xAx ax解：解：对波函数归一化，有201=( )axdx2220=()aA x ax dx25=30A a530=Aa能量的平均值为2220=()2adEdxm dx22220=() ()2adA x axx ax dxmdx2220=()2adEdxm dx25030=()2ax ax dxm a225=ma9. 设氢原子处于状态2110211-113( , , )=( )( , )( )( , )22rRr YRr Y 求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：解：=2, =1, =0,-1nlm4422222222001=322128eeE 2()=1p E能量42220=128eE 角动量平方22= ( +1)Ll l22=2L22=2L2()=1p L角动量z分量=zLm=0zL或2110211-113( , , )=( )( , )( )( , )22rRr YRr Y 1(=0)=2zp L2143(=- )=2zp L234133=0+()=444zL