测量学第五章测量误差的基本知识课件.ppt
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- 测量学 第五 测量误差 基本知识 课件
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1、第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.1 5.1 测量误差概述测量误差概述5.2 5.2 偶然误差的统计特征偶然误差的统计特征5.3 5.3 观测值的最或然值及改正数。观测值的最或然值及改正数。5.4 5.4 观测值的精度评定观测值的精度评定5.5 5.5 误差传播定律误差传播定律5.6 5.6 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差5.7 5.7 最小二乘原理与测量平差最小二乘原理与测量平差5.1测量误差概述v定义定义对于某个观测量,观测值与理论值之间的差值称为测量误差。v特点特点1)1)测量的过程中始终伴随着误差;测量的过程中始终伴随着误差;2)2)测量误差可以通过一定的
2、方法得到减小,测量误差可以通过一定的方法得到减小,但无法消除;但无法消除;3)3)误差误差错误。错误。5.1测量误差概述(1 1)测量误差产生的原因)测量误差产生的原因v仪器的误差仪器的误差v人的原因产生的误差人的原因产生的误差v外界环境的影响外界环境的影响5.1测量误差概述v(2 2)测量误差的分类)测量误差的分类根据产生的原因和对观测结果影响性质根据产生的原因和对观测结果影响性质的不同,测量误差分为的不同,测量误差分为系统误差系统误差和和偶然偶然误差误差5.1测量误差概述v系统误差系统误差在相同的观测条件下,对某一个观测量进行一系列的在相同的观测条件下,对某一个观测量进行一系列的观测,如果
3、出现的误差在符号和数值上都相等,或按观测,如果出现的误差在符号和数值上都相等,或按一定的规律变化,则称为一定的规律变化,则称为“系统误差系统误差”。v偶然误差偶然误差在相同的观测条件下,对某量进行一系列观测,如果在相同的观测条件下,对某量进行一系列观测,如果误差出现的符号和数值大小都不相同,从表面上看也误差出现的符号和数值大小都不相同,从表面上看也没有一定的规律性,则称为没有一定的规律性,则称为“偶然误差偶然误差”。5.1测量误差概述(3 3)测量误差的处理原则)测量误差的处理原则v对于系统误差,采用高精度的测量仪器和数学模型改正的方法v对于偶然误差,采用多次测量取平均值的方法v另外为防止错误
4、和提高观测精度,均需要进行多余必要观测数的“多余观测”。不精密(随机误差大)不精密(随机误差大) 准确(系统误差小)准确(系统误差小)不精密(随机误差大)不精密(随机误差大)不准确(系统误差大)不准确(系统误差大)精密(随机误差小)精密(随机误差小)准确(系统误差小)准确(系统误差小)精密(随机误差小)精密(随机误差小)不准确(系统误差大不准确(系统误差大)5.2 偶然误差的统计特征v测量误差理论主要讨论具有偶然误差的一系列观测值中如何求得最可靠的结果(称为最或然值或估值)和评定观测成果的精度。5.2 偶然误差的统计特征1212niX,nn, , ,nil llXl 设某一量的为对此量进行了
5、次观测,得到个观测值为:则每次观测中产生的偶然误差(“真误差”)为: , ,定义:真值研究研究的分布规律的分布规律偶然误差的分布规律真误差的频率直方图偶然误差的特性v在一定条件下的有限次观测中,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值;v绝对值较小的误差出现的频率较大,绝对值大的出现的频率小;v绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率v当观测次数无限增大时,偶然误差的理论平均值趋于零。 0limlim21nnnnn偶然误差的特性:一个变量一个变量,若其取值随着试若其取值随着试验的结果的变化而变化,即其取值具有验的结果的变化而变化,即其取值具有随机性,且随机性,且能事先知道它的所有可能能事先知道它的所
6、有可能取值,取值,不能事先确定它将要取哪一个不能事先确定它将要取哪一个值;则称这个变量为值;则称这个变量为随机变量。随机变量。偶然误差的统计特性v当误差的个数逐渐增大,同时又无限缩小误差当误差的个数逐渐增大,同时又无限缩小误差的区间时,则频率直方图的边界为概率统计中的区间时,则频率直方图的边界为概率统计中的的“正态分布曲线正态分布曲线”偶然误差的统计特性 nnnEefnnnn222222122021)(22limlimlim标准差:方差:)(其数学期望:数:正态分布的概率密度函评定精度的标准中误差v定义定义nnmn22221n引入中误差中误差的原因:由于方差方差(数学概念)要求观测值个数趋于无
7、穷,因而在工程测量中引进中误差的概念。 nnnnn2222212limlim方差:评定精度的标准相对误差v相对误差相对误差是观测值的中误差与观测值之比,是观测值的中误差与观测值之比,常用来表示距离测量的精度。一般用分母常用来表示距离测量的精度。一般用分母为为1 1的分数来表示。的分数来表示。1/10001mm,m则相对误差为:的距离,测量的误差为若测量1n相对误差相对误差的数值修约规则:如某长度为738.5的边测量误差为0.15m,则其相对精度为:0.15/738.5=1/4923=1/49001/4999=1/4900 x评定精度的标准评定精度的标准极限误差极限误差评定精度的标准极限误差v由
8、于正态分布观测值出现由于正态分布观测值出现 2 2倍以上中误倍以上中误差的概率很小,因此一般选用差的概率很小,因此一般选用2 2倍中误倍中误差作为差作为“极限误差极限误差”或称为或称为“允许误允许误差差”。用来作为衡量某个观测值是否含。用来作为衡量某个观测值是否含有粗差的标准。有粗差的标准。5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数v观测值观测值最或然值定义定义在大多数条件下,观测值的在大多数条件下,观测值的真值不是已知不是已知的,测量就是要通过大量的多余观测计算的,测量就是要通过大量的多余观测计算出观测值的最或然值。因此最或然值就是出观测值的最或然值。因此最或然值就是在一定的观测条件下与真值最
9、接近的值。在一定的观测条件下与真值最接近的值。一般用以下的两个符号来表示真值和最或一般用以下的两个符号来表示真值和最或然值。然值。XX最或然值:真值:5.3 5.3 观测值的最或然值及观测值的最或然值及观测值的改正数观测值的改正数 .lim0,22112121nlXnlXnnlXlXlXlllXnnnnn从而有:误差的特性,得到趋于无穷时,根据偶然当观测次数得到:将上式相加,并除以则:,其相应的真误差为:,各次观测值为:设某一量的真值为nlimnn5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数nlnlllXnlXnnlim21即:作为该量的最或然值。限观测量的算术平均值观测,因而把有对某一个量进行无
10、数次而实际测量中,不可能趋于该量的真值。,观测值的算术平均值当观测次数无限增大时的含义:5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数02211lnlnlXnvlXvlXvlXvlXvvnniin次的某观测量:对于观测了即:然值与观测值的差值,观测值的改正数是最或)的定义:观测值的改正数(5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数v 观测值改正数的特点:观测值改正数的特点:1)1) 一组观测值取算术平均值作为其最或一组观测值取算术平均值作为其最或然值之后,其改正值之和恒等于零然值之后,其改正值之和恒等于零; ;2)2) 以算术平均值为最或然值满足最小二以算术平均值为最或然值满足最小二乘原则乘原则(vv
11、=min);(vv=min);3)3) 观测值改正数与真误差是有区别的。观测值改正数与真误差是有区别的。iiilXlXvi真误差:改正数:5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数v取算术平均值作为最或然值,满足取算术平均值作为最或然值,满足最小二乘法的证明:最小二乘法的证明:nlXlXnlXXdvvdXliXvvniini0)(2)(2min)( 121求导:以此为条件对nnlXvlXvlXv22115.4 观测值的精度评定v问题:怎样用改正数问题:怎样用改正数v v来计算中误差?来计算中误差?nnmn22221n表示观测值的精度的指标:中误差中误差,比例误差,极限误差n回顾:回顾:中误差的定
12、义5.4 观测值的精度评定)(得:,并顾及将上列各式平方后相加)(得:及将上列各式相加,并顾减,得:将上列左右两式分别相20,10,n)XXn(vvvXXnvXXvXXvXXvlXvlXlXvlXlXvlXnnnnn)()()()(,221122221111112()(2)()(122131212222212222221nvvmnvvnnvvnnnnnXXnXXnnnn即:)中得到:代入到(趋于无穷时)当两边平方:)得:由(n-5.4 观测值的精度评定1nvvm已知观测值的改正数求中误差,适已知观测值的改正数求中误差,适用于绝大多数情况。用于绝大多数情况。nm已知观测值的真误差求中误差,适已知
13、观测值的真误差求中误差,适用的情况比较少。用的情况比较少。iiilXlXvi真误差:改正数:5.5 误差传播定律v1 1 直接观测量和间接观测量直接观测量和间接观测量如圆的直径和面积如圆的直径和面积v2 2 误差传播率的定义:误差传播率的定义:在测量工作中,有一些需要知道的量并非在测量工作中,有一些需要知道的量并非直接观测量,而是由直接观测量通过一定直接观测量,而是由直接观测量通过一定的函数关系计算而得到,由于直接观测量的函数关系计算而得到,由于直接观测量包含误差,因而函数会受其影响也包含一包含误差,因而函数会受其影响也包含一定的误差,称之为误差传播。定的误差,称之为误差传播。S=D2/4直接
14、观测量,直接观测量,有误差有误差有误差有误差5.5 误差传播定律v(1 1)和差函数的误差传播率)和差函数的误差传播率2222121221121222121211122121221121210 2,xxyynnyyyyymmmnnnnXXXXYXXYxxyy,趋于由偶然误差的性质,得到:除以将格式平方后再相加并)()()()()()()()()(次,则有:观测了若直接观测值从而有:由于)()(nnn15.5 误差传播定律v(2 2)倍函数的误差传播率)倍函数的误差传播率222222112,xyynyyyyymkmnknkkkXXkXkYkxyy,得到:除以将格式平方后再相加并)()()(次,则
15、有:观测了若直接观测值从而有:)(nnn15.5 误差传播定律v(3 3)线性函数的中误差)线性函数的中误差222222212, 1,22222112221122222112112211112221122211122112112,)()(nyxnxxjijnjijiinnnyynnynnynnynnynnnynnmkmkmkmnkknknknknkkkkkkkkkXXkkkXkXkXkYxkxkxky,得到:除以将格式平方后再相加并)()()()()()()()()()()()(次,则有:观测了若直接观测值从而有:)(nnnnnn15.5 误差传播定律v(4 4)一般函数的误差传播律:)一般函
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