高考数学真题解析13年理科KB单元函数与导数.DOC
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1、B单元 函数与导数 B1函数及其表示21B1,B122013江西卷 已知函数f(x)a,a为常数且a0.(1)证明:函数f(x)的图像关于直线x对称;(2)若x0满足f(f(x0)x0,但f(x0)x0,则称x0为函数f(x)的二阶周期点如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围;(3)对于(2)中的x1,x2和a,设x3为函数 f(f(x)的最大值点,A(x1,f(f(x1),B(x2,f(f(x2),C(x3,0)记ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性解:(1)证明:因为fa(12|x|),fa(12|x|),有ff,所以函数f(x)的图像关于直线x对称(2)当0a
2、时,有f(f(x)所以f(f(x)x有四个解0,又f(0)0,f,f,f,故只有,是f(x)的二阶周期点综上所述,所求a的取值范围为a.(3)由(2)得x1,x2,因为x3为函数f(f(x)的最大值点,所以x3,或x3.当x3时,S(a),求导得:S(a).所以当a时,S(a)单调递增,当a时S(a)单调递减;当x3时,S(a),求导得:S(a);因a,从而有S(a)0,所以当a时S(a)单调递增13B1,B112013江西卷 设函数f(x)在(0,)内可导,且f(ex)xex,则f(1)_132解析 f(ex)xex,利用换元法可得f(x)ln xx,f(x)1,所以f(1)2.10B1,B
3、82013江西卷 如图13所示,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,ll1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点设弧FG的长为x(0x0,得x0,1),故选B.11B12013辽宁卷 已知函数f(x)x22(a2)xa2,g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)max,H2(x)min(max表示p,q中的较大值,min表示p,q中的较小值)记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则AB()A16 B16Ca22a16 Da22a1611B解析 由题意知当f(x)g(x)时,即x22(a2)xa2x22(a2)xa28,整理得x2
4、2axa240,所以xa2或xa2,所以H1(x)maxf(x),g(x)H2(x)minf(x),g(x)由图形(图形略)可知,AH1(x)min4a4,BH2(x)max124a,则AB16.故选B.4B12013全国卷 已知函数f(x)的定义域为(1,0),则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B.C(1,0) D.4B解析 对于f(2x1),12x10,解得1x0时,ff(x)表达式的展开式中常数项为()A20 B20 C15 D158A解析 由已知表达式可得:ff(x)6,展开式的通项为Tr1C6r()rC(1)rxr3,令r30,可得r3,所以常数项为T4C20.7B1,B
5、3,B122013四川卷 函数y的图像大致是()图157C解析 函数的定义域是xR|x0,排除选项A;当x0时,x30,3x10,排除选项B;当x时,y0且y0,故为选项C中的图像19B1,I2,K62013新课标全国卷 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图14所示,经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将T表示为X的函数;(2)根
6、据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X100,110),则取X105,且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率),求T的数学期望图1419解:(1)当X100,130)时,T500X300(130X)800X39 000.当X130,150时,T50013065 000.所以T(2)由(1)知利润T不少于57 000元,当且仅当120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000
7、元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以E(T)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.B2反函数5B22013全国卷 函数f(x)log2(x0)的反函数f1(x)()A.(x0) B.(x0) C2x1(xR) D2x1(x0) 5A解析 令ylog2,则y0,且12y,解得x,交换x,y得f1(x)(x0)B3函数的单调性与最值21B3,B9,B122013四川卷 已知函数f(x)其中a是实数设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)为该函数图像上
8、的两点,且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图像在点A,B处的切线互相垂直,且x20,求x2x1的最小值;(3)若函数f(x)的图像在点A,B处的切线重合,求a的取值范围21解:(1)函数f(x)的单调递减区间为(,1),单调递增区间为1,0),(0,)(2)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f(x1),点B处的切线斜率为f(x2),故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f(x1)f(x2)1.当x0时,对函数f(x)求导,得f(x)2x2.因为x1x20,所以,(2x12)(2x22)1,所以2x120.因此x2x1(2x12)2x221,当且仅当(2
9、x12)2x221,即x1且x2时等号成立所以,函数f(x)的图像在点A,B处的切线互相垂直时,x2x1的最小值为1.(3)当x1x2x10时,f(x1)f(x2),故x10x2.当x10时,函数f(x)的图像在点(x2,f(x2)处的切线方程为yln x2(xx2),即yxln x21.两切线重合的充要条件是由及x10x2,知1x10.由得,axln1xln(2x12)1.设h(x1)xln(2x12)1(1x10),则h(x1)2x10.所以,h(x1)(1x1h(0)ln 21,所以aln 21.又当x1(1,0)且趋近于1时,h(x1)无限增大,所以a的取值范围是(ln 21,)故当函
10、数f(x)的图像在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(ln 21,)10B3,B122013四川卷 设函数f(x)(aR,e为自然对数的底数)若曲线ysinx上存在(x0,y0)使得f(f(y0)y0,则a的取值范围是()A1,e Be11,1C1,e1 De11,e110A解析 因为y0sin x01,1,且f(x)在1,1上(有意义时)是增函数,对于y01,1,如果f(y0)cy0,则f(f(y0)f(c)f(y0)cy0,不可能有f(f(y0)y0.同理,当f(y0)dy0时,则f(f(y0)f(d)f(y0)dy0,也不可能有f(f(y0)y0,因此必有f(y0)y0,即方程f(x
11、)x在1,1上有解,即x在1,1上有解显然,当x0时,方程无解,即需要x在0,1上有解当x0时,两边平方得exxax2,故aexx2x.记g(x)exx2x,则g(x)ex2x1.当x时,ex0,2x10,故g(x)0,当x时,ex1,02x11,故g(x)0.综上,g(x)在x0,1上恒大于0,所以g(x)在0,1上为增函数,值域为1,e,从而a的取值范围是1,e7B1,B3,B122013四川卷 函数y的图像大致是()图157C解析 函数的定义域是xR|x0,排除选项A;当x0时,x30,3x10,排除选项B;当x时,y0且y0,故为选项C中的图像10B3,B5,B8,B122013新课标
12、全国卷 已知函数f(x)x3ax2bxc,下列结论中错误的是()Ax0R,f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(,x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点,则f(x0)010C解析 x 时,f(x)0,f(x) 连续,x0R ,f(x0)0,A正确;通过平移变换,函数可以化为f(x)x3c ,从而函数yf(x)的图像是中心对称图形,B正确; 若x0是f(x)的极小值点,可能还有极大值点x1 ,则f(x)在区间(x1 ,x0)单调递减C错误D正确故答案为C.B4函数的奇偶性与周期性2B42013广东卷 定义域为R的四个函数yx3,y2x,
13、yx21,y2 sin x中,奇函数的个数是()A4 B3 C2 D12C解析 函数yx3,y2sin x是奇函数11B42013江苏卷 已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时,f(x)x24x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为_11(5,0)(5,)解析 设x0.因为f(x)是奇函数,所以f(x)f(x)(x24x)又f(0)0,于是不等式f(x)x等价于或解得x5或5x0时,f(x)x2,则f(1)()A2 B0 C1 D23A解析 f为奇函数,ff(1)2.14B4,E32013四川卷 已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)x24x,那么,不等式f(x2)5的解集是_
14、14(7,3)解析 当x20时,f(x2)(x2)24(x2)x24,由f(x2)5,得x245,即x29,解得3x3,又x20,故2x3为所求又因为f(x)为偶函数,故f(x2)的图像关于直线x2对称,于是7x2也满足不等式(注:本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)B5二次函数4A2、B52013安徽卷 “a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0,)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4C解析 f(x)|(ax1)x|ax2x|,若a0,则f(x)|x|,此时f(x)在区间(0,)上单调递增;若a0,则二次函数yax2x的对称
15、轴x0,且x0时y0,此时yax2x在区间(0,)上单调递减且y0,则二次函数yax2x的对称轴x0,且在区间0,上y1ln 425g(x)x24x5215可知它们有2个交点,选B.10B3,B5,B8,B122013新课标全国卷 已知函数f(x)x3ax2bxc,下列结论中错误的是()Ax0R,f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(,x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点,则f(x0)010C解析 x 时,f(x)0,f(x) 连续,x0R ,f(x0)0,A正确;通过平移变换,函数可以化为f(x)x3c ,从而函数yf(x)的图像
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