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类型高考数学真题解析13年理科KB单元函数与导数.DOC

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  • 上传时间:2020-02-23
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    关 键  词:
    高考 数学 题解 13 理科 KB 单元 函数 导数 下载 _真题分类汇编_高考专区_数学_高中
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    1、B单元 函数与导数 B1函数及其表示21B1,B122013江西卷 已知函数f(x)a,a为常数且a0.(1)证明:函数f(x)的图像关于直线x对称;(2)若x0满足f(f(x0)x0,但f(x0)x0,则称x0为函数f(x)的二阶周期点如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围;(3)对于(2)中的x1,x2和a,设x3为函数 f(f(x)的最大值点,A(x1,f(f(x1),B(x2,f(f(x2),C(x3,0)记ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性解:(1)证明:因为fa(12|x|),fa(12|x|),有ff,所以函数f(x)的图像关于直线x对称(2)当0a

    2、时,有f(f(x)所以f(f(x)x有四个解0,又f(0)0,f,f,f,故只有,是f(x)的二阶周期点综上所述,所求a的取值范围为a.(3)由(2)得x1,x2,因为x3为函数f(f(x)的最大值点,所以x3,或x3.当x3时,S(a),求导得:S(a).所以当a时,S(a)单调递增,当a时S(a)单调递减;当x3时,S(a),求导得:S(a);因a,从而有S(a)0,所以当a时S(a)单调递增13B1,B112013江西卷 设函数f(x)在(0,)内可导,且f(ex)xex,则f(1)_132解析 f(ex)xex,利用换元法可得f(x)ln xx,f(x)1,所以f(1)2.10B1,B

    3、82013江西卷 如图13所示,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,ll1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点设弧FG的长为x(0x0,得x0,1),故选B.11B12013辽宁卷 已知函数f(x)x22(a2)xa2,g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)max,H2(x)min(max表示p,q中的较大值,min表示p,q中的较小值)记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则AB()A16 B16Ca22a16 Da22a1611B解析 由题意知当f(x)g(x)时,即x22(a2)xa2x22(a2)xa28,整理得x2

    4、2axa240,所以xa2或xa2,所以H1(x)maxf(x),g(x)H2(x)minf(x),g(x)由图形(图形略)可知,AH1(x)min4a4,BH2(x)max124a,则AB16.故选B.4B12013全国卷 已知函数f(x)的定义域为(1,0),则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B.C(1,0) D.4B解析 对于f(2x1),12x10,解得1x0时,ff(x)表达式的展开式中常数项为()A20 B20 C15 D158A解析 由已知表达式可得:ff(x)6,展开式的通项为Tr1C6r()rC(1)rxr3,令r30,可得r3,所以常数项为T4C20.7B1,B

    5、3,B122013四川卷 函数y的图像大致是()图157C解析 函数的定义域是xR|x0,排除选项A;当x0时,x30,3x10,排除选项B;当x时,y0且y0,故为选项C中的图像19B1,I2,K62013新课标全国卷 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图14所示,经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将T表示为X的函数;(2)根

    6、据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X100,110),则取X105,且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率),求T的数学期望图1419解:(1)当X100,130)时,T500X300(130X)800X39 000.当X130,150时,T50013065 000.所以T(2)由(1)知利润T不少于57 000元,当且仅当120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000

    7、元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以E(T)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.B2反函数5B22013全国卷 函数f(x)log2(x0)的反函数f1(x)()A.(x0) B.(x0) C2x1(xR) D2x1(x0) 5A解析 令ylog2,则y0,且12y,解得x,交换x,y得f1(x)(x0)B3函数的单调性与最值21B3,B9,B122013四川卷 已知函数f(x)其中a是实数设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)为该函数图像上

    8、的两点,且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图像在点A,B处的切线互相垂直,且x20,求x2x1的最小值;(3)若函数f(x)的图像在点A,B处的切线重合,求a的取值范围21解:(1)函数f(x)的单调递减区间为(,1),单调递增区间为1,0),(0,)(2)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f(x1),点B处的切线斜率为f(x2),故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f(x1)f(x2)1.当x0时,对函数f(x)求导,得f(x)2x2.因为x1x20,所以,(2x12)(2x22)1,所以2x120.因此x2x1(2x12)2x221,当且仅当(2

    9、x12)2x221,即x1且x2时等号成立所以,函数f(x)的图像在点A,B处的切线互相垂直时,x2x1的最小值为1.(3)当x1x2x10时,f(x1)f(x2),故x10x2.当x10时,函数f(x)的图像在点(x2,f(x2)处的切线方程为yln x2(xx2),即yxln x21.两切线重合的充要条件是由及x10x2,知1x10.由得,axln1xln(2x12)1.设h(x1)xln(2x12)1(1x10),则h(x1)2x10.所以,h(x1)(1x1h(0)ln 21,所以aln 21.又当x1(1,0)且趋近于1时,h(x1)无限增大,所以a的取值范围是(ln 21,)故当函

    10、数f(x)的图像在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(ln 21,)10B3,B122013四川卷 设函数f(x)(aR,e为自然对数的底数)若曲线ysinx上存在(x0,y0)使得f(f(y0)y0,则a的取值范围是()A1,e Be11,1C1,e1 De11,e110A解析 因为y0sin x01,1,且f(x)在1,1上(有意义时)是增函数,对于y01,1,如果f(y0)cy0,则f(f(y0)f(c)f(y0)cy0,不可能有f(f(y0)y0.同理,当f(y0)dy0时,则f(f(y0)f(d)f(y0)dy0,也不可能有f(f(y0)y0,因此必有f(y0)y0,即方程f(x

    11、)x在1,1上有解,即x在1,1上有解显然,当x0时,方程无解,即需要x在0,1上有解当x0时,两边平方得exxax2,故aexx2x.记g(x)exx2x,则g(x)ex2x1.当x时,ex0,2x10,故g(x)0,当x时,ex1,02x11,故g(x)0.综上,g(x)在x0,1上恒大于0,所以g(x)在0,1上为增函数,值域为1,e,从而a的取值范围是1,e7B1,B3,B122013四川卷 函数y的图像大致是()图157C解析 函数的定义域是xR|x0,排除选项A;当x0时,x30,3x10,排除选项B;当x时,y0且y0,故为选项C中的图像10B3,B5,B8,B122013新课标

    12、全国卷 已知函数f(x)x3ax2bxc,下列结论中错误的是()Ax0R,f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(,x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点,则f(x0)010C解析 x 时,f(x)0,f(x) 连续,x0R ,f(x0)0,A正确;通过平移变换,函数可以化为f(x)x3c ,从而函数yf(x)的图像是中心对称图形,B正确; 若x0是f(x)的极小值点,可能还有极大值点x1 ,则f(x)在区间(x1 ,x0)单调递减C错误D正确故答案为C.B4函数的奇偶性与周期性2B42013广东卷 定义域为R的四个函数yx3,y2x,

    13、yx21,y2 sin x中,奇函数的个数是()A4 B3 C2 D12C解析 函数yx3,y2sin x是奇函数11B42013江苏卷 已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时,f(x)x24x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为_11(5,0)(5,)解析 设x0.因为f(x)是奇函数,所以f(x)f(x)(x24x)又f(0)0,于是不等式f(x)x等价于或解得x5或5x0时,f(x)x2,则f(1)()A2 B0 C1 D23A解析 f为奇函数,ff(1)2.14B4,E32013四川卷 已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)x24x,那么,不等式f(x2)5的解集是_

    14、14(7,3)解析 当x20时,f(x2)(x2)24(x2)x24,由f(x2)5,得x245,即x29,解得3x3,又x20,故2x3为所求又因为f(x)为偶函数,故f(x2)的图像关于直线x2对称,于是7x2也满足不等式(注:本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)B5二次函数4A2、B52013安徽卷 “a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0,)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4C解析 f(x)|(ax1)x|ax2x|,若a0,则f(x)|x|,此时f(x)在区间(0,)上单调递增;若a0,则二次函数yax2x的对称

    15、轴x0,且x0时y0,此时yax2x在区间(0,)上单调递减且y0,则二次函数yax2x的对称轴x0,且在区间0,上y1ln 425g(x)x24x5215可知它们有2个交点,选B.10B3,B5,B8,B122013新课标全国卷 已知函数f(x)x3ax2bxc,下列结论中错误的是()Ax0R,f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(,x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点,则f(x0)010C解析 x 时,f(x)0,f(x) 连续,x0R ,f(x0)0,A正确;通过平移变换,函数可以化为f(x)x3c ,从而函数yf(x)的图像

    16、是中心对称图形,B正确; 若x0是f(x)的极小值点,可能还有极大值点x1 ,则f(x)在区间(x1 ,x0)单调递减C错误D正确故答案为C.B6指数与指数函数6E3、B6、B72013安徽卷 已知一元二次不等式f(x)0的解集为x)x,则f(10x)0的解集为()Ax|xlg 2 Bx|1xlg 2 Dx|x0的解是1x,故110x,解得xa0,cb0.(1)记集合M(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且ab,则(a,b,c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_;(2)若a,b,c是ABC的三条边长,则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)x(,1),f(x)0;

    17、xR,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;若ABC为钝角三角形,则x(1,2),使f(x)0.16(1)x|0a0,cb0,故ab2ac,令f(x)2axcx0,即f(x)cx0,故可知,又0,结合指数函数性质可知0x1,即取值集合为x|0a0,cb0,则01,0,所以,又a,b,c为三角形三边,则定有abc,故对x(,1),10,即f(x)axbxcxcx0,故正确;取x2,则,取x3,则,由此递推,必然存在xn时,有1,即anbn0,f(2)a2b2c20(C为钝角),根据零点存在性定理可知,x(1,2),使f(x)0,故正确故填.3B6,B72013浙江卷 已知x,y为正实数

    18、,则()A2lg xlg y2lg x2lg y B2lg(xy)2lg x2lg yC2lg xlg y2lg x2lg y D2lg(xy)2lg x2lg y3D解析 lg(xy)lg xlg y,2lg(xy)2lg xlg y2lgx2lgy,故选择D.B7对数与指数函数6E3、B6、B72013安徽卷 已知一元二次不等式f(x)0的解集为x)x,则f(10x)0的解集为()Ax|xlg 2 Bx|1xlg 2 Dx|x0的解是1x,故110x,解得x0,b0,则ln(ab)blna;若a0,b0,则ln(ab)lnalnb;若a0,b0,则lnlnalnb;若a0,b0,则ln(a

    19、b)lnalnbln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)16解析 中,当ab1时,b0,a1,ln(ab)ln abbln ablna;当0ab0,0a1,ln(ab)blna0,正确;中,当0ab1时,左边ln(ab)0,右边lnalnbln a0ln a0,不成立;中,当1,即ab时,左边0,右边lnalnb0,左边右边成立;当1时,左边lnln aln b0,若ab1时,右边ln aln b,左边右边成立;若0ba1b0,左边lnln aln bln a,右边ln a,左边右边成立,正确;中,若0ab0,左边右边;若ab1,lnln 2lnln 2ln,又a或b,a,b至少有1

    20、个大于1,lnln a或lnln b,即有lnln 2lnln 2lnlnalnb,正确8B7,E12013新课标全国卷 设alog36,blog510,clog714,则()Acba BbcaCacb Dabc8D解析 ablog36log510(1log32)(1log52)log32log520,bclog510log714(1log52)(1log72)log52log720,所以abc,选D.3B6,B72013浙江卷 已知x,y为正实数,则()A2lg xlg y2lg x2lg y B2lg(xy)2lg x2lg yC2lg xlg y2lg x2lg y D2lg(xy)2l

    21、g x2lg y3D解析 lg(xy)lg xlg y,2lg(xy)2lg xlg y2lgx2lgy,故选择D.B8幂函数与函数的图像5B82013北京卷 函数f(x)的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线yex关于y轴对称,则f(x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex15D解析 依题意,f(x)向右平移一个单位长度得到f(x1)的图像,又yex的图像关于y轴对称的图像的解析式为yex,所以f(x1)ex,所以f(x)ex1.10B1,B82013江西卷 如图13所示,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,ll1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两

    22、边相交于E,D两点设弧FG的长为x(0x),yEBBCCD,若l从l1平行移动到l2,则函数yf(x)的图像大致是()图13图1410D解析 设l,l2距离为t,cos x2t21,得t.ABC的边长为,得BE(1t),则y2BEBC2(1t)2,当x(0,)时,非线性单调递增,排除A,B,求证x的情况可知选D.10B3,B5,B8,B122013新课标全国卷 已知函数f(x)x3ax2bxc,下列结论中错误的是()Ax0R,f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(,x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点,则f(x0)010C解析 x

    23、时,f(x)0,f(x) 连续,x0R ,f(x0)0,A正确;通过平移变换,函数可以化为f(x)x3c ,从而函数yf(x)的图像是中心对称图形,B正确; 若x0是f(x)的极小值点,可能还有极大值点x1 ,则f(x)在区间(x1 ,x0)单调递减C错误D正确故答案为C.B9函数与方程11B9,B112013新课标全国卷 已知函数f(x)若|f(x)|ax,则a的取值范围是()A(,0 B(,1C2,1 D2,011D解析 方法一:若x0,|f(x)|x22x|x22x,x0时,不等式恒成立,x0时,不等式可变为ax2,而x20,|f(x)|ln(x1)|ln(x1),由ln(x1)ax,可

    24、得a恒成立,令h(x),则h(x),再令g(x)ln(x1),则g(x)0,故g(x)在(0,)上单调递减,所以g(x)g(0)0,可得h(x)0,a0.综上可知,2a0,故选D.方法二:数形结合:画出函数|f(x)|与直线yax的图像,如下图,要使|f(x)|ax恒成立,只要使直线yax的斜率最小时与函数yx22x,x0在原点处的切线斜率相等即可,最大时与x轴的斜率相等即可,因为y2x2,所以y|x02,所以2a0.10B9,B122013安徽卷 若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1,x2,且f(x1)x1,则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数是()A3 B4C5

    25、 D610A解析 因为f(x)3x22axb,3(f(x)22af(x)b0且3x22axb0的两根分别为x1,x2,所以f(x)x1或f(x)x2,当x1是极大值点时,f(x1)x1,x2为极小值点,且x2x1,如图(1)所示,可知方程f(x)x1有两个实根,f(x)x2有一个实根,故方程3(f(x)22af(x)b0共有3个不同实根;当x1是极小值点时,f(x1)x1,x2为极大值点,且x21ln 425g(x)x24x5215可知它们有2个交点,选B.21B9、B122013山东卷 设函数f(x)c(e2.718 28是自然对数的底数,cR)(1)求f(x)的单调区间、最大值;(2)讨论

    26、关于x的方程|ln x|f(x)根的个数21解:(1)f(x)(12x)e2x.由f(x)0,解得x,当x0,f(x)单调递增;当x时,f(x)0,则g(x)lnxxe2xc,所以g(x)e2x2x1.因为2x10,0,所以g(x)0.因此g(x)在(1,)上单调递增当x(0,1)时,lnx1x0,所以1.又2x11,所以2x10,即g(x)0,即ce2时,g(x)没有零点,故关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为0;当g(1)e2c0,即ce2时,g(x)只有一个零点,故关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为1;当g(1)e2ce2时,()当x(1,)时,由(1)知g(x)lnxxe2x

    27、clnxe1clnx1c,要使g(x)0,只需使lnx1c0,即x(e1c,);()当x(0,1)时,由(1)知g(x)lnxxe2xclnxe1clnx1c,要使g(x)0,只需lnx1c0,即x(0,e1c);所以ce2时,g(x)有两个零点,故关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为2.综上所述,当ce2时,关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为2.21B3,B9,B122013四川卷 已知函数f(x)其中a是实数设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)为该函数图像上的两点,且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图像在点A,B处的切线互相垂直,且x20

    28、,求x2x1的最小值;(3)若函数f(x)的图像在点A,B处的切线重合,求a的取值范围21解:(1)函数f(x)的单调递减区间为(,1),单调递增区间为1,0),(0,)(2)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f(x1),点B处的切线斜率为f(x2),故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f(x1)f(x2)1.当x0时,对函数f(x)求导,得f(x)2x2.因为x1x20,所以,(2x12)(2x22)1,所以2x120.因此x2x1(2x12)2x221,当且仅当(2x12)2x221,即x1且x2时等号成立所以,函数f(x)的图像在点A,B处的切线互相垂直时,x2x1的最小值为1

    29、.(3)当x1x2x10时,f(x1)f(x2),故x10x2.当x10时,函数f(x)的图像在点(x2,f(x2)处的切线方程为yln x2(xx2),即yxln x21.两切线重合的充要条件是由及x10x2,知1x10.由得,axln1xln(2x12)1.设h(x1)xln(2x12)1(1x10),则h(x1)2x10.所以,h(x1)(1x1h(0)ln 21,所以aln 21.又当x1(1,0)且趋近于1时,h(x1)无限增大,所以a的取值范围是(ln 21,)故当函数f(x)的图像在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(ln 21,)7B92013天津卷 函数f(x)2x|lo

    30、g0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D47B解析 f(x)2x|log0.5 x|1f(x)2xlog2x1在(0,1上递减且x接近于0时,f(x)接近于正无穷大,f(1)10,f(x)在(1,)上有一零点故f(x)共有2个零点B10函数模型及其应用10B102013陕西卷 设x表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有()Axx B2x2xCxyxy Dxyxy10D解析 可取特值x3.5,则x3.54,x3.53,故A错2x77,2x23.56,故B错再取y3.8,则xy7.37,而3.53.8336,故C错只有D正确6B102013重庆卷 若abc,则函数f(x)(xa)

    31、(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a,b)和(b,c)内 B(,a)和(a,b)内C(b,c)和(c,)内 D(,a)和(c,)内6A解析 因为f(a)(ab)(ac)0,f(b)(bc)(ba)0,f(c)(ca)(cb)0,所以f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,所以函数的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内,故选A.B11导数及其运算11B9,B112013新课标全国卷 已知函数f(x)若|f(x)|ax,则a的取值范围是()A(,0 B(,1C2,1 D2,011D解析 方法一:若x0,|f(x)|x22x|x22x,x0时,不等式恒成立,x0时,不等式可变为ax2,而x20,|f(x)|ln(x1)|ln(x1),由ln(x1)ax,可得a恒成立,令h(x),则h(x),再令g(x)ln(x1),则g(x)0,故g(x)在(0,)上单调递减,所以g(x)g(0)0,可得h(x)0,故h(x)在(0,)上单调递

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    本文标题:高考数学真题解析13年理科KB单元函数与导数.DOC
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