高等数学空间直线及其方程课件.ppt

1、 第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量就一条已知直线，这个向量就称为这条直线的称为这条直线的方向向量方向向量sL),( 0000zyxML过过点点设设直直线线M LzyxM ),(sMM0/),( pnms 其方向

2、向量其方向向量),(0000zzyyxxMM 二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程0M pzznyymxx000 令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数直线的参数方程直线的参数方程说明说明直线的三种形式方程之间可以互化。直线的三种形式方程之间可以互化。t 例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线 043201zyxzyx解解先求直线上的一点先求直线上的一点),(000zyx取取10 x 06302 0000zyzy则则解得解得 2000zy点点

3、)2, 0 , 1( 043201 000000zyxzyx即即为直线上一点为直线上一点.再求直线的方向向再求直线的方向向量量s1n2nL1 2 所给直线与两平面的法向量都垂直所给直线与两平面的法向量都垂直可取可取21nns 3 1 21 1 1 kji直线的对称式方程为直线的对称式方程为:)3, 1, 4( =1 x0 y2 z41 3 令令321041 zyx tztytx3241t 这就是直线的参数方程这就是直线的参数方程.解解交点为交点为),0, 3, 0( B取取BAs )4, 0, 2( 由对称式得，所求直线的方程为：由对称式得，所求直线的方程为：例例 2 2 一直线过点一直线过点

4、)4 , 3, 2( A，且和，且和y轴垂直相轴垂直相交，求其方程交，求其方程.轴垂直相交轴垂直相交所求直线与所求直线与 y=2 x3 y4 z204.062 241312: 3的交点的交点与平面与平面求直线求直线例例 zyxzyxL解解 令令 241312 zyx t tztytx2432代入平面的方程代入平面的方程062 zyx得：得：06)24()3()2(2 ttt即即055 t1 t 221zyx即交点即交点:)2 , 2 , 1(定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 即：两直线的方向向量的夹角（锐角）即：两直线的方向

5、向量的夹角（锐角）三、两直线的夹角三、两直线的夹角),(1111pnms ),(2222pnms 1L2L 1L2L 1s2s ),(21ss 1s2s ),(21ss coscos),(21ss cos ),(21ss cos ),(21ss cos ),(21ss | cos|),(21ss | cos|),(21ss|222222212121212121 pnmpnmppnnmm 两直线的夹角公式两直线的夹角公式 cos | cos|),(21ss222222212121212121|cospnmpnmppnnmm 即即两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL 0212121

6、ppnnmm21)2(LL/212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L),0, 4, 1(1 s),1 , 0 , 0(2 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为),(pnms ,1ns ,2ns 取取21nns kji134 的法向量垂直的法向量垂直和和所求直线与两平面所求直线与两平面152 34 zyxzx由对称式得，所求直线的方程为：由对称式得，所求直线的方程为：)5, 1, 2()4, 0 , 1( 5 1 24 0 1 kji)1, 3, 4( 153243 zyx即即=3 x2 y5 z3 1 4 解解

7、先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 , 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx它的方程为：它的方程为：代入平面方程得代入平面方程得 ：73 :, 0614 tt解得解得即即交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN)373, 1713, 272( )724,76,712( 74237617212 zyx0)3()121(2)231(3 ttt由对称式得，所求直线的方程为：由对称式得，所求直线的方程为：431122 zyx

8、即另解：另解：12131: 1 zyxL设直线设直线上上在直线在直线点点且且的方向向量的方向向量111 )0 , 1 , 1( ),1, 2 , 3( LAsL 又又 )3 , 0 , 3( AM)3 , 1 , 2(M1LL)0 , 1 , 1( A)1, 2 , 3(1 sN)3 , 1 , 2(M1LL)0 , 1 , 1( A)1, 2 , 3(1 sN的的平平面面的的方方程程为为：且且垂垂直直于于直直线线过过点点1LM0)3()1(2)2(3 zyx即即0523 zyx)3 , 1 , 2(M1LL)0 , 1 , 1( A)1, 2 , 3(1 sN令令1sAMn )1, 2 ,

9、3()3 , 0 , 3( 1 2 33 0 3 kjikji6126 )6,12,6( )3 , 1 , 2(M1LL)0 , 1 , 1( A)1, 2 , 3(1 sN: 1的平面的方程为的平面的方程为及直线及直线过点过点LM0)3(6)1(12)2(6 zyx即即032 zyx: 的方程为的方程为所求直线所求直线 L0523 zyx032 zyx 定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx),(pnms ),(CBAn 2),(ns 2),(ns四、直线与平

10、面的夹角四、直线与平面的夹角 0.2 或或sL222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm ),(sinsinns 2 | ),cos(|ns|222222pnmCBACpBnAm ),(sinsin ns 2 解解),2, 1, 1( n),2, 1, 2( s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角五、平面束五、平面束 00 :22221111DzCyBxADzCyBxA

11、L直线直线（1）（2）任给一数任给一数 （常数），（常数）， 得得0)(22221111 DzCyBxADzCyBxA （3）方程方程(3)表示：表示：过直线过直线 L 的一个平面的一个平面.:)3(,表示表示方程方程变化时变化时当当 过直线过直线 L 的一族平面的一族平面.反过来反过来, 过直线过直线 L 的任一平面的任一平面, (除平面除平面(2)外外)都含在这族平面内都含在这族平面内.通过一条定直线通过一条定直线 L的所有平面的全体称为的所有平面的全体称为过该直线过该直线 的平面束的平面束.方程方程(3)表示过直线表示过直线 L 的平面束的平面束.实际上实际上,缺平面缺平面(2).0 0

12、101 7投影直线的方程投影直线的方程上的上的在平面在平面求直线求直线例例 zyxzyxzyx设直线设直线 L: 0101 zyxzyx0 zyx：平面平面 L 1 过直线过直线 L 的平面束方程为的平面束方程为:0)1(1 zyxzyx 0)1()1()1()1( zyx即即这个平面垂直于平面这个平面垂直于平面 它们的法向量垂直它们的法向量垂直,从而有从而有0)1 , 1 , 1()1,1 ,1( 0111 即即01 即即1 : 的的平平面面的的方方程程为为且且垂垂直直于于平平面面过过直直线线 L0)1)(1(1 zyxzyx即即01 zy直线直线 L 在平面在平面 上的投影直线的方程为：上

13、的投影直线的方程为：01 zy0 zyx L 1 .21311, 01043 )4 , 0 , 1(相相交交的的直直线线的的方方程程又又与与直直线线且且平平行行于于平平面面求求过过点点zyxzyx 例例 8解解)4 , 0 , 1( M设点设点01043: zyx 平面平面21311:1zyxL 直直线线1LLM )1 , 4, 3( n的法向量的法向量平面平面 )2 , 1 , 1( 11 sL的方向向量的方向向量直线直线上上在直线在直线点点1)0 , 3 , 1( LN N1s 的的平平面面的的方方程程为为：且且平平行行于于平平面面过过点点 M0)4()0(4)1( 3 zyx即即0143

14、 zyx1LLMN1s 1LLMN1s)4, 3 , 0( MN令令1sMNn )2 , 1 , 1()4, 3 , 0( 2 1 14 3 0 kjikji3410 )(34,10, 1LLMN1s的的方方程程为为：的的平平面面及及直直线线过过点点1LM04)3(0)4()1(10 zyx即即0223410 zyx的的方方程程为为：直直线线 L0143 zyx0223410 zyx 空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注

15、意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）六、小结六、小结思考题思考题 在在直直线线方方程程pznymx 6224中中 ，m、n、p各各怎怎样样取取值值时时，直直线线与与坐坐标标面面xoy、yoz都都平平行行.思考题解答思考题解答,6,2pnms 且有且有. 0 s, 0 ks, 0 is 0206mp, 0, 6 mp, 0 s, 0 n故当故当 时结论成立时结论成立, 0 m6 p, 0 n一、一、 填空题：填空题：1 1、 通过点通过点)3,1,4( 且平行于直线且平行于直线5123 zyx的直线方程为的直线方程为_；2 2、 直线直线 012309335zyxzyx与直线与直

16、线 0188302322zyxzyx的夹角的余弦为的夹角的余弦为_；3 3、 直线直线 003zyxzyx和平面和平面01 zyx在平在平面面012 zyx上的夹角为上的夹角为_；4 4、点点)0,2,1( 在在平平面面012 zyx上上的的投投影影为为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题5 5、 直直线线723zyx 和和平平面面8723 zyx的的关关系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 直直线线431232 zyx和和平平面面3 zyx的的关关系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 用用 对对

17、 称称 式式 方方 程程 及及 参参 数数 方方 程程 表表 示示 直直 线线L： 421zyxzyx . .三三、 求求过过点点)2,1,3( 且且通通过过直直线线12354zyx 的的平平面面方方程程 . .四四、 求求 直直 线线 0923042zyxzyx在在 平平 面面14 zyx上上的的投投影影直直线线的的方方程程 . .五五、 求求与与已已知知直直线线1L：13523zyx 及及2L： 147510zyx 都都相相交交且且和和3L： 137182 zyx平平行行的的直直线线L . .六六、设设一一平平面面垂垂直直于于平平面面0 z, ,并并通通过过从从点点)1,1,1( A 到到

18、直直线线L： 001xzy的的垂垂线线，求求此此平平面面的的方方程程 . .七七、 求求两两直直线线1L：1101zyx 和和2L：0212 zyx的的公公垂垂线线L的的方方程程，及及公公垂垂线线段段的的长长 . .八八、求求过过点点)4,0,1( 且且平平行行于于平平面面01043 zyx又又与与直直线线31311zyx 相相交交的的直直线线方方程程 . .九九、 求求 点点)2,1,3( P到到 直直 线线 04201zyxzyx的的 距距离离 . .一、一、1 1、531124 zyx； 2 2、0 0； 3 3、0 0； 4 4、)32,32,35( ； 5 5、垂直；、垂直； 6 6、直线在平面上、直线在平面上. .二、二、311121 zyx, , tztytx31121. .三、三、592298 zyx. .四、四、 014117373117zyxzyx. .练习题答案练习题答案五、五、2257265828 zyx或或1755872zyx . .六、六、012 yx. .七、七、 11x234234 zy或或 010542044zyxzyx, ,1 d. .八、八、28419161 zyx. .九、九、223. .