高考数学限时训练 (38).doc

1、 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1.已知 a，b，c 都是正数，且 abbcca1，则下列不等式中正确的是( ) A.(abc)23 B.a2b2c22 C.1 a 1 b 1 c2 3 D.abc 1 3abc 解析 用 3(abbcca)(abc)23(a2b2c2)易得. 答案 A 2.若 x1，则函数 yx1 x 16x x21的最小值为( ) A.16 B.8 C.4 D.非上述情况 解析 yx1 x 16 x1 x ，令 tx1 x2(因 x1). yt16 t 2 168.当且仅当 t16 t ，即 t

2、4 时取等号. 答案 B 3.若 a，b，c(0，)，且 abc1，则 a b c的最大值是( ) A.2 B.3 2 C. 3 D.5 3 解析 (1 a1 b1 c)2(121212)(abc)3 因此， a b c 3. 当且仅当 a 1 b 1 c 1 ，即 abc1 3时取等号. 答案 C 4.已知a，b，c(0，)，Aa3b3c3，Ba2bb2cc2a，则A与B的大小 关系为( ) A.AB B.AB C.AB D.A 与 B 的大小不确定 解析 取两组数：a，b，c 与 a2，b2，c2，显然 a3b3c3是顺序和，a2bb2c c2a 是乱序和，所以 a3b3c3a2bb2cc

3、2a，即 AB. 答案 A 5.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数 n，总有 2nn3”时，验证第一步不等 式成立所取的第一个值 n0最小应当是( ) A.1 B.大于 1 且小于 10 的某个自然数 C.10 D.11 答案 C 6.已知函数 f(x) 2 2x，记数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1f(1)，当 n2 时，Sn 2 f（an） 1 2(n 25n2)，则通过计算a1，a2，a3 的值，猜想an的通项公式 an 等于( ) A.n1 B.n1 C.n2 D.n2 答案 A 7.设 a，b，c，d 为正数，abcd1，则 a2b2c2d2的最小值为( ) A.1 2 B.

4、1 4 C.1 D.3 4 解析 由柯西不等式(a2b2c2d2)(12121212) (abcd)2，因为 abcd1，于是由上式得 4(a2b2c2d2)1，于是 a2b2c2d21 4， 当且仅当 abcd1 4时取等号. 答案 B 8.设 a1，a2，a3为正数，ma1a2 a3 a2a3 a1 a3a1 a2 ，na1a2a3，则 m 与 n 的大小 关系为( ) A.mn B.mn C.mn D.mn 解析 不妨设 a1a2a30，于是 1 a1 1 a2 1 a3， a2a3a3a1a1a2.由排序不等式：顺序和乱序和，得： a1a2 a3 a3a1 a2 a2a3 a1 1 a

5、2a2a3 1 a3a3a1 1 a1a1a2 a1a2a3.故选 B. 答案 B 9.用数学归纳法证明“11 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n” 时，由 nk 的假设证明 nk1 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右 边为( ) A. 1 k1 1 2k 1 2k1 B. 1 k1 1 2k 1 2k1 1 2k2 C. 1 k2 1 2k 1 2k1 D. 1 k2 1 2k1 1 2k2 答案 D 10.用数学归纳法证明命题“11 2 1 3 1 2n n 2 (nN)”时，命题在 nk1 时的形式是( ) A.11 2 1 3 1 2k1 k1

6、 2 B.11 2 1 3 1 2k 1 2k 1k1 2 C.11 2 1 3 1 2k 1 2k1 1 2k2 k1 2 D.11 2 1 3 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 2k 1k1 2 答案 D 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 11.用数学归纳法证明 1 22 1 32 1 42 1 （n1）2 1 2 1 n2，假设 nk 时，不等 式成立，则当 nk1 时，应推证的目标是_. 解析 当 nk1 时， 1 22 1 32 1 42 1 （k1）2 1 （k2）2 1 2 1 k3. 答案 1 22 1 32 1 42 1 （k2）2 1 2

7、1 k3 12.设 x22y21 则 u(x，y)x2y 的最小值是_；最大值是_. 解析 由柯西不等式，有|u(x，y)|1 x 2 2y|12 x22y2 3得 umin 3，umax 3分别在 3 3 ， 3 3 ， 3 3 ， 3 3 时取得. 答案 3 3 13.已知 a，b，c(0，)，且 abc1，则 a1 a b1 b c1 c 的最小 值是_. 解析 abc1，1 a 1 b 1 c(abc) 1 a 1 b 1 c 3b a a b c b b c c a a c， 1 a 1 b 1 c32229，则 a1 a b1 b c1 c 9110. 答案 10 14.设实数 a

8、1，a2，a3满足条件 a1a2a32，则 a1a2a2a3a3a1的最大值为 _. 解析 由柯西不等式，(a21a22a23)(121212) (a1a2a3)24，于是 a21a22a234 3. 故 a1a2a2a3a3a11 2(a1a2a3) 2(a2 1a22a23)1 22 21 2(a 2 1a22a23) 21 2 4 3 4 3. 答案 4 3 15.函数 ycos2x(1sin x)的最大值为_. 解析 y(1sin2x)(1sin x)(1sin x)(1sin x) (1sin x) 4(1sin x)1sin x 2 1sin x 2 4 1sin x1sin x

9、3 3 4 8 27 32 27 等号成立1sin x1sin x 2 sin x1 3. 答案 32 27 16.已知函数 f(x) 2x x2，数列an满足 a11，anf(an 1) (n1，nN)，则数列 an的通项公式为_. 答案 an 2 n1 三、解答题(本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分) 17.利用柯西不等式解方程：2 1x 2x3 15. 解 由柯西不等式 (2 1x 2x3)2(2 1x 2 x3 2) 2 22( 2)2 （ 1x）2 x3 2 2 6 1xx3 2 65 215. 等号成立 1x 2 x3 2 2 1x 4 x3 2 2 x2 3. 经

10、检验，x2 3为原方程的根. 18.已知 a，b，c 为正数，求证：b 2c2c2a2a2b2 abc abc. 证明 根据所证明的不等式中a，b，c的“地位”的对称性，不妨设abc， 则1 a 1 b 1 c，bccaab， 由排序原理：顺序和乱序和，得 bc a ca b ab c bc c ca a ab b ，即b 2c2c2a2a2b2 abc abc， a，b，c 为正数，abc0，abc0. 于是b 2c2c2a2a2b2 abc abc. 19.设 a1，a2，an是几个不相同的正整数，用排序不等式证明：11 2 1 3 1 na1 a2 22 a3 32 an n2. 证明

11、设 b1，b2，bn是 a1，a2，an的一个排列，且满足 b1 1 32 1 n2，故由排序不等式；得 a1 a2 22 a3 32 an n2b1 b2 22 b3 32 bn n2112 1 223 1 32n 1 n21 1 2 1 3 1 n. 20.已知集合 X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN)，设 Sn(a，b)|a 整 除 b 或 b 整除 a，aX，bYn，令 f(n)表示集合 Sn所含元素的个数. (1)写出 f(6)的值； (2)当 n6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明. 解 (1)Y61，2，3，4，5，6，S6中的元素(a，b)满足： 若 a1，则

12、 b1，2，3，4，5，6；若 a2，则 b1，2，4，6； 若 a3，则 b1，3，6.所以 f(6)13. (2)当 n6 时， f(n) n2 n 2 n 3 ，n6t， n2 n1 2 n1 3 ，n6t1， n2 n 2 n2 3 ，n6t2， n2 n1 2 n 3 ，n6t3， n2 n 2 n1 3 ，n6t4， n2 n1 2 n2 3 ，n6t5 (tN). 下面用数学归纳法证明： 当 n6 时，f(6)626 2 6 313，结论成立； 假设 nk(k6)时结论成立，那么 nk1 时，Sk1在 Sk的基础上新增加的 元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分

13、以下情形讨论： a.若 k16t，则 k6(t1)5，此时有 f(k1)f(k)3k2k1 2 k2 3 3 (k1)2k1 2 k1 3 ，结论成立； b.若 k16t1，则 k6t，此时有 f(k1)f(k)1k2k 2 k 31 (k1)2（k1）1 2 （k1）1 3 ，结论成立； c.若 k16t2，则 k6t1，此时有 f(k1)f(k)2k2k1 2 k1 3 2 (k1)2k1 2 （k1）2 3 ，结论成立； d.若 k16t3，则 k6t2，此时有 f(k1)f(k)2k2k 2 k2 3 2 (k1)2（k1）1 2 k1 3 ，结论成立； e.若 k16t4，则 k6t3，此时有 f(k1)f(k)2k2k1 2 k 32 (k1)2k1 2 （k1）1 3 ，结论成立； f.若 k16t5，则 k6t4，此时有 f(k1)f(k)1k2k 2 k1 3 1 (k1)2（k1）1 2 （k1）2 3 ，结论成立. 综上所述，结论对满足 n6 的自然数 n 均成立.