高考数学限时训练 (32).doc

1、一、选择题 1.若不等式 1 4n1 1 4n5 1 4n9 1 8n1 m 25对于一切 nN恒成立，则自 然数 m 的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.12 解析 显然 n1 时，左边最大为14 45，则 14 45n2成立的条件是( ) A.nN B.n4 C.n4 D.n1 或 n4 解析 n4，244216，n1 时，21，n5，2532，5225，当 n4 时，2nn2成立，故选 D. 答案 D 3.用数学归纳法证明 1n 21 1 2 1 3 1 2n 1 2n(nN)成立，当 n1 时， 应验证( ) A.3 21 1 2 3 2 B.3 21 1 2 1 3 3

2、2 C.3 21 1 2 1 3 3 2 D.3 21 1 2 3 2 解析 n1 时，左边3 2，中间 1 1 2，右边 1 21 3 2，故选 A. 答案 A 二、填空题 4.用数学归纳法证明“Sn 1 n1 1 n2 1 n3 1 3n11(nN )”时，S1等 于_. 解析 n1 时，n12，3n14，S11 2 1 3 1 4. 答案 1 2 1 3 1 4 5.已知 a，b，cR，abc0，abc0，T1 a 1 b 1 c，则 T 与 0 的关系是 _. 解析 abc0，(abc)2a2b2c22ab2bc2ac0，即 2ab 2bc2ac(a2b2c2)0，上述不等式两边同时除

3、以 2abc，得 T1 a 1 b 1 c1，nN). 证明 (1)当 n2 时，1 2 1 3 1 4 643 12 13 121， 即 n2 时命题成立. (2)设 nk (k2)时，命题成立， 即1 k 1 k1 1 k2 1 k21， 当 nk1 时， 左边 1 k1 1 k2 1 k21 1 （k1）2 1(2k1) 1 （k1）2 1 k1 k2k1 k（k1）2. k2，令 f(k)k2k1，对称轴为 k1 2， (2，)为 f(k)的增区间， f(k)f(2)，即 k2k122211， k2k1 k（k1）20，nk1 时，命题也成立. 由(1)(2)知，当 n1 时，nN命题

4、都成立. 7.比较 2n与 n2的大小(nN). 解 当 n1 时，2112，即 2nn2， 当 n2 时，2222，即 2nn2， 当 n3 时，23n2， 当 n6 时，2662，即 2nn2 猜测：当 n5 时，2nn2. 下面用数学归纳法证明猜测成立. (1)当 n5 时，由上可知猜测成立. (2)设 nk (k5)时，命题成立，即 2kk2. 2k 12 2k2k2k2k2k2(2k1)(k1)2，即 nk1 时命题成立. 由(1)和(2)，可得 n5 时，2nn2. 8.用数学归纳法证明： 1 12 1 23 1 n（n1） 1 （k1）（k2） （k1）（k2） k1 k k1(

5、 k21) k. 由于 k2，上式显然成立. 即 nk1 时，不等式成立. 由(1)、(2)知，不等式对 nN都成立. 9.设 n 为正整数，记 an 11 n n1 ，n1，2，3，求证：an10 (nN). an an1 11 n n1 1 1 n1 n2 11 n 1 1 n1 n1 1 1 1n 1 （n1）（n1） n（n2） n1 n1 n2 1n（n2） n（n2） n1 n1 n2 1 1 n（n2） n1 n1 n2， 因此，根据贝努利不等式 an an1 1（n1） 1 n（n2） n1 n2 1 n1 n22n1 n1 n2 1 1 n1 n1 n21. 所以 anan1

6、对于一切正整数 n 成立. 10.已知等差数列an，等比数列bn，若 a1b1，a2b2，a1a2，且对所有的 自然数 n 恒有 an0，求证：当 n2 时，an0，故an是递增数列， an公差 da2a1，bn公比 qb2 b1 a2 a1. 当 n2 时，an0. 故原不等式成立. (2)假设 nk (k3)时，不等式成立，即 akak a2 a1ak(a2a1) （a ka1）（a2a1） a1 0. 即 bk1ak1. 由(1)(2)可知，当 n2 时，an 2成立. (2)假设 nk (k1)时，ak 2成立， 又当 nk1，由题意知 ak1ak 2 1 ak2 ak 2 1 ak

7、2， 即 ak1 2，当且仅当ak 2 1 ak即 ak 2时，等号成立. 这与 ak 2矛盾，所以只有 ak1 2. 由(1)，(2)知，不等式 an 2 (nN)成立. 其次，证明不等式 an 21 n (nN)成立. (1)当 n1 时，a12 21 11 2，即不等式成立. (2)假设 nk (k1)时，不等式 ak 21 k成立. 由题知，当 nk1 时，ak1ak 2 1 ak， 由 ak 21 k，得 ak 2 2，得 1 ak 2 2 由，得ak 2 1 ak 2 2 1 2k 2 2 2 1 2k， 即 ak1 2 1 2k 2 1 kk 2 1 k1， 即 ak1 2 1 k1成立. 由(1)，(2)得不等式 an 21 n (nN)成立. 综上所述， 2an 21 n (nN)成立.