计量经济学基础知识梳理(超全)课件.ppt
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1、高数知识高数知识数理统计基础数理统计基础主主要要内内容容概率论基础概率论基础 如果如果 表示表示n个数的一个序列,那么我个数的一个序列,那么我们就把这们就把这n个数的总和写为:个数的总和写为:第一第一节节 高高数知识数知识一、求和一、求和n21ixi,: n21n1iixxxx 二、算术平均二、算术平均 算术平均(arithmetic mean)就是我们日常生活中使用的普通的平均数,其定义如下式:nXnXXXXn21三、加权算术平均三、加权算术平均n加权平均是将各数据先乘以反映其重要性的权数(w),再求平均的方法。其定义如下式:wXwwwwXwXwXwXiinnnw212211四、变化率四、变
2、化率n变化率的定义如下式: ), 3 , 2(11ntXXXttt五、几何平均五、几何平均 几何平均是n个数据连乘积的n次方根,其定义如下式: nnXXXG21六、线性函数六、线性函数 如果两个变量如果两个变量x和和y的关系是:的关系是:xy10我们便说我们便说y是是x的的线性函数线性函数:而:而 和和 是描述这一关是描述这一关系的两个参数,系的两个参数, 为截距(为截距(Intercept),), 为斜率。为斜率。0101 一个线性函数的定义特征在于,一个线性函数的定义特征在于,y的改变量总是的改变量总是x的改变量的的改变量的 倍:倍: 其中,其中, 表示表示“改变量改变量”。换句话说,。换
3、句话说,x对对y的边的边际效应是一个等于际效应是一个等于 的常数。的常数。xy111例:线性住房支出函数例:线性住房支出函数 假定每月住房支出和每月收入的关系式是假定每月住房支出和每月收入的关系式是Housing=164+0.27income 那么,每增加那么,每增加1元收入,就有元收入,就有0.27元用于住房支出,元用于住房支出,如果家庭收入增加如果家庭收入增加200元,那么住房支出就增加元,那么住房支出就增加0.27200=54元。元。 机械解释上述方程,即时一个没有收入的家庭也有机械解释上述方程,即时一个没有收入的家庭也有164元的住房支出,这当然是不真实的。对低收入水平家元的住房支出,
4、这当然是不真实的。对低收入水平家庭,这个线性函数不能很好的描述庭,这个线性函数不能很好的描述housing和和income之间之间的关系,这就是为什么我们最终还得用其他函数形式来的关系,这就是为什么我们最终还得用其他函数形式来描述这种关系。描述这种关系。多于两个变量的线性函数:多于两个变量的线性函数: 假定假定y与两个变量与两个变量 和和 有一般形式的关系:有一般形式的关系: 由于这个函数的图形是由于这个函数的图形是三维的,所以相当难以想象,三维的,所以相当难以想象,不过不过 仍然是截距(即仍然是截距(即 =0和和 =0时时y的取值),且的取值),且 和和 都是特定斜率的度量。由方程(都是特定
5、斜率的度量。由方程(A.12)可知,给定)可知,给定 和和 的改变量,的改变量,y的改变量是的改变量是 若若 不改变,即不改变,即 ,则有,则有 因此因此 是关系式在是关系式在 坐标上的斜率:坐标上的斜率:1x2x22110 xxy01x2x121x2x2211xxy2x02x0211xxy,11x0211xxy, 因为它度量了保持因为它度量了保持 固定时,固定时,y如何随如何随 而变,所而变,所以常把以常把 叫做叫做 对对y的的偏效应偏效应。由于偏效应涉及保持其他。由于偏效应涉及保持其他因素不变,所以它与因素不变,所以它与其他条件不变(其他条件不变(Ceteris Paribus)的的概念有
6、密切联系,参数概念有密切联系,参数 可作类似解释:即若可作类似解释:即若 ,则则 因此,因此, 是是 对对y的偏效应。的偏效应。线性函数的性质线性函数的性质2x1x1x1201x22xy22x 假定大学生每月对假定大学生每月对CD的需求量与的需求量与CD的价格和每个月的价格和每个月的零花钱有如下关系:的零花钱有如下关系: 式中,式中,price为每张碟的价格,为每张碟的价格,income以元计算。需以元计算。需求曲线表示在保持收入(和其他因素)不变的情况下,求曲线表示在保持收入(和其他因素)不变的情况下,quantity和和price的关系。的关系。例:例: 对对CDCD的需求的需求incom
7、e.price.quantity03089120线性函数的基本性质:线性函数的基本性质: 不管不管x的初始值是什么,的初始值是什么,x每变化一个单位都导致每变化一个单位都导致y同样同样的变化。的变化。x对对y的边际效应是常数,这对许多经济关系来说多的边际效应是常数,这对许多经济关系来说多少有点不真实。例如,边际报酬递减这个重要的经济概念就少有点不真实。例如,边际报酬递减这个重要的经济概念就不符合线性关系。不符合线性关系。 为了建立各种经济现象的模型,我们需要研究一些为了建立各种经济现象的模型,我们需要研究一些非线非线性函数。性函数。 非线性函数的特点是,非线性函数的特点是,给定给定x的变化,的
8、变化,y的变化依赖于的变化依赖于x的初始值。的初始值。七、若干特殊函数七、若干特殊函数1. 1.二次函数二次函数 刻画报酬递减规律的一个简单方法,就是在线性关系刻画报酬递减规律的一个简单方法,就是在线性关系中添加一个二次项。中添加一个二次项。 考虑方程式考虑方程式 式中,式中, , 和和 为参数。当为参数。当 时,时,y和和x之间的关之间的关系呈抛物线状,并且可以证明,函数的最大值出现在系呈抛物线状,并且可以证明,函数的最大值出现在2210 xxy01202212x1. 1.二次函数二次函数 例如,若例如,若y=6+8x-2x2。(从而。(从而 =8且且 =-2),则),则y的最大值出现在的最
9、大值出现在x*=8/4=2处,并且这个最大值是处,并且这个最大值是6+82-2(2)2=14。12 对方程式对方程式 意味着意味着x对对y的的边际效应递减,边际效应递减,这从图中清晰可这从图中清晰可见,应用微积分知识,也可以通过求这个二次函数的一见,应用微积分知识,也可以通过求这个二次函数的一阶导数得出。阶导数得出。 斜率斜率=方程右端是此二次函数对方程右端是此二次函数对x的的导数导数。 同样,同样, 则意味着则意味着x对对y的的边际效应递增边际效应递增,二次,二次函数的图形就呈函数的图形就呈U行,函数的最小值出现在点行,函数的最小值出现在点 处。处。1. 1.二次函数二次函数2210 xxy
10、02xxy21202212x 在计量经济分析中起着最重要作用的非线性函数是在计量经济分析中起着最重要作用的非线性函数是自自然对数,然对数,或简称为或简称为对数函数,对数函数,记为记为还有几种不同符号可以表示自然对数,最常用的是还有几种不同符号可以表示自然对数,最常用的是 或或 。当对数使用几个不同的底数时,这些不同的。当对数使用几个不同的底数时,这些不同的符号是有作用的。目前,只有自然对数最重要,因此我符号是有作用的。目前,只有自然对数最重要,因此我们都用们都用 表示自然对数。表示自然对数。2.2.自然对数自然对数 xlogy xln xloge xlog2.2.自然对数自然对数 xlogy
11、图图2.1.4 y=log(x) 的图形的图形2.2.自然对数自然对数 有如下性质:有如下性质: 1. log(x)可正可负:可正可负:log(x)0,0 x0,x1 2.一些有用的性质(牢记):一些有用的性质(牢记): log(x1x2)=log(x1)+log(x2),),x1,x20 log(x1/x2)=log(x1)-log(x2),),x1,x20 log(xc)=clog(x),),x0,c为任意实数为任意实数2.2.自然对数自然对数 对数可用于计量经济学应用中的各种近似计算。对数可用于计量经济学应用中的各种近似计算。 1.对于对于x0,有有log(1+x)x。这个近似计算随着。
12、这个近似计算随着x变变大而越来越不精确。大而越来越不精确。 2.两对数之差可用作比例变化的近似值。令两对数之差可用作比例变化的近似值。令x0和和x1为两为两个正数,可以证明(利用微积分),对个正数,可以证明(利用微积分),对x的微小变化,有的微小变化,有如果我们用如果我们用100乘以上述方程,并记乘以上述方程,并记那么,对那么,对x的的微小微小变化,便有变化,便有“微小微小”的含义取决于具体情况。的含义取决于具体情况。 000101xxxxxxlogxlog 01xlogxlogxlog x%xlog1002.2.自然对数自然对数近似计算的作用:近似计算的作用: 定义定义y对对x的的弹性(弹性
13、(elasticity)为为换言之,换言之,y对对x的弹性就是当的弹性就是当x增加增加1%时时y的百分数变化。的百分数变化。 若若y是是x的线性函数:的线性函数: ,则这个弹性是,则这个弹性是它明显取决于它明显取决于x的取值(的取值(弹性并非沿着需求曲线保持不变弹性并非沿着需求曲线保持不变)。)。x%y%yxxyxy10 xxyxyxxy10112.2.自然对数自然对数 不仅在需求理论中,在许多应用经济学领域,弹性都不仅在需求理论中,在许多应用经济学领域,弹性都是非常重要的。在许多情况下,使用一个常弹性模型都很是非常重要的。在许多情况下,使用一个常弹性模型都很方便,而对数函数能帮助我们设定这样
14、的模型。如果我们方便,而对数函数能帮助我们设定这样的模型。如果我们对对x和和y都使用对数近似计算,弹性就近似等于都使用对数近似计算,弹性就近似等于因此,一个因此,一个常弹性模型常弹性模型可近似描述为方程可近似描述为方程式中,式中, 为为y对对x的弹性(假定的弹性(假定x,y0)。)。 这类模型在经验经济学中扮演着重要角色。目前,式这类模型在经验经济学中扮演着重要角色。目前,式中的中的 只是接近于弹性这一事实并不重要,可以忽略。只是接近于弹性这一事实并不重要,可以忽略。 xlogylog xlogylog1011例:常弹性需求函数例:常弹性需求函数 若若q代表需求量而代表需求量而p代表价格,并且
15、二者关系为代表价格,并且二者关系为则需求的价格弹性是则需求的价格弹性是-1.25.初略地说,价格每增加初略地说,价格每增加1%,将,将导致需求量下降导致需求量下降1.25%。 plog.qlog251742.2.自然对数自然对数 在经验研究工作中还经常出现使用对数函数的其他可在经验研究工作中还经常出现使用对数函数的其他可能性。假定能性。假定y0,且,且则则 ,从而,从而 。 由此可知,当由此可知,当y和和x有上述方程所示关系时,有上述方程所示关系时, xylog10 xylog1 xylog1100100 xy%1100例:例: 对数工资方程对数工资方程 假设小时工资与受教育年数有如下关系:假
16、设小时工资与受教育年数有如下关系:根据前面所述方程,有根据前面所述方程,有由此可知,多受一年教育将使小时工资增加约由此可知,多受一年教育将使小时工资增加约9.4%。 通常把通常把%y/x称为称为y对对x的的半弹性,半弹性,半弹性表示当半弹性表示当x增增加一个单位时加一个单位时y的百分数变化。在上述模型中,半弹性是个的百分数变化。在上述模型中,半弹性是个常数并且等于常数并且等于 ,在上述例子中,我们可以方便的把,在上述例子中,我们可以方便的把工资和教育的关系概括为:多受一年教育工资和教育的关系概括为:多受一年教育无论所受教育无论所受教育的起点如何的起点如何都将使工资提高约都将使工资提高约9.4%
17、。这说明了这类模。这说明了这类模型在经济学中的重要作用。型在经济学中的重要作用。edu.wagelog0940782edu.edu.wage%49094010011002.2.自然对数自然对数 另一种关系式在应用经济学中也是有意义的:另一种关系式在应用经济学中也是有意义的:其中,其中,x0。若取。若取y的变化,则有的变化,则有 ,这又可以,这又可以写为写为 。 利用近似计算,可得利用近似计算,可得当当x增加增加1%时,时,y变化变化 个单位。个单位。 xlogy10 xlogy1 xlogy1001001x%y10011001例:劳动供给函数例:劳动供给函数 假定一个工人的劳动供给可描述为假定
18、一个工人的劳动供给可描述为式中,式中,wage为小时工资而为小时工资而hours为每周工作小时数,于是,为每周工作小时数,于是,由方程可得:由方程可得: 换言之,工资每增加换言之,工资每增加1%,将使每周工作小时增加约,将使每周工作小时增加约0.45或或略小于半个小时。若工资增加略小于半个小时。若工资增加10%,则,则 或约四个半小时。或约四个半小时。注意:注意:不宜对更大的工资百分数变化应用这个近似计算。不宜对更大的工资百分数变化应用这个近似计算。wagelog.hours14533wage%.wage%.wagelog.hours4510100145145514104510.hours 考
19、虑方程考虑方程 此处此处log(y)是是x的线性函数,但是怎样写出的线性函数,但是怎样写出y本身作为本身作为x的一个函数呢?的一个函数呢?指数函数指数函数给出了答案。给出了答案。 我们把指数函数写为我们把指数函数写为y=exp(x),),有时也写为有时也写为 ,但在我们课程中这个符号不常用。但在我们课程中这个符号不常用。 指数函数的两个重要的数值是指数函数的两个重要的数值是exp(0)=1和和exp(1)=2.7183(取(取4位小数)。位小数)。 3.3.指数函数指数函数 xylog10 xey 3.3.指数函数指数函数 xexpy 图图2.1.4 y=exp(x) 的图形的图形 从上图可以
20、看出,从上图可以看出,exp(x)对任何对任何x值都有定义,而且值都有定义,而且总大于零。总大于零。 指数函数在如下意义上是对数函数的反函数:对所有指数函数在如下意义上是对数函数的反函数:对所有x,都有都有logexp(x)=x,而对,而对x0,有,有explog(x)=x。换言之,对数换言之,对数“解除了解除了”指数,反之亦然。对数函数和指数指数,反之亦然。对数函数和指数函数互为反函数。函数互为反函数。 指数函数的两个有用性质是指数函数的两个有用性质是 exp(x1+x2)=exp(x1)exp(x2) 和和 expclog(x)=xc3.3.指数函数指数函数记忆:记忆:经济学中常用的一些函
21、数及其导数有经济学中常用的一些函数及其导数有 4.4.微分学微分学xdxdy;xxy2122102 2110 xdxdy;xy211102xdxdy;xy xdxdy;xlogy110 xexpdxdy;xexpy10110 当当y是多元函数时,是多元函数时,偏导数偏导数的概念便很重要。假定的概念便很重要。假定y=f(x1,x2),),此时便有两个偏导数,一个关于此时便有两个偏导数,一个关于x1,另一个关,另一个关于于x2。y对对x1的偏导数记为的偏导数记为 ,就是把,就是把x2看做常数时方程对看做常数时方程对x1的普通导数。类似的,的普通导数。类似的, 就是固定就是固定x1时方程对时方程对x
22、2的导数。的导数。 若若则则这些偏导数可被视为经济学所定义的偏效应。这些偏导数可被视为经济学所定义的偏效应。 4.4.微分学微分学1xy2xy22110 xxy221xyxy1, 把工资与受教育年数和工作经验(以年计)相联系的一把工资与受教育年数和工作经验(以年计)相联系的一个函数是个函数是exper对对wage的偏效应就是上式对的偏效应就是上式对exper的偏导数:的偏导数:这是增加一年工作经验所导致工资的近似变化。注意这个偏这是增加一年工作经验所导致工资的近似变化。注意这个偏效应与效应与exper和和educ的初始水平都有关系。例如,一个从的初始水平都有关系。例如,一个从educ=12和和
23、exper=5开始的工人,再增加一年工作经验,将使开始的工人,再增加一年工作经验,将使工资增加约工资增加约0.19-0.085+0.00712=0.234元。准确的变化通元。准确的变化通过计算,结果是过计算,结果是0.23,和近似计算结果非常接近。,和近似计算结果非常接近。 例:例: 含交互项的工资方程含交互项的工资方程erexpeduc.erexp.erexp.educ.agew007000401904101032educ.erexp.erexpagew00700080190一、随机变量及其概率分布一、随机变量及其概率分布 假设我们掷一枚钱币假设我们掷一枚钱币10次,并计算出现正面的次数,次
24、,并计算出现正面的次数,这就是一个这就是一个实验实验的例子。一般地说,的例子。一般地说,一个实验是指至少在一个实验是指至少在理论上能够无限重复下去的任何一种程序,并且它有一个理论上能够无限重复下去的任何一种程序,并且它有一个定义完好的结果集。定义完好的结果集。 一个一个随机变量随机变量是指一个具有数值特征并由一个实验来是指一个具有数值特征并由一个实验来决定其结果的变量。决定其结果的变量。 第二节第二节 概率论基础概率论基础 按照概率和统计学的惯例,我们一律用大写字母如常按照概率和统计学的惯例,我们一律用大写字母如常见的见的W,X,Y和和Z表示表示随机变量随机变量,而用相应的小写字母,而用相应的
25、小写字母w,x,y和和z表示表示随机变量的特定结果随机变量的特定结果。 例如,在掷币实验中,令例如,在掷币实验中,令X为一枚钱币投掷为一枚钱币投掷10次出现正次出现正面的次数。所以面的次数。所以X并不是任何具体数值,但我们知道并不是任何具体数值,但我们知道X将在将在集合集合 中取一个值。比方说,一个特殊的结果中取一个值。比方说,一个特殊的结果是是x=6。 我们用下标表示一系列随机变量。例如,我们记录随我们用下标表示一系列随机变量。例如,我们记录随机选择的机选择的20个家庭去年的收入。可以用个家庭去年的收入。可以用X1,X2,X20表表示这些随机变量,并用示这些随机变量,并用x1,x2,x20表
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