内切球、外接球问题-原创.doc

1、多面体的“内切球”和“外接球”问题一、球与棱柱的组合体问题：1正方体的内切球：设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形的内切圆，得；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。（3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。图3图4图52.在球面上有四个点、.如果、两两互相垂直，且,求这个球的表面积是_.【构造直角三角形，巧解正棱柱与球的组合问题：正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心

2、及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】3.已知底面边长为正三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。图6解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得，图1二、棱锥的内切、外接球问题4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为由图形的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半径为

3、在中，即，得，得【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。5.正三棱锥，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少6. 正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球和内切球的半径是多少练习：1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 2. （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 。3设是球面上的四点,

4、且两两互相垂直,若,则球心到截面的距离是 .4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥中，侧棱，侧棱，则此正三棱锥的外接球的表面积为 5.（球内接棱柱问题） 若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。7.（球内接正四棱锥问题）半径为的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥则四棱锥的体积为 8.（正三棱锥球内切问题） 正三棱锥的高为3，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切则球的表面积与体积分别

5、为 9. 三棱锥的两条棱,其余各棱长均为，求三棱锥的内切球半径.说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决1 ；2 ；3 ；4 ；5 ；6 ；7 ；8 1. （陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 答案B2. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此

6、球的表面积为. 7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为答案 1 （2012新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为（）ABCD25（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA平面ABCD,四边形ABCD是边长为2正方形.若PA=2,则OAB的面积为_. (2). 在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60 E为AB的在中点，将三角形ABC和三角形BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B点重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为?(3). 已知球的内接三棱锥S-ABC的底面是以AB为为斜边的等腰直角三角形，且SB=SC=SA=2,则球的表面积为?4