高三上学期期末考试数学（理）备考黄金30题（解析版）.doc

1、（范围：高考范围）1为了了解学生的体能情况，抽取了某学校同年级部分学生作为样本进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第四小组的频数为10 来源:163文库ZXXK（1）求样本容量；（2）根据样本频率分布直方图，估计学生跳绳次数的中位数（保留整数）【答案】（1）；（2）106.【解析】考点：频率分布直方图.2已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集，：，：（1）若，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1），若，则必须满足解得,所以的取值范围是考点：简易逻辑，不

2、等式的解法3已知数列满足.（1）若，求的取值范围；（2）若是等比数列，且，正整数的最小值，以及取最小值时相应的仅比；（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】由题得， .由题得，且数列是等比数列，.又由已知，又的最小值为，此时，即考点：解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前项和.4已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）若在区间上单调递增，试求的取值或取值范围【答案】（1）极大值为 ，极小值为；（2）.来源:Z。xx。k.Com【解析】（1）当时，令，则， 、和的变化情况如下表：来源:学*科*网Z*X*X*K单调递增极大值单调递减极

3、小值单调递增即函数的极大值为，极小值为； 考点：1、利用导数求函数极值；2、利用导数研究函数单调性163文库5已知函数（）讨论函数的单调区间与极值；（）若且恒成立，求的最大值；（）在（）的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：【答案】（）当时，函数的单调增区间为，无极值，当时，函数的单调减区间为，增区间为，极小值为；（）；（），证明见解析.【解析】（）当时，恒成立，函数的单调增区间为，无极值；当时，时，时，函数的单调减区间为，增区间为，有极小值。 （）当时，由（）得，即当时，最大为1。 则， 欲证，只需证明：，只需证明：，即证：，即证，设，则只需证明：，也就是

4、证明：记，来源:163文库ZXXK在单调递增，所以原不等式成立，故得证. 设，则化简可得，所以函数在单调递增，时，又因为，且函数在单调递减，即，所以成立.考点：导数与单调性、极值，函数与零点. 163文库6的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且.（）求角A；（）若,且的面积为,求的值.【答案】（）；（）.【解析】考点：（1）正弦定理和余弦定理；（2）三角形面积计算公式.7已知椭圆的方程为，左、右焦点分别为，焦距为4，点是椭圆上一点，满足，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）【解析】（2）显然直线的斜率存

5、在，设直线方程为，由得，即，由得，又，则，那么，则直线过定点考点：椭圆的简单性质；余弦定理163文库8如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆（）的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点当直线斜率为时， （1）求椭圆的标准方程；（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论【答案】（1）；（2）过定点，证明见解析【解析】（2）以为直径的圆过定点 下面给出证明：考点：1、椭圆的方程；2、椭圆的几何性质；3、圆的方程；4、直线的方程9在四棱锥中，底面为正方形，底面，为棱的中点 （1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）

6、若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由【答案】（1）详见解析；（2）；（3）【解析】（1）证明：因为底面，所以，因为，所以面，由于面，所以有；考点：1直线与平面所成的角；2空间向量在立体几何中的应用10已知函数,且函数在处的切线平行于直线.（1）求实数的值;（2）若在上存在一点,使得成立.求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或.【解析】（1）的定义域为,函数在处的切线平行于直线.考点：导数几何意义,利用导数研究不等式存在性问题11已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系

7、统抽样（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；（3）在（2）的条件下，从体重不轻于73公斤（公斤）的职工中随机抽取两名，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率 【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】考点：1、系统抽样；2、平均数与方差；3、古典概型.12如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离. （1）若,求抛物线的标准方程；（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.【答案】（1）（2）详见解析【解析】考点：抛物线定义，直线与抛

8、物线位置关系163文库13已知正项数列的前项和为，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立；（3）数列满足，它的前项和为，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或【解析】（3）易知，则，-可得： 故，所以不等式成立，若为偶数，则，所以考点：数列基本概念，数列求和，数列与不等式163文库14如图所示，已知椭圆的方程为，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点（）若，点在直线上，求的最小值；（）若以线段为直径的圆经过点，且原点到直线的距离为（1）求直线的方程；（2）在椭圆上求点的坐标，使得的面积最

9、大【答案】（）；（）（1）；（2）【解析】由已知，得，即 ，即，化简，得 由，得，即，满足的方程为（2）由（1）可知，是定值，当椭圆上的点使得的面积最大时，点到直线的距离为最大，即点为在直线的下方平行于且与椭圆相切的切点设平行于且与椭圆相切的切线方程为，由得，（舍去），从而，可得的坐标为 考点：1椭圆方程；2直线与椭圆的位置关系163文库15已知数列满足，（）（1）求，并求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，当取最大值时，求的值【答案】（1）,；（2）.【解析】（2）结合二次函数的性质可知，当时，取最大值考点：隔项成等差数列求和求通项.16已知，函数（1）求证：曲线在点处的切线过定点；（2

10、）若是在区间上的极大值，但不是最大值，求实数的取值范围；（3）求证：对任意给定的正数 ，总存在，使得在上为单调函数【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】，又， 考点：导数的应用. 163文库17已知函数（1）当时,求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若函数在上的最小值记为，请写出的函数表达式.【答案】（1）（2）【解析】（1），当时，曲线在点处的切线方程为即.考点：1.导数的几何意义；2.函数导数与单调性最值18对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下.（1）求，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取个元件，元件寿命落在之间的应抽取几个？（2）从（1

11、）中抽出的寿命落在之间的元件中任取个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在之间，一个元件寿命落在之间”的概率.【答案】（1），；（2）来源:学。科。网Z。X。X。K【解析】考点：频率分布直方图与古典概型19为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件做为样本，测量其直径后，整理得到下表： 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级

12、为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备的性能等级（II）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品（）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；（）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望【答案】（I）丙；（II）（）；（）【解析】 故考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义20已知函数，（1）当，时，求函数的单调区间；（2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数的图象在两点，处的切线分别为，若，且，求实数的最小值【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是（2）（3）.【解析】若，则，在上单调递减；若，则，在上单调递增；综上，函数的单调减区间是，单调增区间是（2）当，时，而，所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以函数在上的最小值为，所以恒成立，解得或（舍去），又由，解得，所以实数的取值范围是由，得，令，则，考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立，导数几何意义