2019版高考数学一轮复习第十章算法初步第66讲变量间的相关关系与统计案例学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 66 讲 变量间的相关关系与统计案例 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系 2了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 3了解常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题 4了解独立性检验 (只要求 22列联表 )的基本思想、方法及其简单应用 5了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用 . 2017 全国卷 ， 19 2016 全国卷 ， 18 2015 全国卷 ， 3 2015 福建卷， 4 1.散 点图与相关关系、线性回归方程与独立性检验在实际生活中的应用

2、 2有关统计内容及方法主要以选择题、填空题的形式呈现，属容易题；抽样方法和各种统计图表与概率的有关内容相结合或与统计案例相结合也会出现在解答题中，属中档题 . 分值： 5 12 分 1相关关系与回归方程 (1)相关关系的分类 正相关：从散点图上看，点散布在从 _左下角 _到 _右上角 _的区域内 负相关：从散点图上看，点散布在从 _左上角 _到 _右下角 _的区域内 (2)线性相关关系 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分 布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫 _回归直线 _ (3)回归方程 最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的 _距离的平方和 _最小的方法

3、叫最小二乘法 回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据为 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn，yn) ， 其 回 归 方 程 为 y bx a，其中=【 ;精品教育资源文库 】 = ? b ?i 1n?xi x ?yi y ?i 1n?xi x ?2?i 1nxiyi n x y?i 1nx2i n x 2，a y bx ，其中 ( x ， y )称为样本点的中心 (4)样本相关系数 r?i 1n?xi x ?yi y ?i 1n?xi x ?2?i 1n?yi y ?2，用它来衡量两个变量间的线性相关关系的强弱 当 r 0 时，表明两个变量 _正相关 _； 当 r

4、0 时，表明两个变量 _负相关 _； r 的绝对值越接近 1，表明两个变量的线性相关性 _越强 _； r 的绝对值越接近 0，表明两个变量的线性相关性 _越弱 _，通常当 | |r 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关关系 2独立性检验 (1)分类变量：变量的不同 “ 值 ” 表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量 (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为 x1， x2 和 y1， y2 ，其样本频数列联表 (称为 22 列联表 )如下 . y1 y2 总计 x1 a b a b x2 c d c d 总计 a c b

5、 d a b c d K2 n?ad bc?2?a b?a c?b d?c d?(其中 n _a b c d_为样本容量 )，则利用独立性检验判断表来判断 “ X 与 Y 的关系 ” 1思维辨析 (在括号内打 “” 或打 “ ”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系 ( ) (2)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系去表=【 ;精品教育资源文库 】 = 示 ( ) (3)通过回归方程 y bx a可以估计和观测变量的取值和变化趋势 ( ) (4)任何一组数据都对应着一个回归直线方程 ( ) (5)事件 X， Y 关系越密切，则由观测数据计算

6、得到的 K2的观测值越大 ( ) 2观察下列各图： 其中两个变量 x， y 具有相关关系的图是 ( C ) A B C D 解析 由散点图知 具有相关关系 3已知 x， y 的取值如下表，从散点图可以 看出 y 与 x 线性相关，且回归方程为 y 0.95x a，则 a ( B ) x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A 3.25 B 2.6 C 2.2 D 0 解析 由已知得 x 2， y 4.5，因为回归方程经过点 ( x ， y )，所以 a 4.5 0.952 2.6. 4若回归 直线方程为 y 2 1.5x，则变量 x 增加一个单位， y( C ) A平均增加 1

7、.5 个单位 B平均增加 2 个单位 C平均减少 1.5 个单位 D平均减少 2 个单位 解析 因为回归直线方程为 y 2 1.5x，所以 b 1.5，则变量 x 增加一个单位， y 平均减少 1.5 个单位 5在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 ( C ) A若 K2的观测值为 k 6.635，我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在 100个吸烟的人中必有 99 人患有肺病 B从独立性检验可知，有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有 99%的可能患有肺病 C若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有 5%的可能性使

8、得=【 ;精品教育资源文库 】 = 推断出现错误 D以上三种说法都不正确 解析 根据独立性检验的思想知 C 项正确 一 相关关系的判断 判定两个变量正、负相关性的方法 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点 的分布从左上角到右下角，两个变量负相关 (2)相关系数： r0 时，正相关； r0 时，正相关； b0 时，负相关 (4)相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性 【例 1】 (1)为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩

9、得到如图所示的散点图 (x 轴、 y 轴的单位长度相同 )，用回归直线方程 y bx a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是 ( B ) A线性相关关系较强， b的值为 1.25 B线性相关关系较强， b的值为 0.83 C线性相关关系较强， b的值为 0.87 D线性相关关系较弱，无研究价值 (2)已知变量 x 和 y 满足关系 y 0.1x 1，变量 y 与 z 正相关，下列结论中正确的是( C ) A x 与 y 正相关， x 与 z 负相关 B x 与 y 正相关， x 与 z 正相关 C x 与 y 负相关， x 与 z 负相关 D x 与 y 负相关， x 与

10、z 正相关 解析 (1)由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较=【 ;精品教育资源文库 】 = 强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比 y x 的斜率要小一些，故选 B (2)因为 y 0.1x 1， x 的系数为负，故 x 与 y 负相关；而 y 与 z 正相关，故 x 与 z负相关 二 线性回归分析 (1)正确理解计算 b， a的公式并能准确的计算出结果是求线性回归方程的关键 (2)回归直线方程 y bx a必过样本点中心 ( x ， y ) (3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两

11、个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系 ，则可通过线性回归方程来估计和预测 【例 2】 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元 )对年销售量 y(单位： t)和年利润 z(单位：千元 )的影响对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i 1,2， ? ， 8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 错误 ! 错误 ! 错误 ! ?i 18(xix )2 ?i 18( i )2 ?i 18(xix ) (yi y ) ?i 18( i ) (yi y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1.469 108.8 其中 i xi

12、， 18?i 18 i. (1)根据散点图判断 y a bx与 y c d x哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣传费 x的回归方程类型？ (给出判断即可，不必说明理由 ) (2)根据 (1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润 z 与 x， y 的关系为 z 0.2y x.根据 (2)的结果回答下列问题： 年宣传费 x 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ =【 ;精品教育资源文库 】 = 年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据 (u1， v1)， (u2， v2)， ? ， (un， vn)，其回归直线 v u 的斜

13、率和截距的最小二乘估计分别为 ?i 1n?ui u ?vi v ?i 1n?ui u ?2， v u . 解析 (1)由散点图可以判断 y c d x适宜作为年销售量 y关于年宣传费 x的回归方程类型 (2)令 w x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程 由于 d?i 18?wi w ?yi y ?i 18?wi w ?2 108.81.6 68， c y d w 563 686.8 100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y 100.6 68w，因此 y 关于 x 的回归方程为 y 100.6 68 x. (3) 由 (2)知，当 x 49 时，年销售量 y 的预报值 y 10

14、0.6 68 49 576.6， 年利润 z 的预报值 z 576.60.2 49 66.32. 根据 (2)的结果知，年利润 z 的预报值 z 0.2(100.6 68 x) x x 13.6 x 20.12. 所以当 x 13.62 6.8，即 x 46.24 时， z取得最大值 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大 三 独立性检验 (1)独立性检验的关键是正确列出 22 列联表，并计算出 K2的值 (2)弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答 【例 3】 为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对 20 名男生和 20 名女生进行问卷调查，结果如下： 女生： =【 ;精品教育资源文库 】 = 睡眠时间 /小时 4,5) 5,6) 6,7) 7,8) 8,9) 人数 2 4 8 4 2 男生： 睡眠时间 /小时 4,5) 5,6) 6,7) 7,8) 8,9) 人数 1 5 6 5 3 (1)从这 20 名男生中随机选出 3 人，求恰有一人睡眠时间不足 7 小时的概率； (2)完成下面 22 列联表，并回答是否有 90%的把握认为 “ 睡眠时间与性别有关 ” ？ 睡眠