2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第23讲解三角形应用举例学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 23 讲 解三角形应用举例 考纲要求 考情分析 命题趋势 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 . 2015 湖北卷， 13 2014 四川卷， 13 解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式、向量等综合考查 . 分值： 5 分 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 ！ 上方 #的角叫仰角，在水平线 ！ 下方 #的角叫俯角 (如图 ). 2方位角 从指北方向 ！ 顺时针 #转到目标方向线的水平角叫方位角，如 B 点的方位角为 (如图 ). 3方向角 相对于某

2、一正方向的水平角 (如图 ) (1)北偏东 ，即由指北方向 ！ 顺时针 #旋转 到达目标方向 . (2)北偏西 ，即由指北方向 ！ 逆时针 #旋转 到达目标方向 . (3)南偏西等其他方向角类似 . 4坡度 (比 ) 坡角：坡面与水平面所成的 ！ 二面角 #的度数 (如图 ，角 为坡角 ). 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比 (如图 ， i 为坡度 (比 ). 5解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题 的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型 . (3)根据题意选择正弦

3、定理或余弦定理求解 . (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等 . 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”). (1)公式 S 12bcsin A 12acsin B 12absin C 适用于任意三角形 .( ) (2)东北方向就是北偏东 45 的方向 .( ) (3)俯角是 铅垂线与视线所成的角 .( ) (4)方位角大小的范围是 0,2) ，方向角大小的范围一般是 ? ?0， 2 .( ) 解析 (1)正确 .三角形的面积公式对任意三角形都成立 . (2)正确 .数学中的东北方向就是北偏东 45 或东偏北 45 的方向 . (3)错误 .俯角是视线

4、与水平线所构成的角 . (4)正确 .方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为 0,2) ，而方向角大小的范围由定义可知为 ? ?0， 2 . 2若点 A 在点 C 的北偏东 30 ，点 B 在点 C 的南偏东 60 ，且 AC BC，则点 A 在点 B的 ( B ) A北偏东 15 B北偏西 15 C北偏东 10 D北偏西 10 解析 如图所示， ACB 90. 又 AC BC， CBA 45 ，而 30 ， 90 45 30 15. 点 A 在点 B 的北偏西 15. 3如图，设 A， B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点 C，测出 AC 的 距离为

5、50 m， ACB 45 ， CAB 105 ，则 A， B 两点的距离为 ( A ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m D 25 22 m 解析 由正弦定理得 AB ACsin ACBsin B 50 2212 50 2(m). 4在相距 2 千米的 A， B 两点处测量目标点 C，若 CAB 75 ， CBA 60 ，则 A， C两点之间的距离为 ！ 6 #千米 . 解析 如图所示，由题意知 C 45 ， 由正弦定理得 ACsin 60 2sin 45 ， AC 222 32 6. 5一船向正北航行，看见正东方向有相距 8 海里的两个灯

6、塔恰好在一条直线上 .继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东 60 ，另一灯塔在船的南偏东 75 ，则这艘船每小时航行 ！ 8 #海里 . 解析 如图，由题意知在 ABC 中， ACB 75 60 15 ， B 15 ， AC AB 8. 在 Rt AOC 中， OC ACsin 30 4. 这艘船每小时航行 412 8(海里 ). =【 ;精品教育资源文库 】 = 一 距离问题 求解距离问题的一般步骤 (1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题 . (2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素 . (3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形 . 【例 1】 要测量对岸 A

7、， B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的点 C，点 D，并测得 ACB 75 ， BCD 45 ， ADC 30 ， ADB 45 ，则点 A， B 之间的距离为 ！ 5 #km. 解析 如图，在 ACD 中， ACD 120 ， CAD ADC 30 ， AC CD 3(km). 在 BCD 中， BCD 45 ， BDC 75 ， CBD 60. BC 3sin 75sin 60 6 22 . 在 ABC 中，由余弦定理，得 AB2 ( 3)2 ? ?6 22 2 2 3 6 22 cos 75 3 2 3 3 5， AB5(km)，即 A， B 之间的距离为 5 km. 二 高度问

8、题 高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合 . 【例 2】 要测量电视塔 AB 的高度，在点 C 测得塔顶 A 的仰角是 45 ，在点 D 测得塔顶 A 的仰角是 30 ，并测得水平面上的 BCD 120 ， CD 40 m，则电视塔的高度为 ！ 40 #m. 解析 设电视塔 AB 高为 x m，则在 Rt ABC 中，由 ACB 45 ，得 BC x.在 Rt ADB中，由 ADB 30 ，得 BD 3x. =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 BDC 中，由余弦定理，得 BD2 BC2 CD2 2BC CDcos

9、120 ，即 ( 3x)2 x2 402 2 x40cos 120 ，解得 x 40，所以电视塔高为 40 m. 三 角度问题 解决角度问题的注意点 (1)首先应明确方位角或方向角的含义 . (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步 . (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的 “ 联袂 ” 使用 . 【例 3】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45 方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75 方向前进，红方侦察艇以每小时 14 n mil

10、e 的速度沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇 .若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 . 解析 如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇， 则 AC 14x， BC 10x， ABC 120. 根据余弦定理得 (14x)2 122 (10x)2 240xcos 120 ， 解得 x 2.故 AC 28， BC 20. 根据正弦定理得 BCsin ACsin 120 ， 解得 sin 20sin 12028 5 314 . 所以红方 侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为 5 314 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 1如图所示，位于 A

11、处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救 .信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 ，相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos ( B ) A 217 B 2114 C 3 2114 D 2128 解析 如题图所示，在 ABC 中， AB 40 海里， AC 20 海里， BAC 120 ，由余弦定理，得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos 120 2 800，故 BC 20 7(海里 ). 由正弦定理，得 sin ACB ABBCsin BAC 217 ，由 BAC 120 ，知

12、 ACB 为锐角，故 cos ACB 2 77 .故 cos cos ( ACB 30) cos ACBcos 30 sin ACBsin 30 2114 . 第 1 题图 第 2 题图 2如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB， CD 的高度分别为 20 m， 50 m， BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角 CAD ( B ) A 30 B 45 C 60 D 75 解析 依题意可得 AD 20 10 m， AC 30 5 m，又 CD 50 m，所以在 ACD 中， 由余弦定理得 cos CAD AC2 AD2 CD22AC AD （ 30 5）2（ 2

13、0 10） 2 502230 520 10 6 0006 000 222 ， 又 0 CAD180 ，所以 CAD 45 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45. 3如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡 A 处测得 DAC 15 ，沿山坡前进 50 m 到达 B处，又测得 DBC 45 ，根据以上数据可 得 cos ！ 3 1 #. 解析 由 DAC 15 ， DBC 45 ，可得 BDA 30 ， DBA 135 ， BDC 90 (15 ) 30 45 ，

14、由内角和定理可得 DCB 180 (45 ) 45 90 ，根据正弦定理可得 50sin 30 DBsin 15 ，即 DB 100sin 15 100sin (45 30) 25 2( 3 1)，又 25sin 45 25 2（ 3 1）sin（ 90 ） ， 即 25sin 45 25 2（ 3 1）cos ，得到 cos 3 1 4如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30 的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度 CD ！ 100 6 #m. 解析 依题意有 AB 600， CA