导热微分方程边界条件课件.ppt

1、第一节第一节 导热导热一、导热的基本概念一、导热的基本概念1、温度场、温度场 概念：某一时刻换热系统中空间一切点温度的分布概念：某一时刻换热系统中空间一切点温度的分布 情况，情况，数学表示式：数学表示式： t=f（x，y，z，） 温度场分类：温度场分类： 稳定温度场稳定温度场不稳定温度场不稳定温度场和和一维温度场一维温度场二维温度场二维温度场三维温度场三维温度场n稳定温度场：温度场不随时间变化稳定温度场：温度场不随时间变化0t若若则物体被冷却则物体被冷却0t若若则物体被加热则物体被加热不稳定温度场：不稳定温度场：温度场随时间变化温度场随时间变化0tt=f（x，y，z）即：即：n一维温度场：一维

2、温度场：t=f（x)0tt=f（x，）二维温度场二维温度场:t=f（x，y，）0tt=f（x，y)三维温度场三维温度场:t=f（x，y，z）0tt=f（x，y，z)2、等温面和等温线、等温面和等温线n等温面等温面: 温度场中同一时刻、相同温度点相连所形成的面。温度场中同一时刻、相同温度点相连所形成的面。n等温线等温线: 任意一平面与等温面下相交所得的交线。任意一平面与等温面下相交所得的交线。注意：注意： 同一个等温面上没有热量传递，同一个等温面上没有热量传递， 热量传递只发生在不同的等温面之间。热量传递只发生在不同的等温面之间。 3、温度梯度、温度梯度 等温面上的法线方向温度变化率等温面上的法

3、线方向温度变化率ntgradtntn)(lim0注意：注意：温度梯度是向量，位于等温面的法线上，指向温度增加的方向。温度梯度是向量，位于等温面的法线上，指向温度增加的方向。 数学表示式：数学表示式：ntttn4、热流密度与热流量、热流密度与热流量n热流量（热流量（Q ）：单位时间内，经由面积）：单位时间内，经由面积F 所所传递的热量。传递的热量。 单位：单位：W。n热流密度热流密度(q)：在单位时间内，经由单位面积所传递的热量。：在单位时间内，经由单位面积所传递的热量。 单位：单位： W /m2。二者关系：二者关系： Q=qF注意：注意：热流密度和温度梯度位于等温面的同热流密度和温度梯度位于等

4、温面的同一法线上，但指向温度降低的方向。一法线上，但指向温度降低的方向。ntttnq二、导热的基本定律二、导热的基本定律1傅里叶定律傅里叶定律n内容：内容：单位时间内通过垂直于面积单位时间内通过垂直于面积F所传递的热量与所传递的热量与温度梯度成正比。温度梯度成正比。数学表示式数学表示式：ntFQ或或ntFQq说明说明：（1）负号表示热量传递方向）负号表示热量传递方向 与温度梯度方向相反与温度梯度方向相反（2）是是导热系数导热系数ntttnq 2导热系数导热系数物理意义：物理意义：表征物质的导热能力大小表征物质的导热能力大小 即：单位温度梯度时的热流密度。单位即：单位温度梯度时的热流密度。单位:

5、Wm.。 数学表示式数学表示式：ntq影响导热系数的因素影响导热系数的因素：度、温度）种类、结构、湿度、密(f（1）种类的影响）种类的影响n气体：气体： 决定于分子间的相互运动决定于分子间的相互运动 范围：范围：= 0.0060.6W/（m）。）。 在很大的压力变化范围内，仅是温度的函数，而和在很大的压力变化范围内，仅是温度的函数，而和压力无关。压力无关。n液体液体: = 00707 W（m）。 一般液体的导热系数随温度升高而减小，但标准一般液体的导热系数随温度升高而减小，但标准大气压下水的导热系数却随温度升高而增大。大气压下水的导热系数却随温度升高而增大。固体：固体： A: 金属金属 -决定

6、于自由电子的运动决定于自由电子的运动. 纯金属的导热系数一般随温度升高而减小纯金属的导热系数一般随温度升高而减小。 纯金属中以银的导热系数高纯金属中以银的导热系数高.=419W/(m)。 纯金属中若掺有少许杂质，其导热系数将降低纯金属中若掺有少许杂质，其导热系数将降低。 B:非金属：非金属： -决定于晶格振动决定于晶格振动 建筑材料和保温材料：建筑材料和保温材料： = 0.0253.0 W/（m） 导热系数大多数随着温度升高而增大；导热系数大多数随着温度升高而增大；与材料的结构、多孔度、湿度、密度等因素有关。与材料的结构、多孔度、湿度、密度等因素有关。 例如：例如：湿材料的导热系数比干材料的高

7、。湿材料的导热系数比干材料的高。结论：结论：金属非金属液体气体一般的：（2）、温度的影响：）、温度的影响：n各物质的导热系数皆随温度变化，但在一定的温各物质的导热系数皆随温度变化，但在一定的温度范围内，大多数工程材料的导热系数可以近似度范围内，大多数工程材料的导热系数可以近似地认为是温度的线性函数地认为是温度的线性函数)1 (0t)1()(211)1()1(21)(210210201021ttttt当导热系数随温度作线性变化时，其平均值为平均温度时的值。当导热系数随温度作线性变化时，其平均值为平均温度时的值。在在t1t2内内三、导热微分方程（固体）三、导热微分方程（固体）能量守恒方程能量守恒方

8、程1、推导思路：、推导思路：取微元体，列能量守恒方程：取微元体，列能量守恒方程微元体内能的增量微元体内能的增量=微元体传入的热量微元体传入的热量-微元体传出的热量微元体传出的热量 +微元体内热源产生的热量微元体内热源产生的热量即：微元体热焓的增量即：微元体热焓的增量=微元体净热增量微元体净热增量 +微元体内热源产生的热量微元体内热源产生的热量zxdQx+dxydQx2、假定条件：、假定条件：（1）物体是各向同性的均质物体）物体是各向同性的均质物体各向同性：指物体各方向的导热系数都相同各向同性：指物体各方向的导热系数都相同（2）物体的物理量）物体的物理量、C CP P均为常数均为常数（3 3）内

9、热源）内热源q qv v均匀的分布在物体里均匀的分布在物体里内热源内热源q qv v：指单位时间内、单位体积物体所释放出指单位时间内、单位体积物体所释放出 的热量的热量. .单位：单位：w/mw/m3 33、推导过程、推导过程zxdQx+dxydQx以以X方向为例进行分析：方向为例进行分析：dydzdxtdQx在同样的时间内，沿在同样的时间内，沿x轴通过右垂面传出六面体的热量轴通过右垂面传出六面体的热量dxdydzdxtdydzdxtdxdydzdxtxdydzdxtdxdQxdQxdQdQxxxdxx22222)(2)()()(故故x方向上的净热增量方向上的净热增量：dvdxtdxdydzd

10、xtdQdQdxxx2222在在d时间内，沿时间内，沿x轴通过左垂面轴通过左垂面传入六面体的热量传入六面体的热量总净热增量：总净热增量： dvdytdxdydzdytdQdQdyyy2222dvdztdxdydzdztdQdQdzzz2222tdvddvdztytxtdQ22222221)(同理：同理：zxdQx+dxydQx热焓的增量：热焓的增量：dvdtcmdtcdHpp内热源产生的热量内热源产生的热量dvdqv根据能量守恒：根据能量守恒：热焓的增量热焓的增量=传入的热量传入的热量-传出的热量传出的热量+内热源产生的热量内热源产生的热量即：热焓的增量即：热焓的增量=净热增量净热增量+内热源

11、产生的热量内热源产生的热量 dvdqdQdHv1dvdqdvdztytxtdvdtcvp)(222222pvpcqztytxtct)(222222这就是具有内热源的导热微分方程（或称傅立叶导热微分方程）。这就是具有内热源的导热微分方程（或称傅立叶导热微分方程）。 方程两边同除以方程两边同除以将上面各式代入将上面各式代入：dvdcp则：则：pvcqtat2可以简写为可以简写为pvpcqtct2或或pca 令令称为导温系数（或热扩散率）。称为导温系数（或热扩散率）。a（1）、导温系数（或热扩散率）、导温系数（或热扩散率）物理意义：物理意义： 物体内部扯平温度的能力；或不稳定温度场内物体各部分温物体

12、内部扯平温度的能力；或不稳定温度场内物体各部分温度趋于一致的能力；或者说是不稳定温度场内物体温度随时度趋于一致的能力；或者说是不稳定温度场内物体温度随时间变化能力。单位：间变化能力。单位：m2/s。pvpcqztytxtct)(2222224、讨论：、讨论：例如：对两个物体加热例如：对两个物体加热100 tQ 2 tQ1 3 4 20 100 1 2 3 4 小大或大PpCCaa大小或小PpCCaa（2）、）、qv 有正负，有正负，qv 0，物体放热物体放热； qv 0, 0,温度曲线下凹温度曲线下凹 0 0时，抛物线的形状为上凸，有一最高点时，抛物线的形状为上凸，有一最高点0212ttxqq

13、dxdtvv积分温度分布，令其为零积分温度分布，令其为零：求得最高点的位置求得最高点的位置vqttx122若若t1=t2, 则：则：2x表明最高点的位置在平壁中间。表明最高点的位置在平壁中间。xt1tt2021min20ttqqxv时，21max2ttqqxv 时，2）通过平壁的热流密度通过平壁的热流密度。 说明热流密度随说明热流密度随x而变化。而变化。 )()2(22112ttxqttqxqdxdtqvvv五、导热的数值计算法五、导热的数值计算法 （一）、有限差分法原理（一）、有限差分法原理用阶梯变化的差分方程来代替连续变化的微分方程用阶梯变化的差分方程来代替连续变化的微分方程这是进行数值分

14、析的这是进行数值分析的基本出发点基本出发点。以内部节点以内部节点P为例：为例：考虑一个二维稳态导热问题考虑一个二维稳态导热问题02222ytxt用差分代替微分，则：用差分代替微分，则：P(m,n m+1,n m-1,n m,n-1 m,n+1yxxttxtnmnmnm,1,21)(xttxtnmnmnm,1,21)(P(m,n m+1,n m-1,n m,n-1 m,n+1yx2, 1, 1,21,21,22)(2)()()(xtttxxtxtxtnmnmnmnmnmnm2,1,1,22)(2)(ytttytnmnmnmnm同理同理代入稳态导热方程，取代入稳态导热方程，取 x=y，可以得到节点的温度方程可以得到节点的温度方程04,1,1, 1, 1nmnmnmnmnmtttttP(m,n m+1,n m-1,n m,n-1 m,n+1yx最后在研究对象上得到每点的温度方程，最后在研究对象上得到每点的温度方程，构成线性方程组，形式为：构成线性方程组，形式为：11212111Ctatatann22222121Ctatatann12211Ctatatannnnn再采用迭代法求解线形方程组再采用迭代法求解线形方程组-计算机数值求解计算机数值求解