2019版高考数学一轮复习第七章立体几何第40讲空间点直线平面之间的位置关系学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 40 讲 空间点 、 直线 、 平面之间的位置关系 考纲要求 考情分析 命题趋势 理解空间直线 、 平面位置关系的定义 ， 并了解可以作为推理依据的公理和定理 . 2017 全国卷 ， 10 2017 全国卷 ， 16 2016 浙江卷， 2 空间点 、 线 、 面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点 ， 同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力 . 分值： 5 分 1 平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的 _两点 _在一个平面内 ， 那么这条直线在此平面内 (2)公理 2：过 _不在一条直线上 _的三点 ， 有且只有一个平 面 (3)公理 3：

2、如果两个不重合的平面有 _一个 _公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 (4)公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2：经过两条 _相交 _直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条 _平行 _直线有且只有一个平面 2 空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 ? 共面直线? _平行 _，_相交 _，异面直线 ：不同在 _任何 _一个平面内 .(2)异面直线所成的角 定义：设 a， b 是两条异面直线 ， 经过空间任一点 O 作直线 a a， b b， 把 a与 b 所成的 _锐角 (或直角 )_叫做异面直线 a 与 b

3、所成的角 (或夹角 ) 范围： _? ?0， 2 _. (3)平行公理：平行于 _同一条直线 _的两条直线互相平行 (4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行 ， 那么这两个角 _相等或互补 _. 3 直线与平面 、 平面与平面之间的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有 _相交 _、 _平行 _、 _在平面内 _三种情况 (2)平面与平面的位置关系有 _平行 _、 _相交 _两种情况 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分 ( ) (2)两个平面 ， 有一个公共点 A， 就说 ， 相交于 A点 ， 并

4、记作 A ( ) (3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC ( ) (4)已知 a， b是异面直线 ， 直线 c平行于直线 a， 那么 c与 b不可能是平行直线 ( ) (5)没有公共点的两条直线 是异面直线 ( ) 解析 (1)错误当两个平面平行时 ， 把空间分成三部分 (2)错误由公理 3 知应交于过点 A 的一条直线 (3)错误应相交于直线 BC， 而非线段 (4)正确因为若 c b， 则由已知可得 a b， 这与已知矛盾 (5)错误异面或平行 2 若空间三条直线 a， b， c 满足 a b， b c， 则直线 a 与 c( D ) A一定平行 B一定相交 C一定是异面直线

5、 D一定垂直 解析 因为 b c， a b， 所以 a c， 即 a 与 c 垂直 3 下列命题正确的个数为 ( C ) 经过三点确定一个平面 ； 梯形可以确定一个平面； 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 错误 ， 正确 4 已知直线 a 和平面 ， ， l， a? ， a? ， 且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c， 则直线 b 和 c 的位置关系是 ( D ) A相交或平行 B相交或异面 C平行或异面 D相交 、 平行或异面 解析 依题意 ， 直线 b 和 c 的位置关系可能是相交 、 平行或异面 5 如图所示 ， 在正方体 ABCD

6、A1B1C1D1中 ， E， F 分别是 AB ， AD 的中点 ， 则异面直线B1C 与 EF 所成的角的大小为 _60 _. 解析 连接 B1D1， D1C， 则 B1D1 EF， 故 D1B1C 为所求 ， 又 B1D1 B1C D1C， D1B1C 60. =【 ;精品教育资源文库 】 = 一 平面的基本性质及应用 用平面的基本性质证明共点 、 共线 、 共面的方法 (1)证明点或线共面问题的两种方法： 首先由所给条件中的部分线 (或点 )确定一个平面 ， 然后再证其余的线 (或点 )在这个平面内； 将所有条件分为两部分 ， 然后分别确定平面 ，再证两平面重合 (2)证明点共线问题的两

7、种方法： 先由两点确定一条直线 ， 再证其他各点都在这条直线上 ； 直接证明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点 ， 再证其他直线经过该点 【例 1】 以下四个命题中 ， 正确命题的个数是 ( B ) 不共面的四点中 ， 其中任意三点不共线； 若点 A， B， C， D 共面 ， 点 A， B， C， E 共面 ， 则 A， B， C， D， E 共面； 若直线 a， b 共面 ， 直线 a， c 共面 ， 则直线 b， c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 显然是正确的 ， 可用反证法证明； 中若 A

8、， B， C 三点共线 ， 则 A， B， C， D，E 五点不一定共面； 构造长方体或正方体 ， 如图显然 b， c 异面 ， 故不正确； 中空间四边形中四条线段不共面故只有 正确 ， 故选 B 【例 2】 已知空间四边形 ABCD(如图所示 )， E， F 分别是 AB， AD 的中点 ， G， H 分别是BC， CD 上的点 ， 且 CG 13BC， CH 13DC 求证： (1)E， F， G， H 四点共面； (2)直线 FH， EG， AC 共点 解析 (1)连接 EF， GH， =【 ;精品教育资源文库 】 = E， F 分别是 AB， AD 的中点 ， EF BD 又 CG 1

9、3BC， CH 13DC， GH BD， EF GH， E， F， G， H 四点共面 (2)由 (1)知 FH 与直线 AC 不平行 ， 但共面 ， 设 FH AC M， M 平面 EFHG， M 平面 ABC 又 平面 EFHG 平面 ABC EG， M EG. FH， EG， AC 共点 二 空间两条直线的位置关系 判断空间两条直线的位置关系的方法 (1)异面直线 ， 可采用直接法或反证法 (2)平行直线 ， 可利用三角形 (梯形 )中位线的性质 、 公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理 (3)垂直关系 ， 往往利用线面垂直的性质来解 决 【例 3】 如图所示 ， 正方体 ABCD

10、A1B1C1D1中 ， M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由 解析 (1)不是异面直线理由如下： 连接 MN， A1C1， AC M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点 ， MN A1C1. 又 A1A C1C， A1ACC1为平行四边形 A1C1 AC， MN AC， A， M， N， C 在同一平面内 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 AM 和 CN 不是异面直线 (2)是异面直线证明如下： ABCD A1B1C1D1是正方体 ， B， C， C1， D1不共面 假

11、设 D1B 与 CC1不是异面直线 ， 则存在平面 ， 使 D1B?平面 ， CC1?平面 ， D1， B， C， C1 矛盾 假设不成立 ， 即 D1B 与 CC1是异面直线 三 两条异面直线所成的角 两异面直线所成角的作法及求解步骤 (1)找异面直线所成的角的三种方法： 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 (线段的端点或中点 )作平行线平移 补形平移 (2)求异面直线所成的角的三个步骤： 作：通过作平行线 ， 得到相交直线 证：证明相交直线所成的 角或其补角为异面直线所成的角 算：通过解三角形 ， 求出该角 【例 4】 (2017 全国卷 )a， b 为空间中两条互相垂直的直线 ， 等腰

12、直角三角形 ABC的直角边 AC 所在直线与 a， b 都垂直 ， 斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转 ， 有下列结论： 当直线 AB 与 a 成 60 角时 ， AB 与 b 成 30 角； 当直线 AB 与 a 成 60 角时 ， AB 与 b 成 60 ； 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45 ； 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60. 其中正确的是 _ _(填写所有正确结论的编号 ) 解析 由题意 ， AB 是 AC 为轴 ， BC 为底面半径 的圆锥的母线 ， 又 AC a， AC b， AC 圆锥底面 ， 在底面内可以过点 B， 作 BD a， 交底面圆 C 于点

13、D， 如图所示 ， 连接 DE， 则 DE BD， DE b， 连接 AD， 设 BC 1， 在等腰 ABD 中 ， AB AD 2， 当直线 AB 与 a 成 60角时 ， ABD 60 ， 故 BD 2， 又在 Rt BDE 中 ， BE 2， DE 2， 过点 B 作 BF DE，交圆 C 于点 F， 连接 AF， EF， BF DE 2， ABF 为等边三角形 ， ABF 60 ， 即AB 与 b 成 60 角 ， 故 正确 ， 错误 由最小角定理可知 正确；很明显 ， 可以满足平面 ABC 直线 a， =【 ;精品教育资源文库 】 = 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 90 ，

14、错误 正确的说法为 . 1 下列命题中正确的个数是 ( A ) 过异面直线 a， b 外一点 P 有且只有一个平面与 a， b 都平行； 异面直线 a， b 在平面 内的射影相互垂直 ， 则 a b； 底面是等边三角形 ， 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； 直线 a， b 分别在平面 ， 内 ， 且 a b， 则 . A 0 B 1 C 2 D 3 解析 对于 ， 当点 P 与两条异面直线中的一条 直线确定的平面与另一条直线平行时 ，就无法找到过点 P 且与两条异面直线都平行的平面 ， 故 错误；对于 ， 在如图 1 所示的三棱锥 P ABC 中 ， PB 面 ABC， BA BC， 满足 PA， PC 两边在底面的射影相互垂直 ， 但 PA 与PC 不垂直 ， 故 错误；对于 ， 在如图 2 所示的三棱锥 P ABC 中 ， AB BC AC PA 2，PB PC 3， 满足底面 ABC 是等边三角形 ， 侧面都是等腰三角形 ， 但三棱锥 P ABC 不是正三棱锥 ， 故 错误；对于 ， 直线 a， b 分别在平面 ， 内 ， 且 a b， 则 ， 可以