理论力学03刚体力学课件.ppt

1、理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体的概念及特点刚体的概念及特点刚体刚体（rigid body）：假如质点组中任何两质）：假如质点组中任何两质点间的距离都不会因力的作用而改变，我们就点间的距离都不会因力的作用而改变，我们就称该质点组为刚体。属称该质点组为刚体。属理想模型理想模型。现实中没有真正的刚体，但当物体的大小和形现实中没有真正的刚体，但当物体的大小和形状变化可以忽略不计时，通常便把它看作刚体。状变化可以忽略不计时，通常便把它看作刚体。作用在刚体上的力可以刚性传递，为滑移矢量。作用在刚体上的力可以刚性传递，为滑移矢量。刚体特点：刚体特点：各质点间无相对位移，因此也无相对速度，无各质点间无相

2、对位移，因此也无相对速度，无内力作功。内力作功。理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体运动的分类和描述刚体运动的分类和描述平动：平动：刚体中的任意两点的连线始终保持方向不变的运刚体中的任意两点的连线始终保持方向不变的运动。特点：刚体上所有质点都具有相同的速度和加速度；动。特点：刚体上所有质点都具有相同的速度和加速度；等同于质点运动；刚体平动的描述需等同于质点运动；刚体平动的描述需三个独立变量三个独立变量。定轴转动：定轴转动：刚体中两点始终保持不动，两点连线外的其刚体中两点始终保持不动，两点连线外的其它部分绕这两点确定的轴线作圆周运动。刚体定轴转动它部分绕这两点确定的轴线作圆周运动。刚体定轴转动的

3、描述需的描述需一个独立变量一个独立变量。平面平行运动（平面运动）：平面平行运动（平面运动）：刚体中所有点始终保持平刚体中所有点始终保持平行于某一固定面的运动。相当于行于某一固定面的运动。相当于“平面平动定轴转平面平动定轴转动动”。刚体平面运动的描述需。刚体平面运动的描述需三个独立变量三个独立变量。定点转动：定点转动：刚体中只有一点固定不动，其它部分绕该点刚体中只有一点固定不动，其它部分绕该点的瞬时轴转动。刚体定点转动的描述需的瞬时轴转动。刚体定点转动的描述需三个独立变量三个独立变量（欧拉角）（欧拉角）。一般运动：一般运动：自由刚体的运动。可以分解为自由刚体的运动。可以分解为平动和定点转平动和定

4、点转动动。刚体定点转动的描述需。刚体定点转动的描述需六个独立变量六个独立变量。理论力学理论力学刚体力学刚体力学有限转动与无限小转动有限转动与无限小转动1有限转动有限转动不满足矢量对易律，不满足矢量对易律，不是矢量不是矢量。图象参见教材。图象参见教材P159。无限小转动无限小转动是否满足对易律，是否是矢量是否满足对易律，是否是矢量？rrrrOnMPP角坐标：角坐标：)(t)()(tttn角位移：角位移：n大小：大小：方向：方向：右手螺旋法则。右手螺旋法则。理论力学理论力学刚体力学刚体力学有限转动与无限小转动有限转动与无限小转动2无限小转动无限小转动是否满足对易律，是否是矢量是否满足对易律，是否是

5、矢量？rrrrOnMPPnPMrnPMsinrPM又有：sinnrrrnr即：nnnn即：？对线位移比较了解，故先寻求角位移与线位移间的关系：对线位移比较了解，故先寻求角位移与线位移间的关系：理论力学理论力学刚体力学刚体力学有限转动与无限小转动有限转动与无限小转动3rnr。再发生微小转动：先发生微小转动nn,1线位移：线位移：rr)(rrnrrnrnrr。再发生微小转动：先发生微小转动nn ,2线位移：线位移：rrrnrnrr)(rnrnrn)(rnn忽略了二阶小量：)(rnn忽略了二阶小量：理论力学理论力学刚体力学刚体力学有限转动与无限小转动有限转动与无限小转动4rrrrOnMPPrnrnr

6、r线位移满足：线位移满足：rrrrrnrnrrrnrnrnrn即：rnnrnn)()( 即：是个矢量！角位移 nnnnn ！理论力学理论力学刚体力学刚体力学角速度角速度角速度（角速度（Angular velocity）：）：dtndtnt0limdtd大小：大小：方向：方向：沿沿t时刻的转轴，即时刻的转轴，即转动瞬轴转动瞬轴dtrdv线速度：线速度：rnr又：又：rrdtndv角速度与线速度关系角速度与线速度关系单位：单位：srad/0z0z理论力学理论力学刚体力学刚体力学补充补充_欧勒公式欧勒公式&泊松公式泊松公式&矢量运算矢量运算cbacabcba)()()(一个转动的一个转动的定长矢量定

7、长矢量对于时间的变化率，等于该矢量转对于时间的变化率，等于该矢量转动的角速度矢乘该矢量本身。动的角速度矢乘该矢量本身。判断对错判断对错rdtrdidtidjdtjdkdtkd泊松公式泊松公式rv欧勒公式欧勒公式理论力学理论力学刚体力学刚体力学角加速度角加速度角加速度（角加速度（Angular acceleraton）：）：方向：方向：转动瞬轴的改变方向转动瞬轴的改变方向vrdtddtrdrdtddtvda单位：单位：2/sraddtddtvda线加速度：线加速度：rv又：又：)(rr向轴加速度向轴加速度转动加速度转动加速度R2rr2)(OPRr理论力学理论力学刚体力学刚体力学角量与线量的关系角

8、量与线量的关系rvanaarr vnrrrrdtda)(2对于图示运动有：对于图示运动有：理论力学理论力学刚体力学刚体力学力的可传性力的可传性力的可传性原理力的可传性原理：刚体上的力所产生的力学效果，决定于：刚体上的力所产生的力学效果，决定于力的大小、力的大小、方向和作用线的地位方向和作用线的地位，与力的作用点在作用线上的地位无关。，与力的作用点在作用线上的地位无关。刚体上的力可沿作用刚体上的力可沿作用线滑移，故称线滑移，故称滑移矢滑移矢量量，但不能随意改变，但不能随意改变作用线位置，否则力作用线位置，否则力的作用效果将改变！的作用效果将改变！AFACFAFABFFFABF理论力学理论力学刚体

9、力学刚体力学力系的简化力系的简化1对于共点力：利用平行四边形法则进行矢量合成；对于共点力：利用平行四边形法则进行矢量合成；对于不共点但作用线相交的力，可以都滑移到交点处，对于不共点但作用线相交的力，可以都滑移到交点处，再利用共点力合成。再利用共点力合成。12F3F2F1F12F3F12F3F合F2F1F3FBAAFBF？理论力学理论力学刚体力学刚体力学力偶（力偶（couple）力偶：力偶：作用在同一物体上，大小相等、方向相反、又不作用在同一物体上，大小相等、方向相反、又不在同一直线的两个力称力偶。在同一直线的两个力称力偶。BAAFBPAArBFBr0BAFF力偶的合力为力偶的合力为0：力偶面：

10、力偶面：力偶所在的平面。力偶所在的平面。力偶对于力偶面内任意一点力偶对于力偶面内任意一点P的力矩的力矩:BBAAFrFrMABAFrr)(BABFrr)(AFBABFABFBA M两力间的垂直距离：两力间的垂直距离：力偶臂力偶臂理论力学理论力学刚体力学刚体力学力偶矩力偶矩力偶矩：力偶矩：是力与力偶臂的乘积。力偶矩是力偶唯一的力是力与力偶臂的乘积。力偶矩是力偶唯一的力学效果。学效果。BFABAFBAM垂直于力偶面，遵从右手螺旋法则。垂直于力偶面，遵从右手螺旋法则。为为自由矢量自由矢量，可以作用在力偶面内的任意一点。，可以作用在力偶面内的任意一点。MFFMFF多个共面力偶多个共面力偶可以进行力偶可

11、以进行力偶矩合成，不受矩合成，不受作用点限制！作用点限制！（与力有别与力有别）BAAFBFCCF？理论力学理论力学刚体力学刚体力学力系的简化力系的简化2作用在刚体上的每个力，都可化为经过任意一点作用在刚体上的每个力，都可化为经过任意一点P的一个的一个力和一个力偶。因此不论多复杂的力系都可以求得一个力和一个力偶。因此不论多复杂的力系都可以求得一个合力和一个合力偶。合力和一个合力偶。P点称为点称为简化中心简化中心；合力称为；合力称为主矢主矢；力偶矩矢量和（合力偶）称为力偶矩矢量和（合力偶）称为主矩主矩。APrF021 FFFFF21APrF1F2FFrMFF：构成一力偶，力偶矩为和2BAAFBFC

12、CFCBAFFFFCAFrFrM21BAAFBFCCF1r2r理论力学理论力学刚体力学刚体力学力系的简化力系的简化3力系的简化中心可以任意选取，选取原则是简化问题力系的简化中心可以任意选取，选取原则是简化问题的研究。的研究。通常以质心为刚体力系的简化中心。通常以质心为刚体力系的简化中心。主矢主矢将使刚体质将使刚体质心的心的平动状态平动状态发生变化；发生变化；主矩主矩将使刚体绕通过质心的将使刚体绕通过质心的轴线的轴线的转动状态转动状态发生变化发生变化。在对刚体力系做了简化后，就可以讨论描述刚体运在对刚体力系做了简化后，就可以讨论描述刚体运动的微分方程了。动的微分方程了。对于不同的简化中心，主矢和

13、主矩是否相同？对于不同的简化中心，主矢和主矩是否相同？如果不同，会不会影响刚体的运动？如果不同，会不会影响刚体的运动？思考思考理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体运动微分方程刚体运动微分方程1刚体质心刚体质心C的运动微分方程：的运动微分方程：xyzOiPCircrirxyzFFrmnieic 1)(刚体刚体质量质量质心加速度质心加速度主矢主矢刚体在质心动系中的动量矩定理：刚体在质心动系中的动量矩定理： nieiiFrMdtJd1)(对质心的对质心的主矩主矩质心系中对质心的总质心系中对质心的总动量矩动量矩六个独立变量六个独立变量六个运动微分六个运动微分方程方程刚体运动可唯一描述！刚体运动可唯一描

14、述！理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体运动微分方程刚体运动微分方程2（1）它的质心好象一个具有质量）它的质心好象一个具有质量m的质点，而所有外的质点，而所有外力作用在此质点上，且此时动量对时间的微商等于所有力作用在此质点上，且此时动量对时间的微商等于所有外力的矢量和。外力的矢量和。（2）刚体在相对于随质心平动的动坐标系的运动中，）刚体在相对于随质心平动的动坐标系的运动中，对质心对质心C的动量矩对时间的微商，等于所有外力对的动量矩对时间的微商，等于所有外力对C的力的力矩的矢量和。（当转动对于固定系的某定点而言时，也矩的矢量和。（当转动对于固定系的某定点而言时，也有类似结果）有类似结果） 。有时

15、也可用动能定理来代替以上得到的某个运动微分方有时也可用动能定理来代替以上得到的某个运动微分方程。程。rdFdTniei1)(绝对元位移绝对元位移由前面结果可知，对于自由刚体，假如在多由前面结果可知，对于自由刚体，假如在多个外力作用下在空间运动，则有：个外力作用下在空间运动，则有：理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体平衡方程刚体平衡方程只有当刚体受力的矢量和为零，并且受力对于任意一点只有当刚体受力的矢量和为零，并且受力对于任意一点力矩的矢量和也为零时，刚体才会处于平衡状态。力矩的矢量和也为零时，刚体才会处于平衡状态。刚体平衡方程：刚体平衡方程：00MF0, 0, 00, 0, 0zyxzyxMM

16、MFFF共面（共面（xy）力系）力系：0, 0, 0zyxMFF共点（共点（O）力系）力系：0, 0, 0zyxFFF共面（共面（xy）共点（）共点（O）力系）力系：0, 0yxFF共线（共线（x）力系）力系：0 xF理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体平衡方程刚体平衡方程_例题例题例（例（教材教材P172）：一根均匀的棍子，重为）：一根均匀的棍子，重为P，长为，长为2l。将其一端置于粗糙地面，而将其一端置于粗糙地面，而C点靠在离地面点靠在离地面h高的墙上。高的墙上。当棍子与地面的角度为最小值当棍子与地面的角度为最小值 时，棍子在上述位置仍时，棍子在上述位置仍处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系

17、数处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系数 。0解：解：根据题意画出受力图，根据题意画出受力图，在如图所示的坐标系中，有在如图所示的坐标系中，有平衡方程：平衡方程：0; 0; 0zyxMFF即：即：ABCxyOhPf2N1N000ll0sin01 fN0cos201PNN0sincos010hNPl) 1 ()2() 3(理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体平衡方程刚体平衡方程_例题例题求解上面的方程组：求解上面的方程组：ABCxyOhPf2N1N000ll0sin01 fN0cos201PNN0sincos010hNPl) 1 ()2() 3(hPlN/ )cossin(3001）得：由（hPl

18、NfN/ )cossin(sin1002011）：代入（将hPlPNPNN/ )cossin(cos) 2(0200121：代入将0200020200022cossincossin/ )cossin(/ )cossin(lhlhPlPhPlNf理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体的动量矩刚体的动量矩1刚体的动量矩：刚体的动量矩：xyzOiriPiiniiiivmrJ1niiiirmr1)(niiiiirrrm12)(iirv一般并不共线！和角速度动量矩Jkjikzjyixrzyxiiii；又：niiziyixiiiiiizyxizyxkzjyixzyxkjimJ1222)()(理论力学理论力学

19、刚体力学刚体力学刚体的动量矩刚体的动量矩2niiziyixiiiiiizyxizyxkzjyixzyxkjimJ1222)()(niiziyixiiiixiizyxxzyxmJ1222)()(niiziyixiiiiyijzyxyzyxm1222)()(niiziyixiiiizikzyxzzyxm1222)()(niiziyiiixiizyxzymJ122)()(niizixiiiyijzxyzxm122)()(niiyixiiizikyxzyxm122)()(理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体的动量矩和转动惯量刚体的动量矩和转动惯量niiiixxzymI122)(niiiizzyxmI1

20、22)(niiiiyyxzmI122)(令：令：niiiizyyzzymII1niiiixzzxxzmII1niiiiyxxyyxmII1以上为轴转动惯量以上为轴转动惯量以上为惯量积以上为惯量积简化表达的动量矩了。这样就可以得到用惯量，又kJjJiJJzyx理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体的动量矩和惯量张量刚体的动量矩和惯量张量zxzyxyxxxxIIIJzyzyyyxyxyIIIJzzzyzyxzxzIIIJzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxIIIIIIIIIJJJ即：刚体动量矩在刚体动量矩在各坐标轴上的各坐标轴上的投影：投影：该矩阵称刚体对该矩阵称刚体对O点的点的惯量张量

21、，惯量张量，矩阵中的各元素（轴转动惯量和惯量积）矩阵中的各元素（轴转动惯量和惯量积）称惯量张量的称惯量张量的组元组元，也叫，也叫惯量系数惯量系数。理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体的转动动能刚体的转动动能1刚体对定点刚体对定点O的转动动能：的转动动能：xyzOiriPiiniiivmT1221iirvniiiivvm1)(21niiiirvm1)(21niiiivrm1)(21niiiivmr1)(21J21)(21zzyyxxJJJzxzyxyxxxxIIIJzyzyyyxyxyIIIJzzzyzyxzxzIIIJ)222(21222yxxyxzzxzyyzzzzyyyxxxIIIIIIT

22、理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体的转动动能刚体的转动动能2刚体对定点刚体对定点O的转动动能也可写为：的转动动能也可写为：xyzOiriPiiiirvniiiivvmT1)(21niiiirrm1)()(21niiim12221iiiirrsinniiim12221221IT 转动惯量是物体转动时惯性的量度。其大小取决转动惯量是物体转动时惯性的量度。其大小取决于刚体于刚体质量分布质量分布、形状形状和和转轴的位置转轴的位置。注意注意刚体绕转动瞬轴的刚体绕转动瞬轴的转转动惯量动惯量niiimI12理论力学理论力学刚体力学刚体力学转动惯量转动惯量1只要计算出刚体的三个轴转动惯量和三个惯量积，再代只

23、要计算出刚体的三个轴转动惯量和三个惯量积，再代入转轴的方向余弦，就可求得刚体相对于该转轴的转动入转轴的方向余弦，就可求得刚体相对于该转轴的转动惯量惯量I了。了。)222(21222yxxyxzzxzyyzzzzyyyxxxIIIIIIT221IT xyzxyzzzyyxxIIIIIII222222，则：即：；，的方向余弦为若转轴相对于三坐标轴zyx,理论力学理论力学刚体力学刚体力学转动惯量转动惯量2具有质量分布的刚体的转动惯量，可等效于集所有质量具有质量分布的刚体的转动惯量，可等效于集所有质量于一身的一个质点的转动惯量，该等效质点离轴线的垂于一身的一个质点的转动惯量，该等效质点离轴线的垂直距离

24、为直距离为k，称为刚体对该轴线的，称为刚体对该轴线的回转半径回转半径。2mkI 平行轴定理平行轴定理：刚体对于某轴线的转动惯量，等于它对通：刚体对于某轴线的转动惯量，等于它对通过质心并与该轴平行的轴线的转动惯量，外加刚体质量过质心并与该轴平行的轴线的转动惯量，外加刚体质量与两轴间垂直距离的平方的乘积。即：与两轴间垂直距离的平方的乘积。即：2mdIIC练习练习1：自行证明该定理！：自行证明该定理！正交轴定理正交轴定理：当刚体的质量为面分布时，刚体对该平面：当刚体的质量为面分布时，刚体对该平面内任意两个正交轴线的转动惯量之和，等于它对过交点内任意两个正交轴线的转动惯量之和，等于它对过交点的另一正交

25、轴的转动惯量。如果质量分布在的另一正交轴的转动惯量。如果质量分布在xoy平面内则平面内则有：有：yyxxzzIII练习练习2：自行证明该定理！：自行证明该定理！理论力学理论力学刚体力学刚体力学转动惯量转动惯量3yzdmIIzyyzzxdmIIxzzxxydmIIyxxydmzyIxx)(22dmxzIyy)(22dmyxIzz)(22zzzyzxyzyyyxxzxyxxIIIIIIIIII求质量按规律分布，且形状规则的刚体的转动惯量，求求质量按规律分布，且形状规则的刚体的转动惯量，求和变积分：和变积分：转动惯量矩阵表达：转动惯量矩阵表达：理论力学理论力学刚体力学刚体力学惯量椭球惯量椭球1通过刚

26、体上的某定点通过刚体上的某定点O的轴线可以有无数条，刚体对于各的轴线可以有无数条，刚体对于各条都有一个转动惯量，现考虑将各轴的转动惯量条都有一个转动惯量，现考虑将各轴的转动惯量I大小反大小反应为几何量。做法：在转轴上截取一点应为几何量。做法：在转轴上截取一点Q，使它到，使它到O点的点的线段长度满足：线段长度满足：IROQ/1Q点的坐标为：点的坐标为：),(),(RRRzyxIzIyIx;xyzxyzzzyyxxIIIIIII222222将其代入转动惯量方程：将其代入转动惯量方程：xyIIzxIIyzIIIzIIyIIxIIxyzxyzzzyyxx2222221222222xyIzxIyzIzI

27、yIxIxyzxyzzzyyxx即：此为一椭球方程，由反映各轴惯量大小的线段端点构成此为一椭球方程，由反映各轴惯量大小的线段端点构成的，称为的，称为O点的惯量椭球点的惯量椭球。R0I所以，一般理论力学理论力学刚体力学刚体力学惯量椭球惯量椭球2刚体上的每个点都对应一个惯量椭球。刚体上的每个点都对应一个惯量椭球。质心所对应的惯量椭球称为质心所对应的惯量椭球称为中心惯量椭球中心惯量椭球。已知惯量椭球，可以由某轴上矢径的长度求出刚体绕该已知惯量椭球，可以由某轴上矢径的长度求出刚体绕该轴转动时的转动惯量；反之，已知刚体对三坐标轴的转轴转动时的转动惯量；反之，已知刚体对三坐标轴的转动惯量和它们的惯量积，便

28、可以写出坐标原点的惯量椭动惯量和它们的惯量积，便可以写出坐标原点的惯量椭球方程。球方程。选择合适的坐标轴可以消去惯量积。选择合适的坐标轴可以消去惯量积。每个惯量椭球都有三条相互垂直的主轴，称为惯量主轴。每个惯量椭球都有三条相互垂直的主轴，称为惯量主轴。设其长度分别为设其长度分别为a，b，c。若把它们分别取为。若把它们分别取为x，y，z轴，轴，则该惯量椭球的方程可表示为：则该惯量椭球的方程可表示为：1222222czbyax理论力学理论力学刚体力学刚体力学惯量椭球惯量椭球3由定义由定义IROQ/1知：知：zzyyxxIcIbIa/1;/1;/11222222czbyax1222zIyIxIzzy

29、yxx惯量椭球方程为：可见在这种坐标选择下，惯量积项已经被消去了。仅剩三可见在这种坐标选择下，惯量积项已经被消去了。仅剩三个主转动惯量项，无需双下标，故通常记为：个主转动惯量项，无需双下标，故通常记为：1232221zIyIxI刚体动量矩：刚体动量矩：kIjIiIJzyx321)(23222121zyxIIIT刚体转动动能刚体转动动能：理论力学理论力学刚体力学刚体力学惯量主轴求法惯量主轴求法如果刚体具有对称面，那么对称面中任意一点的垂线如果刚体具有对称面，那么对称面中任意一点的垂线必为过该点的一条惯量主轴。必为过该点的一条惯量主轴。如果刚体具有对称轴，那么对称轴必为轴上任意一点如果刚体具有对称

30、轴，那么对称轴必为轴上任意一点的惯量主轴。的惯量主轴。对于一个对于一个质量对称分布质量对称分布或者或者具有几何对称性具有几何对称性的质量均匀的刚体的质量均匀的刚体，在求惯量主轴时，有下，在求惯量主轴时，有下列简便的几何法则：列简便的几何法则：理论力学理论力学刚体力学刚体力学例题例题_转动惯量的求法转动惯量的求法直接根据定义用积分来求直接根据定义用积分来求先计算惯量张量中的各组元，和转轴的方向余弦，再代先计算惯量张量中的各组元，和转轴的方向余弦，再代入公式求绕轴的转动惯量入公式求绕轴的转动惯量I。先找出惯量转轴，取惯量主轴为坐标轴，再作计算。先找出惯量转轴，取惯量主轴为坐标轴，再作计算。例题（参

31、见教材例题（参见教材P182）附加问题：附加问题：写出该长方形薄片定点及质写出该长方形薄片定点及质心处的惯量椭球方程。心处的惯量椭球方程。该问题是该问题是“薄片薄片”问题，不必考虑厚度。问题，不必考虑厚度。理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体的平动刚体的平动刚体平动时可用质心的运动来代表。刚体平动时可用质心的运动来代表。由于刚体平动时，刚体其它部分与质心作类似运动，无由于刚体平动时，刚体其它部分与质心作类似运动，无相对于质心的转动。所以存在刚体相对于质心的力矩平衡：相对于质心的转动。所以存在刚体相对于质心的力矩平衡：但实际中，作平动的刚体通常受到约束，即上式的但实际中，作平动的刚体通常受到约束

32、，即上式的F表达表达式中包含未知的约束力，所以还需要附加方程。式中包含未知的约束力，所以还需要附加方程。质心的运动微分方程：质心的运动微分方程：Frmc xcFxm ycFym zcFzm ) 1 (0cM)2(同时考虑便可得：和)2()1 (1、平动刚体的运动规律、平动刚体的运动规律2、约束反作用力、约束反作用力骑自行车时，为何不能急刹前闸？骑自行车时，为何不能急刹前闸？思考思考理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体定轴转动刚体定轴转动1对于定轴转动的刚体，通常对于定轴转动的刚体，通常选该定轴为选该定轴为z轴轴。xyzOiriPiiROn 刚体上的各点轨道都是一个刚体上的各点轨道都是一个平行于

33、平行于xoy平平面面，且，且以以z轴上的垂足为圆心轴上的垂足为圆心的的圆圈圆圈。刚体上的各点间不同的量：刚体上的各点间不同的量：iviai刚体上的各点间相同的量：刚体上的各点间相同的量：iirv相互关系相互关系1：)sin(iiirv )(iiRv 理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体定轴转动刚体定轴转动2dtrddtvdaiii)(相互关系相互关系2：xyzOiriPiiROn dtrdrdtdiiiivr)sin(iiiRrnRRii)()(2肯定沿转轴。定轴转动：iaina理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体定轴转动刚体定轴转动3动量矩定理动量矩定理定轴转动刚体的动量矩定理定轴转动刚体的

34、动量矩定理MdtJdzzMdtdJzzzzzzMdtIdIJ)(，又：为定值。坐标轴确定后，对确定刚体，zzIzzzzzMII刚体定轴转动的动刚体定轴转动的动力学方程力学方程求解动力学方程便得描述刚体转动的运动方程：求解动力学方程便得描述刚体转动的运动方程：)(t定轴转动刚体的动能：定轴转动刚体的动能：221zzIT 若所受外力皆为保守力，则：若所受外力皆为保守力，则：EVIzz221理论力学理论力学刚体力学刚体力学例题例题_复摆复摆1例（例（教材教材P188）：设质量为）：设质量为m的复摆绕通过某点的复摆绕通过某点O的水的水平轴作微小振动，试求其运动方程及振动周期，并加以平轴作微小振动，试求

35、其运动方程及振动周期，并加以讨论。讨论。单摆：数学摆单摆：数学摆复摆：物理摆复摆：物理摆xyOgmOxyCl刚体复摆悬于刚体复摆悬于O点，其质心点，其质心C距悬点距悬点O为为l，它绕通过悬点且垂直于纸面的轴摆动。它绕通过悬点且垂直于纸面的轴摆动。图示为刚体包含质心的一个剖面。图示为刚体包含质心的一个剖面。假设刚体绕该定轴的转动惯量为假设刚体绕该定轴的转动惯量为I0，回旋，回旋半径为半径为k0，即：，即：200mkI 定轴转动的动力学方程：定轴转动的动力学方程：zzzIM 20sinmkmgl即：020kgl 理论力学理论力学刚体力学刚体力学例题例题_复摆复摆2通解通解xyOgmOxyCl020

36、kgl )sin(20tkglA)sin(0tImglA200mkI 2220lkkc)sin(22tlkglAcgllkmglIglkc22020222理论力学理论力学刚体力学刚体力学例题例题_复摆复摆3xyOgmOxyClllklkmlIlc222001gllkmglIglkc22020222复复摆周期：复摆周期：gl12单单摆周期：单摆周期：复单单摆摆长单摆摆长此为该刚体的等值单摆摆长此为该刚体的等值单摆摆长1lOO即：相当于集所有质量于即：相当于集所有质量于O点的一个单摆。点的一个单摆。复摆的复摆的振动中心振动中心理论力学理论力学刚体力学刚体力学例题例题_复摆复摆4gllkmglIgl

37、kc22020222复以以O为悬为悬点的周期：点的周期：以以O为悬为悬点的周期：点的周期：复复悬点悬点和和振动中心振动中心可以互换。可以互换。xyOgmOxyClxyOgmOxyCllkc/2gllkllgllkcc2212122)()(2复lkllCOc/21应用：实验测定重力加速度应用：实验测定重力加速度g。优于单摆方法。优于单摆方法。理论力学理论力学刚体力学刚体力学思考思考棒球手或垒球手怎样打球可以避免手棒球手或垒球手怎样打球可以避免手受到很强的冲击，减小疼痛？受到很强的冲击，减小疼痛？思考思考利用复摆测定重力加速度比单摆精确利用复摆测定重力加速度比单摆精确的原因？的原因？理论力学理论力

38、学刚体力学刚体力学补充例题补充例题_教材教材P228gb2ga2Oaabb设均质棒的线密度为设均质棒的线密度为 ，可证，可证明长为明长为x的棒对于过其端点的垂的棒对于过其端点的垂直轴的转动惯量为：直轴的转动惯量为： 。所以：该摆对于过所以：该摆对于过O点的转动轴点的转动轴的转动惯量为：的转动惯量为：331xI要想得角度的关系（运动方程），要想得角度的关系（运动方程），需解定轴转动的动力学方程，而需解定轴转动的动力学方程，而这首先要得到相对于定轴的转动这首先要得到相对于定轴的转动惯量和力矩的表达式。惯量和力矩的表达式。)()2()2(3338331331babaIzz选夹角增大的方向选夹角增大的

39、方向(向内向内)为正方向，则摆对于过为正方向，则摆对于过O点的转动点的转动轴的力矩为：轴的力矩为：sin2cos2bgbagaMz)sincos(222bagMz理论力学理论力学刚体力学刚体力学补充例题补充例题_教材教材P228gb2ga2OaabbzzzMI 定轴转动的动力学方程：定轴转动的动力学方程：即：即：)sincos(2)(223338bagba 02203334)sincos()(dbagdba22223332)cossin()(gbbagba。，且）时，有取最大值（记为夹角00mmmbacos1sin22两边都乘以两边都乘以 后根据初始条件积分：后根据初始条件积分：d理论力学理论

40、力学刚体力学刚体力学补充例题补充例题_教材教材P228gb2ga2Oaabbmmbacos1sin22此即夹角最大值所满足的关系，此即夹角最大值所满足的关系，然而我们从中仍然没有一个直观然而我们从中仍然没有一个直观和明了的感觉。和明了的感觉。不过我们对于这样一个摆在平衡状态下的夹角是很容易测不过我们对于这样一个摆在平衡状态下的夹角是很容易测得的，设为得的，设为 ，下面我们来看一下两者是否有一定的关系。，下面我们来看一下两者是否有一定的关系。02200cossinba平衡时力矩和为零：平衡时力矩和为零：0)sincos(20202bagMzmmsincos1cossin00有：理论力学理论力学刚

41、体力学刚体力学补充例题补充例题_教材教材P228gb2ga2Oaabbmmsincos1cossin00有：222200cossin2sin2cossinmmm22cossinmm02m即：短棒与垂线间的最大夹角为平衡时夹角的两倍。即：短棒与垂线间的最大夹角为平衡时夹角的两倍。理论力学理论力学刚体力学刚体力学定轴转动时轴上的附加压力定轴转动时轴上的附加压力1定轴转动为非自由运动。轴对刚体具有约定轴转动为非自由运动。轴对刚体具有约束作用。束作用。如何求出约束反力呢？如何求出约束反力呢？xyzABAyNAxNAzNByNBxN1F2F定轴转动定轴转动刚体刚体A、B两点不动两点不动轴的约束轴的约束A

42、、B两点的约束反力两点的约束反力动量定理（动量定理（3）动量矩定理（动量矩定理（3）刚体运动规律（刚体运动规律（1）A、B处的约束反力（处的约束反力（5）理论力学理论力学刚体力学刚体力学定轴转动时轴上的附加压力定轴转动时轴上的附加压力2xyzABAyNAxNAzNByNBxN1F2F动量定理：动量定理：kjjxBxAxniiiFNNxm11 kjjyByAyniiiFNNym11 kjjzAzniiiFNzm11 iirviiyxiixy 0iz iiiyxx2 iiixyy20iz 理论力学理论力学刚体力学刚体力学定轴转动时轴上的附加压力定轴转动时轴上的附加压力3kjjxBxAxniiiiF

43、NNyxm112)(kjjyByAyniiiiFNNxym112)(kjjzAzFN10cniiicniiimyymmxxm11;又主xBxAxccFNNmymx2主yByAyccFNNmxmy2主zAzFN0理论力学理论力学刚体力学刚体力学定轴转动时轴上的附加压力定轴转动时轴上的附加压力4刚体对刚体对A点的动量矩定理：点的动量矩定理：MJdtdxyzABAyNAxNAzNByNBxN1F2F主zniiiiiiMxyyxmdtd1)(主xByniiiiiiMNAByzzymdtd1)(主yBxniiiiiiMNABzxxzmdtd1)(zxyzniiiiiiIIxzyzm212)(niiiii

44、iniiiiiiyzzymyzzymdtd11)()( 理论力学理论力学刚体力学刚体力学定轴转动时轴上的附加压力定轴转动时轴上的附加压力5主zzzMI主xByzxyzMNABII2主yBxyzzxMNABII2主xBxAxccFNNmymx2主yByAyccFNNmxmy2主zAzFN0此为刚体绕固定轴转动的动力学方程此为刚体绕固定轴转动的动力学方程对对A点的动点的动量矩定理量矩定理动量定理动量定理理论力学理论力学刚体力学刚体力学定轴转动时轴上的附加压力定轴转动时轴上的附加压力6附加压力为零的定轴转动刚体，我们称其达到了附加压力为零的定轴转动刚体，我们称其达到了动平衡状态动平衡状态。此时的转轴

45、称为。此时的转轴称为自由转轴自由转轴。0刚体处于平衡状态，刚体处于平衡状态，A、B两点的力称两点的力称静力反作用力静力反作用力。0, 0刚体处于非平衡状态，刚体处于非平衡状态，A、B两点的力称两点的力称动力反作用力动力反作用力。静力反作用力静力反作用力动力反作用力动力反作用力附加压力附加压力理论力学理论力学刚体力学刚体力学定轴转动时轴上的附加压力定轴转动时轴上的附加压力7动平衡的充要条件：动平衡的充要条件：0, 002zxyzII02zxyzII02ccyx02ccyx 00zxyzccIIyx即刚体的质心位于转动轴上，且转动轴是一惯量主轴。即刚体的质心位于转动轴上，且转动轴是一惯量主轴。理论

46、力学理论力学刚体力学刚体力学例题例题_附加压力附加压力例：例：(教材教材P192)，参看书本。，参看书本。高速运转物体的附加压力远大于静力反作用力，且高速运转物体的附加压力远大于静力反作用力，且为周期性冲击，会对轴承造成严重损伤。因此，保为周期性冲击，会对轴承造成严重损伤。因此，保证高速运转物体的动平衡是机器安装的一个重要方证高速运转物体的动平衡是机器安装的一个重要方面。面。注意注意理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体平面平行运动刚体平面平行运动对于作平面平行运动的刚体，空间运动问题可以简化为对于作平面平行运动的刚体，空间运动问题可以简化为一平面运动问题。只需研究刚体内任意一个与固定平面一平面

47、运动问题。只需研究刚体内任意一个与固定平面平行的平行的截面截面即可。即可。纯平动纯平动平面平行运动平面平行运动纯转动纯转动薄片上所有点的薄片上所有点的速度、加速度都速度、加速度都与基点相同。与基点相同。任意一点的速度、任意一点的速度、加速度可由定轴加速度可由定轴转动规律得到。转动规律得到。AB理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体平面平行运动刚体平面平行运动_速度、加速度速度、加速度设基点设基点A的速度为的速度为 ，而它的位矢为，而它的位矢为 ，则薄片中位矢，则薄片中位矢为为 的任意一点的速度为：的任意一点的速度为：Av0rr)(0rrvvAxyzO0rrAyzxrP加速度为：加速度为：dtrr

48、vddtvdaA)(0)()(00rrrrdtddtvdA)()()(0200rrrrrraA)()(020rrrraaA方向？！方向？！理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体平面平行运动刚体平面平行运动 _转动瞬心转动瞬心1转动瞬心转动瞬心：当作平面运动的刚体（薄片）的角速度不为：当作平面运动的刚体（薄片）的角速度不为零时，在任一时刻，薄片所在的平面上总会有一个速度零时，在任一时刻，薄片所在的平面上总会有一个速度为零的点，该点称为转动瞬心，记为为零的点，该点称为转动瞬心，记为C。令速度为零可得转动瞬心相对于固定系的坐标：令速度为零可得转动瞬心相对于固定系的坐标：)(0rrvvA)()(00 x

49、xvvyyvvAyyAxxAxCAyCvyyvxx00;转动瞬心相对于转动瞬心相对于A点动系的坐标：点动系的坐标：xACyACvyvx;构成构成空间极迹空间极迹（固定平面）（固定平面）构成构成本体极迹本体极迹（薄片动系）（薄片动系）理论力学理论力学刚体力学刚体力学刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 _转动瞬心转动瞬心2若选转动瞬心若选转动瞬心C为基点，薄片的运动会是什么情况？为基点，薄片的运动会是什么情况？薄片的平面平动薄片的平面平动绕基点（转动瞬心）的转动绕基点（转动瞬心）的转动如何寻找和确定转动瞬心？如何寻找和确定转动瞬心？对于纯转动而言，速度垂直于位矢，所以只要知道薄片对于纯转动而言，

50、速度垂直于位矢，所以只要知道薄片上任两点的速度，就可以找出转动瞬心。上任两点的速度，就可以找出转动瞬心。本体极迹和空间极迹在某时刻的公切点即此时的转动瞬心。本体极迹和空间极迹在某时刻的公切点即此时的转动瞬心。薄片的平面平动薄片的平面平动本体极迹在空间极迹上无滑滚动本体极迹在空间极迹上无滑滚动转动瞬心的速度为零，但加速度不为零转动瞬心的速度为零，但加速度不为零!转动瞬心不一定在薄片上，在其所在的平面！转动瞬心不一定在薄片上，在其所在的平面！注意注意AAvCAvAACvrACr从基点速度矢量开始，顺转一直角从基点速度矢量开始，顺转一直角的方向上，取线段的方向上，取线段/AvAC 理论力学理论力学刚