2019版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率第55讲排列与组合学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 55 讲 排列与组合 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解排列、组合的概念 2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式 3能用排列与组合解决简单的实际问题 . 2017 全国卷 ， 6 2017 浙江卷， 16 2016 全国卷 ，12 2016 四川卷， 4 两个计数原理与排列、组合的综合问题是高考的热点，以考查基本概念、基本方法 (如 “ 含 ”“ 不含 ” 问题、相邻问题、相间问题 )为主，主要考查分类讨论思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力 . 分值： 5 分 1排列与组合的概念 名称 定义 排列 从 n 个不同元素中取出 m(m n)个

2、元素 按照 _一定的顺序 _排成一列 组合 合成一组 2排列数与组合数 (1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 _Amn_表示 (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的 _所有不同组合 _的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 _Cmn_表示 3排列数、组合数的公式及性质 公式 Amn _n(n 1)(n 2)?( n m 1)_ n！?n m?！ ， Cmn AmnAmm _n?n 1?n 2? ?n m 1?m！ _n！m！ ?n m?！ 性质

3、0！ _1_， Ann _n！ _， Cmn Cn mn ， Cmn 1 _Cmn Cm 1n _ 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列 ( ) (2)Amn n(n 1)(n 2)?( n m) ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)若组合式 Cxn Cmn，则 x m 成立 ( ) (4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况也就是说，如果某个元素已被取 出，则这个元素就不再取了 ( ) (5)C22 C23 C24 ? C2n C3n 1.( ) 2用数字 1,2,3,4,5 组成的无重

4、复数字的四位偶数的个数为 ( C ) A 8 B 24 C 48 D 120 解析 C12A 34 2432 48. 3 A， B， C， D， E 五人并排站成一排，如果 B 必须在 A 的右侧 (A， B 可以不相邻 )，那么不同的排法共有 ( B ) A 24 种 B 60 种 C 90 种 D 120 种 解析 可先排 C， D， E 三人，共有 A35种，剩余 A， B 两人只有一种排法故满足条件的排法共有 A351 60 种 4方程 3A3x 2A2x 1 6A2x的解为 _5_. 解析 由排列数公式可知 3x(x 1)(x 2) 2(x 1)x 6x(x 1)， x 3 且 x

5、N ， 3(x 1)(x 2) 2(x 1) 6(x 1)， 即 3x2 17x 10 0， (3x 2)(x 5) 0， x 5. 5已知 1Cm5 1Cm6 710Cm7，则 Cm8 _28_. 解析 由已知得 m 的取值范围为 m|0 m5 ， m Z， m！ ?5 m?！5！ m！ ?6 m?！6！ 7 ?7 m?！ m！107 ！ ， 整理可得 m2 23m 42 0，解得 m 21(舍去 )或 m 2. 故 Cm8 C28 28. 一 排列问题 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有

6、限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法 (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限=【 ;精品教育资源文库 】 = 制条件的排列问题的常用方法 【例 1】 (1)3 名 男生， 4 名女生，选其中 5 人排成一排，则有 _2_520_种不同的排法 (2)将某大学 4 名大四学生安排到某城市的甲、乙、丙、丁四所中学进行教学实习，要求每所学校都分一名学生，且学生 A 不分到甲校，则不同的实习安排方案共有 _18_种 解析 (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排出， 有 A57 2 520 种排法 (2)先将 A 分配到乙校，再分配另外 3 个学

7、生，有 A33种方法，同理可得，将 A 分配到丙丁各有 A33种，则共有 3A33 18(种 ) 二 组合问题 (1)“ 含有 ” 或 “ 不含有 ” 某些元素的组合题型 “ 含 ” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “ 不含 ” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 (2)“ 至少 ” 或 “ 最多 ” 含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理 【例 2】 (1)若从 1,2,3， ? ， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是 ( D ) A 60 B 63 C 65 D 66 (2)要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动，

8、A， B， C 三人必须入选， 则有 _36_种不同选法 解析 (1)因为 1,2,3， ? ， 9 中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故有 C45 C44 C25C24 66 种不同的取法 (2)只需从 A， B， C 之外的 9 人中选择 2 人，即有 C29 36 种选法 三 排列组合的综合问题 利用先选后排法解决问题的三个步骤 【例 3】 从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 ( C ) A 300 B 216 C 180 D 162 =

9、【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 分两类：第 1 类，不取 0，即从 1,2,3,4,5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有 C23C22A44 72(个 )没有重复数字的四位数； 第 2 类，取 0，此时 2 和 4 只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可 知，共有 C12C23(A44 A33) 108(个 )没有重复数字的四位数根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有 72 108 180(个 ) 四 分组分配问题 分组分配问题的处理策略 (1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配，在分组时，

10、通常有三种类型： 不均匀分组； 均匀分组； 部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异 (2)对于相同元素的 “ 分配 ” 问题，常用的方法是采用 “ 隔 板法 ” 【例 4】 (1)(2017 全国卷 )安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有 ( D ) A 12 种 B 18 种 C 24 种 D 36 种 (2)(2017 浙江卷 )从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2人组成 4人服务队，要求服务队中至少有 1名女生，共有 _660_种不同的选法 (用数字作答 ) 解析

11、(1)因为安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，所以必有 1 人完成 2 项工作先把 4 项工作分成 3 组 ，即 2,1,1，有 C24 6 种，再分配给 3个人，有 A33 6 种，所以不同的安排方式共有 66 36(种 ) (2)分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，故有 C48 C46 55 种不同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、副队长各 1 人，有 A24 12 种不同的选法根据分步乘法计算原理知共有 5512 660 种不同的选法 1从 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字中任意取 4 个数字 组成一个没有重复数字且

12、能被 3 整除的四位数，这样的四位数有 _96_个 解析 依题意，只需组成的四位数各位数字的和能被 3 整除将这 6 个数字按照被 3 除和余数分类，共分为 3 类： 0,3， 1,4， 2,5，若四位数含 0，则另外 3 个数字分别为1,4 之一， 2,5 之一， 3，此时有 C12C12C13A33 72 种；若四位数不含 0，则 4 个数字为 1,2,4,5，此时有 A44 24 种，由分 类计数原理，这样的四位数有 72 24 96 个 2 “ 渐升数 ” 是指每个数字比它左边的数字大的正整数 (如 1 458)，若把四位 “ 渐升数 ” 按从小到大的顺序排列，则第 30 个数为 _1

13、_359_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 “ 渐升数 ” 由小到大排列，形如 的 “ 渐升数 ” 共有 6 5 4 32 1 21 个； 形如 的 “ 渐升数 ” 共有 5 个； 形如 的 “ 渐升数 ” 共有 4 个，故此时共有 21 5 4 30 个，因此按从小到大的顺序排列的四位 “ 渐升数 ” 的第 30 个数为 1 359. 3由 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成的无重复数字的自然数，求： (1)有多少个含有 2,3，但它们不相邻的五位数？ (2)有多少个数字 1,2,3 必须由大到小顺序排列的六位数？ 解析 (1)先不考虑 0 是否在首位， 0,1,4,5 先排三

14、个位置，则有 A34个， 2,3 去排四个空位，有 A24个，即有 A34A24个； 而 0 在首位时，有 A23A23个， 即有 A34A24 A23A23 252 个含有 2,3，但它们不相邻的五位数 (2)在六个位置先排 0,4,5，先不考虑 0 是否在首位，则有 A36个，去掉 0 在首位，即有A36 A25个， 0,4,5 三个元素排在六个位置上留下了三个空位， 1,2,3 必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有 A36 A25 100 个六位数 ? ?另：用倍缩法得 A15A55A33 100 . 4从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数，试问： (1

15、)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中， 3 个偶数排在一起的有几个？ (3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ 解析 (1)分三步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，有 C34种情况；第二步，在 5 个奇数中取 4 个，有 C45种情况；第三步， 3 个偶数， 4 个奇数进行排列，有 A77种情况所以符合题意的七位数有 C34C45A77 100 800 个 (2)上述七位数中， 3 个偶数排在一起的有 C34C45A55A33 14 400 个 (3)上述七位数中， 3 个偶数排在一起， 4 个奇数也排在一起的有 C34C45A33A44A22 5 760 个 易错点 错用 “ 隔板法 ” 错因分析： 不熟悉 “ 隔板 ” 法所处理问题的两个基本特点：元素必须相同；必须保证每组至少 1 个元素 当问