高考数学限时训练 (33).doc

1、一、选择题 1.一批救灾物资随 26 辆汽车从 A 市以 v km/h 匀速直达灾区，已知两地公路长 400 km，为安全起见，两车间距不得小于 v 20 2 km，那么这批物资全部到灾 区，至少需要_h( ) A.5 B.10 C.15 D.20 解析 依题意，所用时间为 25 v 20 2 400 v 25 400v 400 v 10，当且仅当 v 80 时取等号. 答案 B 二、填空题 2.设通过一点的 k 的平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这 k 个平面将空间分成 f(k)个部分，则 k1 个平面将空间分成 f(k1)f(k) _个部分. 解析 k1，f(k)2.k2

2、，f(k)4，4221.k3，f(k)8，844 22.所以，f(k1)f(k)2k. 答案 2k 三、解答题 3.已知正数 a，b，c 满足 abc1， 证明：a3b3c3a 2b2c2 3 . 证明 利用柯西不等式 ()a2b2c2 2 a3 2a 1 2b 3 2b 1 2c 3 2c 1 2 2 （a3 2） 2（b3 2） 2（c3 2） 2 abc (a3b3c3)(abc)2 (abc1) 又因为 a2b2c2abbcca，在此不等式两边同乘以 2， 再加上 a2b2c2得：(abc)23(a2b2c2) (a2b2c2)2(a3b3c3) 3(a2b2c2)， 故 a3b3c3

3、a 2b2c2 3 . 4.设f(n)11 2 1 3 1 n，是否存在关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)f(2) f(n1)g(n)f(n)1对于 n2 的一切自然数都成立？并证明你的结论. 证明 当 n2 时，由 f(1)g(2)f(2)1得， g(2) f（1） f（2）1 1 11 2 1 2 当 n3 时，由 f(1)f(2)g(3)f(3)1得， g(3)f（1）f（2） f（3）1 3，猜想：g(n)n (n2). 下面用数学归纳法证明： 当 n2 时，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1恒成立. 证明如下： (1)当 n2 时，由上面计算知，等式成立. (2)假设 n

4、k (k2)时，等式成立， 即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1. 则 nk1 时，左边f(1)f(2)f(k) kf(k)1f(k)(k1)f(k)k (k1) f（k1） 1 k1 k(k1)f(k1)1. 当 nk1 时，等式也成立. 由(1)(2)知，对一切 n2 的自然数 n，等式都成立，故存在函数 g(n)n. 5.已知函数 f(x)axb xc(a0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 yx1. (1)用 a 表示出 b，c； (2)若 f(x)ln x 在1，)上恒成立，求 a 的取值范围； (3)证明：11 2 1 3 1 nln(n1) n 2（n1）(n1).

5、(1)解 f(x)a b x2， 则有 f（1）abc0， f（1）ab1， 解得 ba1， c12a. (2)解 由(1)知，f(x)axa1 x 12a. 令 g(x)f(x)ln xaxa1 x 12aln x，x 1，)， 则 g(1)0，g(x)aa1 x2 1 x ax2x（a1） x2 a（x1） x1a a x2 ， ()当 00，g(x)是增函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x，故当x1 时，f(x)ln x. 综上所述，所求 a 的取值范围为 1 2， . (3)证明 法一 由(2)知：当 a1 2时，有 f(x)ln x(x1). 令 a1 2，有 f(x)

6、1 2 x1 x ln x(x1)， 且当 x1 时，1 2 x1 x ln x. 令 xk1 k ，有 lnk1 k ln(k1) k 2（k1） 1 k1 ln(k1) k2 2（k1）. 由(2)知：当 a1 2时，有 f(x)ln x(x1). 令 a1 2，有 f(x) 1 2 x1 x ln x(x1). 令 xk2 k1，得： 1 2 k2 k1 k1 k2 lnk2 k1ln(k2)ln(k1). ln(k1) k2 2（k1）ln(k2) k1 2（k2）. 11 2 1 3 1 k 1 k1ln(k2) k1 2（k2）. 这就是说，当 nk1 时，不等式也成立， 根据和，

7、可知不等式对任何 nN都成立. 6.求证：cos xcos 3xcos(2n1)xsin 2nx 2sin x (nN). 证明 (1)当 n1 时，左边cos x，右边sin 2x 2sin xcos x，等式成立. (2)假设 nk (k1)时， cos xcos 3xcos(2k1)xsin 2kx 2sin x 成立. 当 nk1 时， cos xcos 3xcos(2k1)xcos(2k1)x sin 2kx 2sin x cos(2k1)x 1 2sin xsin 2kx2sin xcos(2k1)x 1 2sinxsin 2kxsin(2k2)xsin 2kx sin2（k1）x

8、 2sin x ， 对 nk1 时，等式成立. 由(1)，(2)知，对一切自然数 nN，等式均成立. 7.对于一切自然数 n，先猜出使 tnn2的最小的自然数 t，然后用数学归纳法证 明，并证明不等式 n(n1) lg 3 4 lg(1 23n)成立. 解 猜想：当 t3 时，对一切自然数 n 使 3nn2成立. 证明如下： 当 n1 时，313112，命题成立. 假设 nk (k1)时，3kk2成立，则有 3kk21. 当 nk1 时， 3k 13 3k3k2 3kk22(k21)3k21， (3k21)(k1)22k22k2k(k1)0， 3k 1(k1)2，当 nk1 时，命题成立. 由

9、此可知，对一切自然数 nN，命题都成立. 用数学归纳法证明 n(n1) lg 3 4 lg(1 2 3 n). 当 n1 时，1(11) lg 3 4 1 2lg 30lg 1，命题成立. 假设 nk 时，k(k1) lg 3 4 lg(1 2 3 k)成立. 当 nk1 时， (k1)(k2) lg 3 4 k(k1) lg 3 4 2(k1) lg 3 4 lg(1 2 3 k)1 2lg 3 k1 lg(1 2 3 k)1 2lg(k1) 2 lg1 2 k (k1)，命题成立. 综上可知，对任意的 nN，命题均成立. 8.已知点的序列 An(xn，0)，nN，其中 x10，x2a (a

10、0)，A3是 A1A2的中 点，A4是线段 A2A3的中点，An是线段 An2An1的中点 (1)写出 xn与 xn1，xn2之间的关系式(n3)； (2)设 anxn1xn，计算 a1，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以 证明. 解 (1)当 n3 时，xnx n1xn2 2 . (2)a1x2x1a，a2x3x2x 2x1 2 x21 2a， a3x4x3x 3x2 2 x31 4a， 由此推测 an 1 2 n1 a (nN). 下面用数学归纳法证明： 当 n1 时，a1x2x1a 1 2 0 a. 即当 n1 时，推测成立. 假设当 nk(k1，kN)时推测成立，即 ak 1 2 k1 a. 那么当 nk1 时，ak1xk2xk1x k1xk 2 xk1 1 2(xk1xk) 1 2ak 1 2 1 2 k1 a 1 2 （k1）1 a. 所以当 nk1 时推测也成立. 根据，可知，对任意 nN， 通项公式 an 1 2 n1 a 都成立.