2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第16讲导数与函数的综合问题精选教案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 16 讲 导数与函数的综合问题 考纲要求 考情分析 命题趋势 1利用导数研究函数的单调性、极 (最 )值，并会解决与之有关的方程(不等式 )问题 2会利用导数解决某些简单的实际问题 . 2017 全国卷 ， 21 2017 全国卷 ， 21 2017 四川卷， 21 考查导数在研究函数中的应用，并应用导数的方法探求一些与不等式、函数、数列有关的综合问题，题目难度较大 . 分值： 12 14 分 1生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际 问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点 2利用导

2、数解决生活中的优化问题的基本思路 3导数在研究方程 (不等式 )中的应用 研究函数的单调性和极 (最 )值等离不开方程与不等式； 反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究 4导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型 (1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题； (2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题； (3)把方程解的问题转化为函数的零点问题 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解 ( ) (2)函数 f(x) x3 ax2 bx c 的图象与 x 轴

3、最多有 3 个交点，最少有一个交点 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)函数 F(x) f(x) g(x)的最小值大于 0，则 f(x) g(x) ( ) (4)“ 存在 x (a， b)，使 f(x) a” 的含义是 “ 任意 x (a， b)，使 f(x) a” ( ) 2已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元 )与年产量 x(单位：万件 )的函数关系式为 y 13x3 81x 234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( C ) A 13 万件 B 411 万件 C 9 万件 D 7 万件 解析 y x2 81，令 y 0 得 x 9 或 x 9(舍去 )，当 x (0

4、,9)时， y 0，当 x (9， ) 时， y 0，则当 x 9 时， y 有最大值即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件 3已知函数 f(x)， g(x)均为 a， b上的可导函数，在 a， b上连续且 f( x)0，且 r0 可得 00，故 V(r)在 (0,5)上为增函数； 当 r (5,5 3)时， V( r)0； x (1,3)时， f( x)162 101616ln 2 9 f(1)， f(e 2 1)g(x)， x (a， b)，可以构造函数 F(x) f(x) g(x)，如果 F( x)0，那么 F(x)在 (a， b)上是增函数，同时若 F(a)0 ，由增函数的定

5、义可知， x (a， b)时，有F(x)0，即证明了 f(x)g(x) (3)在证明过程中，一个重要技巧就是找到函数 F(x) f(x) g(x)的零点，这往往就是解决问题的一个突破口 【例 3】 已知函数 f(x) 2x 2x2 1. (1)设 g(x) ln x，求证： g(x) f(x)在 1， ) 上恒成立； (2)若 0 2aa2 b2. 证明 (1)由 题意知，要证 ln x 2x 2x2 1在 1， ) 上恒成立， 即证明 (x2 1)ln x2 x 2， x2ln x ln x 2x 20 在 1， ) 上恒成立 设 h(x) x2ln x ln x 2x 2，则 h( x)

6、2xln x x 1x 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 x1 ，得 2xln x0 ， x 1x2 x 1x2( 当且仅当 x 1 时等号成立 )，即h( x)0 ，所以 h(x)在 1， ) 上单调递增， h(x) h(1) 0，所以 g(x) f(x)在 1，) 上恒成立 (2)因为 01，则 (1)知 ln ba2 ba 2?ba2 1，整理得 ln b ln ab a 2aa2 b2，所以当0 2aa2 b2. 四 利用导数研究恒成立 (或存在性 )问题 利用导数研 究不等式恒成立问题的方法 (1)由不等式恒成立求解参数的取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，即要使a

7、g(x)恒成立，只需 a g(x)max，要使 a g(x)恒成立，只需 a g(x)min.另外，当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如，要使不等式 f(x)0 恒成立，可求得 f(x)的最小值 h(a)，令 h(a)0 即可求出 a 的取值范围 (2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式 【例 4】 已知函数 f(x) x2 2x， g(x) xex. (1)求 f(x) g(x)的极值； (2)当 x ( 2,0)时， f(x) 1 ag(x)恒成立，求实数 a 的取值范围 解析 (1)令 h(x) f(x) g(x) x2

8、2x xex， 则 h( x) (x 1)(2 ex)，令 h( x) 0，解得 x 1 或 x ln 2. 当 x 变化时， h( x)与 h(x)的变化情况如下表 . x ( ， 1) 1 ( 1， ln 2) ln 2 (ln 2， ) h( x) 0 0 h(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 h(x)的极小值为 h( 1) 1e 1， h(x)的极大值为 h(ln 2) ln22， 即 f(x) g(x)的极小值为 1e 1，极大值为 ln22. (2)由题意知，当 x ( 2,0)时， x2 2x 1 axex恒成立， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 a x2

9、 2x 1xex 恒成立 令 t(x) x2 2x 1xex ，则 t( x)?x2 1?x 1?x2ex ， 当 x ( 2， 1)时， t( x)0， t(x)单调递增； 当 x ( 1,0)时， t( x)12，解得 1 k0； 当 x ? ?12， 1 时 g( x)0. (1)求函数 f(x)的 单调区间； (2)若函数 f(x)在区间 ( 2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围 解析 (1)f( x) x2 (1 a)x a (x 1)(x a) 由 f( x) 0，得 x 1 或 a(a0) 当 x 变化时 f( x)与 f(x)的变化情况如下表 x ( ， 1) 1 ( 1

10、， a) a (a， ) f( x) 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故函数 f(x)的单调递增区间是 ( ， 1)， (a， ) ；单调递减区间是 ( 1， a) (2)由 (1)知 f(x)在区间 ( 2， 1)内单调递增；在区间 ( 1,0)内单调递减从而函数f(x)在区间 ( 2,0)内恰有两个零点，当且仅当? f? 2?0，f?0?0， g(x)在 (1， e)内单调递减，在 (e， ) 内单调递增 g(x)极小值 g(e) f(e) 2e e 0. 又 g(1) f(1) 2 e e 20， g(x)在 1， ) 内的最小值为 0， g(x) g(x

11、)min 0， f(x) 2x e0 ，即 2x e f(x) 易错点 忽视定义域出错、求导出错，非等价转化出错 错因分 析：对一些函数的定义域没有认清，不能对要证明的目标进行合理转化，也不能按得分点规范化书写而失分 【例 1】 设函数 f(x) e2x aln x. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)讨论 f(x)的导函数 f( x)零点的个数； (2)证明：当 a 0 时， f(x)2 a aln2a. 解析 (1)f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) (exe x) (aln x) 2e2x ax(x0)， 当 a0 时， f( x) 0， f( x)没有零点 当 a 0

12、 时，设 u(x) 2e2x， v(x) ax， 因为 u(x) 2e2x在 (0， ) 上单调递增， v(x) ax在 (0， ) 上单调递减， 在同一坐标系中作出 u(x)， v(x)的简图如下 可知 u(x)与 v(x)的图象在 (0， ) 上仅有一个交点 故当 a 0 时， f( x)存在唯一零点 综合得 f( x)的零点的个数为 1 (2)证明：由 (1)，可设 f( x)在 (0， ) 上的唯一零点为 x0，当 x (0， x0)时， f( x) 0； 当 x (x0， ) 时， f( x) 0. 故 f(x)在 (0， x0)上单调递减 ，在 (x0， ) 上单调递增，所以当 x

13、 x0时， f(x)取得最小值，最小值为 f(x0) 由于 2e2x0 ax0 0，所以 e2x0 a2x0， aln x0 2ax0 aln 2a， 所以 f(x0) a2x0 2ax0 aln2a2 a aln2a. 故当 a0 时， f(x)2 a aln2a. 【跟踪训练 1】 已知 f(x) xex， g(x) (x 1)2 a，若 ? x1， x2 R，使得 f(x2) g(x1)成立，则实数 a 的取值范围是 ！ ? ? 1e， #. 解析 f( x) ex xex ex(1 x)，当 x 1 时， f( x)0， f(x)在 ( ， 1)上递减，在 ( 1， ) 上递增， f(

14、x)min f( 1) 1e. =【 ;精品教育资源文库 】 = g(x)max a， 由题意，得 a 1e. 课时达标 第 16 讲 解密考纲 本考点主要以 基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，常考查恒成立问题、存在性问题或者与实际问题相结合讨论最优解等问题，综合性较强，常作为压轴题出现三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大 1已知函数 f(x) x2 ax aln x(a R) (1)若函数 f(x)在 x 1 处取得极值，求 a 的值； (2)在 (1)的条件下，求证： f(x) x335x22 4x116. 解析 (1)f( x) 2x a ax，由题意 可得

15、 f(1) 0，解得 a 1 经检验， a 1 时 f(x)在 x 1 处取得极小值，所以 a 1 (2)由 (1)知， f(x) x2 x ln x， 令 g(x) f(x) ? ? x335x22 4x116 x333x22 3x ln x116 ， 由 g( x) x2 3x 3 1x x3 1x 3(x 1)?x 1?3x (x0)，可知 g(x)在 (0,1)上是减函数，在 (1， ) 上是增函数， g(x)min g(1) 13 32 3 116 0， 当 x0 时， g(x) g(1) 0，于是 f(x) x335x22 4x116. 2若函数 f(x) ax3 bx 4，当 x 2 时，函数 f(x)有极值 43. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若方程 f(x) k 有 3 个不同的根，求实数 k 的取值范围 解析 (1)f( x) 3ax2 b， 由题意得? f ?2? 12a b 0，f?2? 8a 2b 4 43， 解得 ? a 1