2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第15讲导数与函数的极值精选教案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 15 讲 导数与函数的极值、最值 考纲要求 考情分析 命题趋势 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值 (其中多项式函数一般不超过三次 ) 2017 全国卷 ，11 2017 北京卷， 19 2016 天津卷， 20 2016 山东卷， 20 利用导数求函数的极值、最值，热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大 分值： 5 8 分 1函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数 y f(x)在点 x a 处的函数值 f(a)比它在点

2、x a 附近其他点的函数值 _都小_，且 f( a) 0，而且在点 x a 附近的左侧 _f( x)0_，则点 x a 叫做函数的极小值点， f(a)叫做函数的极小值 (2)函数的极大值 若函数 y f(x)在点 x b 处的函数值 f(b)比它在点 x b 附近其他点的函数值都大，且f( b) 0，而且在点 x b 附近的左侧 _f( x)0_，右侧 _f( x)0， f(0) 0，f(4) 4e40， 最小值为 0，故选 A 4若函数 f(x) x3 ax2 3x 9 在 x 3 时取得极值，则 a ( D ) A 2 B 3 C 4 D 5 解析 f( x) 3x2 2ax 3， f(

3、3) 0， a 5. 5设函数 f(x) xex，则 ( D ) A x 1 为 f(x)的极大值点 B x 1 为 f(x)的极小值点 C x 1 为 f(x)的极大值点 D x 1 为 f(x)的极小值点 解析 求导得 f( x) ex xex ex(x 1)，令 f( x) ex(x 1) 0，解得 x 1，易知 x 1 是函数 f(x)的极小值点 一 利用导数研究函数的极值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 利用导数研究函数极值问题的步骤 【例 1】 已知函数 f(x) x aln x(a R) (1)当 a 2 时，求曲线 y f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程； (2)求

4、函数 f(x)的极值 解析 函数 f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) 1 ax. (1)当 a 2 时， f(x) x 2ln x， f( x) 1 2x(x0)，因而 f(1) 1， f(1) 1， 曲线 y f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程为 y 1 (x 1)，即 x y 2 0. (2)由 f( x) 1 ax x ax (x0)可知， 当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)为 (0， ) 上的增函数，函数 f(x)无极值 当 a0 时，由 f( x) 0，解得 x a.又当 x (0， a)时， f( x)0， 函数 f(x)在 x a 处取得极小值，且

5、极小值为 f(a) a aln a，无极大值 综上所述，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 x a 处取得极小值a aln a，无极大值 【例 2】 (1)(2017 全国卷 )若 x 2 是函数 f(x) (x2 ax 1)e x 1的极值点，则 f(x)的极小值为 ( A ) A 1 B 2e 3 C 5e 3 D 1 (2)(2017 浙江金华十校联考 )已知函数 f(x) x(ln x ax)有两个极值点，则实数 a的取值范围是 ！ ? ?0， 12 #. 解析 (1)因为 f(x) (x2 ax 1)ex 1，所以 f( x) (2x a)ex 1 (

6、x2 ax 1)ex 1x2 (a 2)x a 1ex 1 因为 x 2 是函数 f(x) (x2 ax 1)ex 1的极值点，所以 2 是x2 (a 2)x a 1 0 的根，所以 a 1， f( x) (x2 x 2)e x 1 (x 2)(x 1)e x 1 令 f( x)0，解得 x1，令 f( x)0)，若函数 f(x)在 x 1 处与直线 y 12相切 (1)求实数 a， b 的值； (2)求函数 f(x)在 ? ?1e， e 上的最大值 解析 (1)由题意可知 f(1) 12， f(1) 0. 由于 f( x) ax 2bx(x0)， 所以? f?1? b 12，f ?1? a

7、2b 0，解得? a 1，b 12. (2)由 (1)知 f(x) ln x x22(x0)， 令 f( x) 1x x 1 x2x 0(x0)，得 x 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 故函数 f(x)在 ? ?1e， 1 上是增函数，在 1， e上是减函数， 所以函数 f(x)在 ? ?1e， e 上的最大值为 f(1) 12. 【例 4】 (2018 湖北武昌实验中学月考 )设 f(x) ax ln x，是否存在实数 a，当 x (0， e(e 是自然对数的底数 )时，函数 f(x)的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由 解析 假设存在实数 a，使 f(x) ax

8、 ln x(x (0， e)有最小值 3， f( x) a 1x ax 1x (00；当 22 时， f( x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x 2 处取得极大值，在 x 2处取得极小值，故选 D 2函数 f(x) x(x m)2在 x 1 处取得极小值，则 m _1_. 解析 f( x) (x m)2 2x(x m) (x m)(3x m) f(x) x(x m)2在 x 1 处取得极小值， f(1) 0，即 (1 m)(3 m) 0，解得 m 1 或 m 3. 当 m 1 时， f( x) (x 1)(3x 1)，当 131 时， f( x)0， f(x)在 x 1 处取得极小值，即

9、m 1 符合题意 当 m 3 时， f( x) (x 3)(3x 3) 3(x 1)(x 3) 当 x0；当 10 或 ? x 20，ex 120，得? x 20，ex 120. 解得 x ln 2. 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表 . x ( ， 2) 2 ( 2， ln 2) ln 2 ( ln 2，) =【 ;精品教育资源文库 】 = f( x) 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由上表可知，函数 f(x)的极大值为 f( 2) 4(1 e 2)，极小值为 f( ln 2) 2 2ln 2 (ln 2)2. 4已知函数 f(x) x

10、3 ax2 bx c，曲线 y f(x)在点 x 1 处的切线为 l： 3x y 1 0，若 x 23时， y f(x)有极值 (1)求 a， b， c 的值； (2)求 y f(x)在 3,1上的最大值和最小值 解析 (1)由 f(x) x3 ax2 bx c， 得 f( x) 3x2 2ax b. 当 x 1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a b 0 ， 当 x 23时， y f(x)有极值，则 f ? ?23 0，可得 4a 3b 4 0 ， 由 ，解得 a 2， b 4. 由于切点的横坐标为 1，所以 f(1) 4， 所以 1 a b c 4，得 c 5. (2)由 (1)可得

11、f(x) x3 2x2 4x 5， f( x) 3x2 4x 4. 令 f( x) 0，解得 x1 2， x2 23. 当 x 变化时， f( x)， f(x)的取值及变化情况如下表所示 . x 3 ( 3， 2) 2 ? 2， 23 错误 ! ?23， 1 1 f( x) 0 0 f(x) 8 单调递增 13 单调递减 错误 ! 单调递增 4 所以 y f(x)在 3,1上的最大值为 13，最小值为 9527. 易错点 分类不完全，混淆概念 =【 ;精品教育资源文库 】 = 错因分析：对参数的分类讨论不完全 【例 1】 已知函数 f(x) (4x2 4ax a2) x，其中 a0. 由 f(

12、 x)0，得 02. 故函数 f(x)的单调递增区间为 ? ?0， 25 和 (2， ) (2)f( x) ?10x a?2x a?2 x ， a4，即 a0，函数 f(x)在 ( 1， ) 单调递增，无极值点 当 a0 时， a2 8a(1 a) a(9a 8) a当 089时， 0， 设方程 2ax2 ax a 1 0 的两根为 x1， x2(x1 14. 由 g( 1) 10，可得 10， f( x)0，函数 f(x)单调递增； 当 x (x1， x2)时， g(x)0， f( x)0，函数 f(x)单调递增 因此函数有两个极值点 当 a0，由 g( 1) 10，可得 x10， f( x

13、)0，函数 f(x)单调递增； 当 x (x2， ) 时， g(x)89时，函数 f(x)有两个极值点 课时达标 第 15 讲 解密考纲 本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、或者已知最值求参数等问题高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大 一、选择题 1 若函数 f(x) x3 2cx2 x 有极值点，则实数 c 的取值范围为 ( D ) A ? ?32 ， B ? ?32 ， C ? ? ， 32 ? ?32 ， D ? ? ， 32 ? ?32 ， 解析 若函数 f(x) x3 2cx2 x

14、 有极值点，则 f( x) 3x2 4cx 1 0 有根，故 =【 ;精品教育资源文库 】 = ( 4c)2 120，从而 c 32 或 c0， 令 f( x)0，得 x1；令 f( x)0， 在 2,2上的最大值为 2，则实数 a 的取值范围是 ( D ) A ? ?12ln 2， B ? ?0， 12ln 2 C ( ， 0) D ? ? ， 12ln 2 解析 当 x 2,0)时，因为 f( x) 6x2 6x 6x(x 1)，所以在 2， 1)上f( x)0，在 ( 1,0上， f( x)0 ， 则当 x 2,0时函数有最大值，为 f( 1) 2. 当 a0 时，若 x0，显然 eax1 ，此时函数在 2,2上的最大值为 2，符合题意；当a0 时，若函数在 2,2上的最大值为 2，则 e2a2 ，得 a 12ln 2，综上可知 a 的取值范围是 ? ? ， 12ln 2 ，故选 D 5已知函数 f(x) 2x3 6x2 m(m 为常数 )在 2,2上有最大值 3，那么此函数在