2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第13讲变化率与导数导数的计算精选教案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 13 讲 变化率与导数、导数的计算 考纲要求 考情分析 命题趋势 1了解导数概念的实际背景 2通过函数图象直观理解导数的几何意义 3能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数的导数 2017 全国卷 ，16 2017 全国卷 ，11 2016 全国卷 ，15 2016 北京卷，18(1) 2016 山东卷， 10 1导数的概念及几何意义是命题热点，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质 2导数几何意义的应用也是命题 热点，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以

2、及与切线有关的计算、证明问题 分值： 5 7 分 1函数 y f(x)从 x1到 x2的平均变化率 函数 y f(x)从 x1到 x2的平均变化率为 ！ f?x2? f?x1?x2 x1#，若 x x2 x1， y f(x2) f(x1)，则平均变化率可表示为 y x . 2函数 y f(x)在 x x0处的导数及几何意义 (1)定义：称函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率 li m x0 f?x0 x? f?x0? x ！ lim x0 y x #为函数 y f(x)在 x x0处的导数，记作 f( x0)或 y x x0，即 f( x0) lim x0 y x li m x0 f?

3、x0 x? f?x0? x . (2)几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f( x0)的几何意义是在曲线 y f(x)上点_(x0， f(x0)_处的 _切线的斜率 _.相应地，切线方程为 _y f(x0) f( x0)(x x0)_. 3函数 f(x)的导函数 称函数 f( x) ！ lim x0 f?x x? f?x? x #为 f(x)的导函数，导函数也记作 y. 4基本初等函数的导数公式 =【 ;精品教育资源文库 】 = 原函数 导函数 f(x) c f( x) _0_ f(x) xn(n Q) f( x) _nxn 1_ f(x) sin x f( x) _cos_x_ f

4、(x) cos x f( x) _ sin_x_ f(x) ax(a0，且 a1) f( x) _axln_a(a0 且 a1) _ f(x) ex f( x) _ex_ f(x) logax(a0， 且 a1) f( x) ！ 1xln a(a0， 且 a1) # f(x) ln x f( x) ！ 1x # 5导数的四则运算法则 (1)(f(x) g(x) _f( x) g( x)_； (2)(f(x)g(x) _f( x) g(x) f(x) g( x)_； (3)? ?f?x?g?x? ！ f ?x?g?x? f?x?g ?x?g?x?2 #(g(x)0) ； (4)y f(g(x)是

5、由 y f( )， g(x)复合而成，则 y x y x. 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)求 f( x0)时，可先求 f(x0)，再求 f( x0) ( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 ( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 ( ) (4)若 f(x) f( a)x2 ln x(a0)，则 f( x) 2xf( a) 1x.( ) 解析 (1)错误应先求 f( x)，再求 f( x0) (2)正确如 y 1 是曲线 y cos x 的切线，但其交点个数有无数个 (3)错误如 y 0 与抛物线 y2 x 只有一个公共点，但是 y 0 不是抛物

6、线 y2 x 的切线 (4)正确 f( x) (f( a)x2 ln x) (f( a)x2) (ln x) 2xf( a) 1x. 2曲线 y xln x 在点 (e， e)处的切线与直线 x ay 1 垂直，则实数 a 的值为 ( A ) A 2 B 2 C 12 D 12 解析 依题意得 y 1 ln x， y| x e 1 ln e 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 1a2 1， a 2. 3某质点的位移函数是 s(t) 2t3 12gt2(g 10 m/s2)，则当 t 2 s 时，它的加速度是( A ) A 14 m/s2 B 4 m/s2 C 10 m/s2 D 4

7、m/s2 解析 由 v(t) s( t) 6t2 gt， a(t) v( t) 12t g，得 t 2 时， a(2) v(2) 122 10 14(m/s2) 4曲线 y x3 x 3 在点 (1,3)处的切线方程为 _2x y 1 0_. 解析 y 3x2 1， y| x 1 31 2 1 2. 该切线方程为 y 3 2(x 1)，即 2x y 1 0. 5函数 y xcos x sin x 的导数为 _y xsin_x_. 解析 y (xcos x) (sin x) xcos x x(cos x) cos x cos x xsin x cos x xsin x. 一 导数的运算 导数的运

8、算方法 (1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导 (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导 (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导 (5)三角形式：先 利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导 【例 1】 求下列函数的导数 (1)y (1 x)? ?1 1x ； (2)y ln xx ； (3)y tan x； (4)y 3xex 2x e. 解析 (1) y (1 x)? ?1 1x 1x x x12 x12 ， y (x12 ) (x12 )

9、 12x32 12x12 12x x 12 x. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)y ? ?ln xx ?ln x? x xln xx2 1x x ln xx2 1 ln xx2 . (3)y ? ?sin xcos x ?sin x?cos x sin x?cos x?cos 2x cos xcos x sin x? sin x?cos 2x 1cos 2x. (4)y (3xex) (2x) e (3x)e x 3x(ex) (2x) 3xln 3e x 3xex 2xln 2 (ln 3 1)(3e) x 2xln 2. 【例 2】 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f( x)

10、，且满足关系式 f(x) x2 3xf(2) ln x，则 f(2) ！ 94 #. (2)已知函数 f(x) f ? ? 6 sin x cos x，则 f? ? 6 _ 1_. 解析 (1) f(x) x2 3xf(2) ln x， f( x) 2x 3f(2) 1x， f(2) 4 3f(2) 12 3f(2) 92， f(2) 94. (2) f(x) f ? ? 6 sin x cos x， f( x) f ? ? 6 cos x sin x， f ? ? 6 32f ? ? 6 12， f ? ? 6 (2 3)， f(x) (2 3)sin x cos x， f? ? 6 (2

11、3) 12 32 1 二 导数的几何意义和切线方程 若已知曲线过点 P(x0， y0)，求曲线过点 P(x0， y0)的切线，则需分点 P(x0， y0)是切点和不是切点两种情况求解 (1)当点 P(x0， y0)是切点时，则切线方程为 y y0 f( x0)( x x0) (2)当点 P(x0， y0)不是切点时，可 分为以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 P( x1， f(x1)； 第二步：写出过点 P( x1， f(x1)的切线方程为 y f(x1) f( x1)(x x1)； 第三步：将点 P 的坐标 (x0， y0)代入切线方程，求出 x1； =【 ;精品教育资源文库 】 = 第四

12、步：将 x1的值代入方程 y f(x1) f( x1)(x x1)，由此即可得过点 P(x0， y0)的切线方程 【例 3】 (1)若曲线 f(x) acos x 与曲线 g(x) x2 bx 1 在交点 (0， m)处有公切线，则 a b ( C ) A 1 B 0 C 1 D 2 (2)已知函数 f(x) ax3 x 1 的图象在点 (1， f(1)处的切线过点 (2,7)，则 a_1_. 解析 (1) 两曲线的交点为 (0， m)， ? m a，m 1， 即 a 1， f(x) cos x， f( x) sin x，则 f(0) 0， f(0) 1 又 g( x) 2x b， g(0)

13、b， b 0， a b 1 (2) f( x) 3ax2 1， f(1) 3a 1又 f(1) a 2， 切线方程为 y (a 2) (3a 1)(x 1) 切线过点 (2,7)， 7 (a 2) 3a 1，解得 a 1 【例 4】 已知函数 f(x) x3 4x2 5x 4. (1)求曲线 f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程； (2)求经过点 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程 解析 (1) f( x) 3x2 8x 5， f(2) 1，又 f(2) 2， 曲线 f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 y ( 2) x 2， 即 x y 4 0. (2)设切点坐标为 (x

14、0， x30 4x20 5x0 4)， f( x0) 3x20 8x0 5， 切线方程为 y ( 2) (3x20 8x0 5)(x 2)， 又切线过点 (x0， x30 4x20 5x0 4)， x30 4x20 5x0 2 (3x20 8x0 5)(x0 2)， 整理得 (x0 2)2(x0 1) 0，解得 x0 2 或 x0 1， 经过 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程为 x y 4 0 或 y 2 0. 1 (2018 河南郑州质检 )已知 y f(x)是可导函数如图，直线 y kx 2 是曲线 yf(x)在 x 3 处的切线，令 g(x) xf(x)， g( x)是 g(x)

15、的导函数，则 g(3) ( B ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 1 B 0 C 2 D 4 解析 y f(x)在 x 3 处的切线的斜率为 13， f(3) 13. g(x) xf(x)， g( x) f(x) xf( x)， g( 3) f(3) 3f(3) ，由题图知 f(3) 1， g(3) 1 3 ? ? 13 0. 2 (2016 全国卷 )若直线 y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是 曲线 y ln(x 1)的切线，则 b _1 ln_2_. 解析 直线 y kx b 与曲线 y ln x 2， y ln (x 1)均相切，设切点分别为 A(x1，y1)， B(x2， y2)，由 y ln x 2 得 y 1x，由 y ln (x 1)得 y 1x 1， k 1x1 1x2 1， x1 1k， x2 1k 1， y1 ln k 2， y2 ln k，即 A? ?1k， ln k 2 ， B? ?