2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲指数与指数函数精选教案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 8 讲 指数与指数函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 1了解指数函数模型的实际背景 2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点 4知道指数函数是一类重要的函数模型 2016 全国卷 ， 6 2015 天津卷， 7 2015 山东卷， 14 2015 江苏卷， 7 1指数幂的化简与运算，经常与对数函数相结合考查 2指数函数的图象与性质的应用是高考的热点，经常与对数函数一起考查 3指数函数的综 合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现，考查它们的单调性、

2、奇偶性、最值等 分值： 5 分 1根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 _xn a_，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n1 且 nN* 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个 _正数 _，负数的 n 次方根是一个 _负数 _ n a 零的 n次方根是零 当 n 是偶函数时，正数的 n 次方根有 _两个 _，这两个数互为 _相反数 _ n a(a0) 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 n an? ！ a #?n为奇数 ?，|a|? ！ a #?a0 ?，！ a #?a0， m， n N*，且 n1)； 负分数指数幂： amn ！ 1amn # ！ 1n am#(a

3、0， m， n N*，且 n1) 0 的正分数指数幂等于 _0_,0 的负分数指数幂 _无意义 _. (2)有理数指数幂的性质 aras _ar s_(a0， r， s Q)； (ar)s _ars_(a0， r， s Q)； (ab)r _arbr_(a0， b0， r Q) 3指数函数的图象与性质 y ax a1 00 时， _y1_； x0 时， _01_ 在 R 上是 _增函数 _ 在 R 上是 _减函数 _ 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)n an与 (n a)n都等于 a(n N*) ( ) (2)2a2 b 2a b ( ) (3)函数 y 32 x与 y 2x

4、 1都不是指数函数 ( ) (4)若 am0 且 a1) ，则 m1 时， mn. (5)正确 y 2 x ? ?12 x，根据指数函数的性质可知函数在 R 上为减函数 2函数 f(x) 1 2x的定义域是 ( A ) A ( ， 0 B 0， ) C ( ， 0) D ( ， ) 解析 1 2x0 ， 2x1 ， x0. 3已知函数 f(x) 4 ax 1的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是 ( A ) A (1,5) B (1,4) C (0,4) D (4,0) 解析 当 x 1 时， f(x) 5. 4不等式 2x2 x0， a1) 的图象，应抓住三个关键点 (1， a)， (0,1

5、)， ? ? 1， 1a和一条渐近线 y 0. (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象 (3)一些指数方程 、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 【例 2】 (1)函数 y ax 1a(a0，且 a1) 的图象可能是 ( D ) (2)若曲线 |y| 2x 1 与直线 y b 没有公共点，则 b 的取值范围是 _ 1,1_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)函数 y ax 1a(a0，且 a1) 的图象必过点 ( 1,0)，故选 D (2)曲线 |y| 2x 1 与直线 y b 的图象如图所示，

6、由图象可得：如果 |y| 2x 1与直线 y b没有公共点，则 b应满足的条件是 b 1,1 三 指数函数的性质及应用 指数函数性质问题的类型及解题思路 (1)比较指数幂大小问题常利用指数函数的单调性及中间值 (0 或 1) (2)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论 (3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助 “ 同增异减 ” 这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决 【例 3

7、】 已知函数 f(x) ex e x(x R，且 e 为自然对数的底数 ) (1)判断函数 f(x)的单调性与奇偶性； (2)是否存在实数 t，使不等式 f(x t) f(x2 t2)0 对一切 x R 都成立？若存在，求出 t；若不存在，请说明理由 解析 (1) f(x) ex ? ?1e x， f( x) ex ? ?1e x， f( x)0 对任意 x R 都成立， f(x)在 R 上是 增函数 f(x)的定义域为 R，且 f( x) e x ex f(x)， f(x)是奇函数 (2)存在，由 (1)知 f(x)在 R 上是增函数和奇函数，则 f(x t) f(x2 t2)0 对一切 x

8、 R 都成立 ?f(x2 t2) f(t x)对一切 x R 都成立 ?x2 t2 t x 对一切 x R 都成立 ?t2 t x2 x ? ?x 12 2 14对一切 x R 都成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = ?t2 t( x2 x)min 14?t2 t 14 ? ?t 12 20 ， 又 ? ?t 12 20 ， ? ?t 12 2 0， t 12， 存在 t 12，使不等式 f(x t) f(x2 t2)0对一切 x R 都成立 1 (2018 山东德州一模 )已知 a ? ?3525 ， b ? ?2535 ， c ? ?2525 ，则 ( D ) A ac， b0，且 a1

9、 ，如果以 P(x1， f(x1)，Q(x2， f(x2)为端点的线段的中点在 y 轴上，那么 f(x1) f(x2) ( A ) A 1 B a C 2 D a2 解析 以 P(x1， f(x1)， Q(x2， f(x2)为端点的线 段的中点在 y 轴上， x1 x2 0，又 f(x) ax， f(x1) f(x2) ax1 ax2 ax1 x2 a0 1，故选 A 3函数 y 4x 2x 1 1 的值域为 ( B ) A (0， ) B (1， ) C 1， ) D ( ， ) 解析 令 2x t(t0)，则函数 y 4x 2x 1 1 可化为 y t2 2t 1 (t 1)2(t0) 函

10、数 y (t 1)2在 (0， ) 上递增， y1 所求值域为 (1， ) ，故选 B 4函数 f(x) ax loga(x 1)(a0，且 a1) 在 0,1上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为 ( B ) A 14 B 12 C 2 D 4 解析 在 0,1上 y ax与 y loga(x 1)具有相同的单调性， f(x) ax loga(x1)在 0,1上单调， f(0) f(1) a， 即 a0 loga1 a1 loga2 a，化简得 1 loga2 0，解得 a 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 易错点 忽视对含参底数的讨论 错因分析：对数函数、指数函数的底数 含字

11、母参数时，要分底数大于 1 和大于 0 小于 1讨论 【例 1】 已知函数 f(x) |a 1|a2 9 (ax a x)(a0 且 a1) 在 R 上为增函数，求 a 的取值范围 解析 当 a1 时， ax在 R 上为增函数， y a x ? ?1a x在 R 上为减函数， y ax a x为增函数 f(x)为增函数， |a 1|a2 9 0，解得 a3 或 a1， a3. 当 00，且 a1) 有两个不等实根，则 a 的取值范围是 ( D ) A (0,1) (1， ) B (0,1) C (1， ) D ? ?0， 12 解析 方程 |ax 1| 2a(a0，且 a1) 有两个实数根转化

12、为函数 y |ax 1|与 y 2a有两个交点 当 01 时，如图 ， 而 y 2a1 不符合要求 0f(c)f(b)， 结合图象知 00， 0f(c)， 1 2a2c 1， 2a 2cf( 3)，则 a的取值范围是 _(0,1)_. 解析 因为 f(x) a x ? ?1a x，且 f( 2)f( 3)， 所以函数 f(x)在 定义域上单调递增，所以 1a1，解得 01)在区间 1,1上的最大值是 14，则 a _3_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 y a2x 2ax 1(a1)，令 ax t，则 y t2 2t 1? ?1a t a ，此二次函数图象开口向上，对称轴为 t 1，

13、 又 a1，所以当 t a，即 x 1 时取最大值，所以 a2 2a 1 14， 解得 a 3. 9 (2018 皖南八校联考 )对于给定的函数 f(x) ax a x(x R， a0， a1) ，下面给出五个命题，其中真命题是 _ _(只需写出所有真命题的编号 ) 函数 f(x)的图象关于原点对称； 函数 f(x)在 R 上不具有单调性； 函数 f(|x|)的图象关于 y 轴对称； 当 01 时，函数 f(|x|)的最大值是 0. 解析 f( x) f(x)， f(x)为奇函数， f(x)的图象关于原点对称， 真；当 a1时， f(x)在 R 上为增函数，当 01 时， f(|x|)在 (

14、，0)上为减函数，在 0， ) 上为增函数， 当 x 0 时， y f(|x|)取最小值为 0， 假综上，真命题是 . 三、解答题 10化简： (1) a3b23 ab2?a14 b12 ?4a13 b13 (a0， b0)； (2)? ? 278 23 (0.002)12 10( 5 2) 1 ( 2 3)0. 解析 (1)原式?a3b2a13 b23 ? 12 ab2a13 b13 a32 16 13 1 b113 213 ab 1 (2)原式 ? ? 278 23 ? ?1500 12 105 2 1 ? ? 82723 50012 10( 5 2) 1 49 10 5 10 5 20 1