2022届普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试卷（含答案）.rar

数学试题 第 1 页（共 5 页） 2022 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 设向量(3,2)a，( , 2)mb，若ma b，则ab A. (1,0) B. (2,0) C. (4,0) D. (5,0) 2. 已知集合()( 2,)PQ R，( 2,1)PQ ，则Q A. ( 2,) B. (,1) C. (, 2 D. 1,) 3. 若圆22()(1)4xay(0)a 与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为 A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 2 3 4. 以下结论中错误的是 A. 经过不共面的四点的球有且仅有一个 B. 平行六面体的每个面都是平行四边形 C. 正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D. 棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直 5. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出， 后被拉格朗日等数学家证明. 四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222221231112220. 设222225abcd，其中a，b，c，d 均为自然数，则满足条件的有序数组( , , , )a b c d的个数是 A. 28 B. 24 C. 20 D. 16 数学试题 第 2 页（共 5 页） 6. “熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为1lnnBiiiSkpp ，其中i 表示所有可能的微观态，ip表示微观态i出现的概率，Bk为大于 0 的常数. 则在以 下四个系统中，混乱程度最高的是 A. 1212pp B. 113p ，223p C. 12313ppp D. 116p ，213p ，312p a7. 已知，(0, )，2tan()32，6cos()63，则cos(2) A. 5 39 B. 33 C. 5 39 D. 33 a8. 下图为正三棱柱ABCDEF的一个展开图，若A，1A，2A，D，1D，2D六点在同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线BF所成角的余弦值是 A. 58 B. 57 C. 3 38 D. 3 37 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9. 已知函数( )2sin(2)f xx(0) 的图像关于直线x 对称，则 A. ( )f x是奇函数 B. ( )f x的最小正周期是 C. ( )f x的一个对称中心是( 2 ,0) D. ( )f x的一个递增区间是(2,3) 10. 已知32( )3 ln(21)f xxxx，则 A. ( )f x的定义域是1 ,)2 B. 若直线ym和( )f x的图像有交点，则3(,ln22m C. 72 3ln163 D. 32ln(2 21)29 数学试题 第 3 页（共 5 页） 11. 设抛物线C：28yx与直线yxm相交于不同的两点A，B，弦AB的垂直平分线与x轴交于P，与C的准线交于Q. 下列结论正确的是 A. 22m B. 弦AB中点的纵坐标是定值 C. 存在唯一的m使得60APB D. 存在唯一的m使得|PQAB 12. 某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品. 员工A从这一批产品中有放回地随机抽取 3 件产品，员工 B 从这一批产品中无放回地随机抽取 3 件产品. 设员工 A 抽取到的 3 件产品中次品数量为X，员工 B 抽取到的 3 件产品中次品数量为Y，k 0，1，2，3. 则下列判断正确的是 A. 随机变量X服从二项分布 B. 随机变量Y服从超几何分布 C. ()()P XkP Yk D. ()( )E XE Y 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 若幂函数2(5)ayaax的图像关于y轴对称，则实数a _. 14. 请写出一个同时满足|2i|2|zz；2|2z的复数z：_. 15. 设na是公差非零的等差数列，2a，3a，5a依次成等比数列，1lg(1)a ，2lg(1)a ，5lg(1)a 依次成等差数列，则na的前n项和为_. 16. 已知双曲线C：22221xyab(0,0)ab，直线l经过C的左焦点F，与C交于A，B两点，且OAOB，其中O为坐标原点. 则C离心率的取值范围是_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 数列na满足11a ，122311111nnaaanaaa. （1）求数列na的通项公式； （2）数列4()5nna中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最 小项；若不存在，说明理由. 数学试题 第 4 页（共 5 页） 18.（12 分） 如图所示，四棱台1111ABCDABC D的上下底面均为正方形，侧面11ADD A与底面垂直，11113BBCCBCBC. （1）求证：平面11ADD A 平面11ABB A； （2）已知四棱台1111ABCDABC D的体积为26 3. 给出以下两个问题： 求异面直线BC和1AA的距离. 求1A到平面11CDDC的距离. 请从以上两个问题中选取一道进行求解. 注：若两个问题均求解，则按第一个问题计分. 19.（12 分） 在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，3a ，2b ，sin Am. （1）若ABC唯一确定，求m的值； （2）设I是ABC的内切圆圆心，r是ABC的内切圆半径，证明：当21cr 时，ICIA IB. 20. （12 分） 设椭圆222:1(04)16xyCbb的右焦点为F，左顶点为A. M是C上异于A的动 点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点（Q在x轴下方），且当M为 椭圆的下顶点时，2AMFQ. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设点S，T满足PSSQ，FSST，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值. 数学试题 第 5 页（共 5 页） 21.（12 分） 在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系. 设t时刻甲、乙种群的数量分别为( )f t，( )g t（起始时刻为0t ）. 由数学家 Lotka 和 Volterra 提出的模型是，函数( )f t，( )g t满足方程( )( )( ) ( )f taf tbf t g t，( )( )( ) ( )g tcg tdf t g t，其中a，b，c，d均为非负实数. （1）下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图. 为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：( )f tm tn；( )tf tm n，其中m，n均为大于 1 的正数. 根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由； （2）设0.08ac，20.008db. （i）函数0.08( )e2 ( )( )tF tf tg t的单调性； （ii）根据（i）中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝. 注：在题设条件下，各种群数量均有上限值. 22.（12 分） 设函数( )lnlnf xxaax，1a . （1）若对任意4,)x，都有( )0f x，求a的取值范围； （2）设2( , )( )()()ng x nf xf xf x，nN. 当01x时，判断( , )g x n， ( ,2 )g xn，( ,3 )g xn是否能构成等差数列，并说明理由. 100 103 107 112 119 125 134 150 170 195 90 110 130 150 170 190 210 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t 甲种群数量 数学答案 第 1 页（共 18 页） 2022 年高考模拟演练 数学参考解答 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 设向量(3,2)a，( , 2)mb，若ma b，则ab A. (1,0) B. (2,0) C. (4,0) D. (5,0) 【解析】由题，34mma b，解得2m ，所以(3,2)(2, 2)(5,0)ab. 【命题分析】本题属于简单题，考察向量坐标形式的加法运算和数乘运算. 2. 已知集合()( 2,)PQ R，( 2,1)PQ ，则Q A. ( 2,) B. (,1) C. (, 2 D. 1,) 【解析】根据右边的 Venn 图： I 区表示()PQR； II 区表示PQ； III 区表示()QPR； IV 区表示()PQR. 由题，集合()PQR对应于 I 区，II 区，IV 区的并集，所以 III 区对应(, 2 ，从而Q对应 II 区，III 区的并集，故(,1)Q . 【命题分析】本题属于简单题，考察集合的交、并、补运算. 在确保试题难度合理的同时适当创新，引导考生通过 Venn 图进行直观思考，避免了繁琐的集合运算，通过图解即可得到答案. 需要注意的是，解析中的四个分区可能有空集（这时存在集合间的包含关系），但两两相交一定是空集. 3. 若圆22()(1)4xay(0)a 与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为 A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 2 3 【解析】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切线），因此圆心距22121a ，结合0a 解得2 2a . 【命题分析】本题属于简单题，考察圆与圆的位置关系与公切线问题. 近年高考题中大多考察圆与直线的位置关系，但圆与圆的位置关系也是很重要的知识点，不可忽略. III I II IV 数学答案 第 2 页（共 18 页） 4. 以下结论中错误的是 A. 经过不共面的四点的球有且仅有一个 B. 平行六面体的每个面都是平行四边形 C. 正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D. 棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直 【解析】D 选项错误，棱台的侧棱只要求汇于一点，并不要求与底面不垂直. 【命题分析】本题属于简单题，考察几何体的概念与基本性质、立体几何中的基本定理等. 棱锥、棱柱、棱台、圆锥、圆柱、圆台、球是立体几何的基本几何体，其中的概念需要熟练掌握；特别地，直棱柱、正棱柱、平行六面体等更为精细的概念，更需要回归课本，加以区分. 5. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出， 后被拉格朗日等数学家证明. 四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222221231112220. 设222225abcd，其中a，b，c，d 均为自然数，则满足条件的有序数组( , , , )a b c d的个数是 A. 28 B. 24 C. 20 D. 16 【解析】显然a，b，c，d均为不超过 5 的自然数，下面进行讨论. 最大数为 5 的情况： 2222255000，此时共有14A4种情况； 最大数为 4 的情况： 2222254300，此时共有24A12种情况； 2222254221，此时共有24A12种情况. 当最大数为 3 时，222222223322253321，故没有满足题意的情况. 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组( , , , )a b c d的个数是4 12 1228. 【命题分析】本题属于中档偏易题，以四平方和定理为命题背景，考察分类讨论和计数原理. 数论被高斯誉为“数学中的皇冠”，其中的颇多问题吸引着无数的数学家和数学爱好者研究， 例如其中最负盛名的Goldbach猜想、 孪生素数猜想、 Fermat大定理、 Riemann 猜想等问题，仍然是当今数学界耀眼的明珠. 2018 年全国 II 卷就曾以 Goldbach 猜想为 背景，考察古典概型，而本题可谓是对该题的致敬. 数学答案 第 3 页（共 18 页） 6. “熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为1lnnBiiiSkpp ，其中i 表示所有可能的微观态，ip表示微观态i出现的概率，Bk为大于 0 的常数. 则在以 下四个系统中，混乱程度最高的是 A. 1212pp B. 113p ，223p C. 12313ppp D. 116p ，213p ，312p 【解析】对选项逐一验证（不考虑负号和玻尔兹曼常数）. A. 系统的混乱程度1111lnlnln22222AS ； B. 系统的混乱程度3112224lnlnln2ln3ln333333BS ； C. 系统的混乱程度11111lnlnln3ln333333CS ； D. 系统的混乱程度311111111lnlnlnln2ln3ln4ln366332232DS . 其中CS最小，从而 C 选项对应的系统混乱程度最高. 【命题分析】本题属于中档题，以“熵”为命题背景，考察信息提取能力（重点）和对数大小的比较（次重点）. “熵”是统计物理学和信息学常用的概念，高考曾多次或直接或间接地进行考察，例如 2005 年全国 I 卷 22 题，2020 年新高考卷 12 题. 本题要求 相对而言较低，考生只需读懂公式，针对具体的情况进行计算即可. 选项的设置类似于 2020 年全国 III 卷 3 题，给出四种情形下的概率分布，但本题需要逐一求解，相对耗费 时间更多. a7. 已知，(0, )，2tan()32，6cos()63，则cos(2) A. 5 39 B. 33 C. 5 39 D. 33 【解析】根据待求式的结构，可以考虑这样的构造：22()()362. 根据诱导公式，cos(2)cos2()()sin2()()36236. 22tan()2 23sin2()33tan ()13，22tan ()113cos2()33tan ()13 ； 6cos()63，()(0,)62，所以3sin()63，故3cos(2)3. 【命题分析】本题属于中档题，考察诱导公式和三角恒等变换. 数学答案 第 4 页（共 18 页） a8. 下图为正三棱柱ABCDEF的一个展开图，若A，1A，2A，D，1D，2D六点在同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线BF所成角的余弦值是 A. 58 B. 57 C. 3 38 D. 3 37 【解析】六点共圆的示意图如图所示. 设原正三棱柱的底面边长为2a，高为2b，圆的半径为r. 则有方程组2223,3.barbar 解得22 3rba. 从而在原正三棱柱中，高为底面边长的3倍. 设直线AE和直线BF所成角为，则 cos| |AE BFAEBF. 由勾股定理，22|(2 )(2 )4AEBFaba； () ()AE BFABBEBEEF 2BEAB EF 222(2 )(2 ) (2 )cos103baaa. 故22105cos816| |AE BFaaAEBF. 【命题分析】本题属于中档偏难题，涉及的知识点较多，主要考察几何体的展开图、异面直线所成的角等. 题干以“六点共圆”为条件，是创新的体现. 棱柱中异面直线的夹角在高考中考察多次，例如 2018 年全国 II 卷 9 题、2017 年全国 II 卷 10 题等，方法较多，需要熟练掌握. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 数学答案 第 5 页（共 18 页） 9. 已知函数( )2sin(2)f xx(0) 的图像关于直线x 对称，则 A. ( )f x是奇函数 B. ( )f x的最小正周期是 C. ( )f x的一个对称中心是( 2 ,0) D. ( )f x的一个递增区间是(2,3) 【解析】 B. ( )f x的最小正周期是22T ，B 正确； A. 由于( )f x的图像关于直线x 对称，且最小正周期是，因此( )f x的图像也 关于直线0 x 对称，故( )f x是偶函数，A 错误； C. 因为是偶函数，且最小正周期是，则( )2cos2f xx或( )2cos2f xx ，根据 0 可得解析式为前者. ( )f x的对称中心为(,0)()2kkZ，C 错误； D. 由于(2,3)(, )2，而( )f x在(, )2单调递增，D 正确. 【命题解析】本题属于中档偏易题，考察三角函数的图像与基本性质. 10. 已知32( )3 ln(21)f xxxx，则 A. ( )f x的定义域是1 ,)2 B. 若直线ym和( )f x的图像有交点，则3(,ln22m C. 72 3ln163 D. 32ln(2 21)29 【解析】 A. ( )f x的定义域是各部分定义域的交集，故 A 正确； B. 对( )f x求导数得( )3(ln121)fxxx ，( )fx的单调性不易判断，因此再 设( )ln121g xxx ，1121( )2121xxg xxxxx . 令( )0g x，发现恒成立. 故( )g x在1 ,)2单调递增. 又因为(1)0g， 则( )g x在1 ,1)2递增， 在(1,)递减. m的 最大值应为(1)1f ，B 错误； C. 由 B 中的分析，7( )(1)6gg，代入得72 3ln163，C 正确； D. 由 B 中的分析，3( )(1)2ff，代入得93ln2 2122，D 错误. 【命题分析】本题属于中档题，考察函数与导数，函数的单调性. 数学答案 第 6 页（共 18 页） 11. 设抛物线C：28yx与直线yxm相交于不同的两点A，B，弦AB的垂直平分线与x轴交于P，与C的准线交于Q. 下列结论正确的是 A. 22m B. 弦AB中点的纵坐标是定值 C. 存在唯一的m使得60APB D. 存在唯一的m使得|PQAB 【解析】 A. 联立直线与C的方程，消去x得2880yym. 由题可知64320m ， 可得2m，错误； B. 由 A 中的分析，8AByy，故弦AB中点的纵坐标为 4，是定值，正确； C. 若60APB， 且P在AB的垂直平分线上， 则PAB是正三角形. 若设AB的中点为M，则(4,4)Mm，(8,0)Pm，从而|4 2MP ，|26432ABm. 令 2|3ABMP，解得43m ，C 正确； D. 抛物线C的准线方程是2x ，因此( 2,10)Qm，|2 (10)PQm. 令 2 (10)26432mm，化简得2(6)0m，解得6m ，D 正确. 【命题分析】本题属于中档题，考察直线与抛物线. 选项均为基本量的求解，其中 C 选项要求考生建立角度和长度的关系，设问相对新颖，体现了一定的区分度. 12. 某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品. 员工A从这一批产品中有放回地随机抽取 3 件产品，员工 B 从这一批产品中无放回地随机抽取 3 件产品. 设员工 A 抽取到的 3 件产品中次品数量为X，员工 B 抽取到的 3 件产品中次品数量为Y，k 0，1，2，3. 则下列判断正确的是 A. 随机变量X服从二项分布 B. 随机变量Y服从超几何分布 C. ()()P XkP Yk D. ()( )E XE Y 【解析】 A. B. 由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确； D. 设该批产品有M件，则515()3E XMM ；333355553301CCCC( )CCkkkkMMkkMMkkE Y 15(1)(2)15(1)(2)MMM MMM，因此 D 正确； C. 假若 C 正确，则 D 错误，矛盾！故 C 错误. 数学答案 第 7 页（共 18 页） 【命题分析】本题属于较难题，考察二项分布和超几何分布的基本概念、概率分布与期望等. 二项分布自然不必多言，作为离散型随机变量的典型代表，被高考和各路模拟卷考察已经是家常便饭. 同样是离散型随机变量的超几何分布， 虽然对分布律形式和期望公式的推导（应该）没有要求，但是既然这个概念被课本单列出来且加粗，还是应该至少做到心里有数. 2021 年新高考 I 卷 8 题应该已经给轻视概念的人敲响了警钟，那么尤其是在概率统计的部分， 更应该注重基本概念的识记. 本题为这两个分布创立了类似的情境，区别仅在于“有放回”和“无放回”，需要考生冷静思考其中的区别. 在不给出该批产品总数的情况下， 判断选项 C 事实上是有难度的，考场上考生可以通过特值法来排除，也可以类似于解析中的处理方法，先计算数学期望，发现期望相等之后倒推 C 选项得出矛盾. D 选项体现了相当的区分度，如果对超几何分布的性质较清楚，可以马上断定 D 选项正确；若对性质不太清楚，则需要进行组合数和期望的运算，花费时间是比 较长的. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 若幂函数2(5)ayaax的图像关于y轴对称，则实数a _. 【解析】由幂函数可得251aa，解得3a 或2a ，又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以2a . 【命题分析】本题属于简单题，考察幂函数的概念与基本性质. 14. 请写出一个同时满足|2i|2|zz；2| |2z的复数z：_. 【解析】对条件的处理可以采取以下两种方法： （1）设izab，由条件可以得到2222(2)(2)abab，两边平方化简可得ab，故222| |221zabab ，(1i)z ； （2）由复数模的几何意义，若z满足|2i|2|zz，则z在复平面中对应的点在2i对应点和 2 对应点连线的中垂线上，这条直线与圆| |2z 的交点为(1,1)和( 1, 1) ，因而(1i)z ； 【命题分析】本题属于中档偏易题，考察复数的几何意义与复数的模. 本题以开放性试题为载体，考察复数的模的问题，其中对于条件的翻译尤为关键，既可以选择代数角度（方法（1） ） ，也可以是几何角度（方法（2） ） ，给予考生多个入口破题，最后殊途同归得到答案. 虽然问题本身不难，但创新程度和题目质量可见一斑. 数学答案 第 8 页（共 18 页） 15. 设na是公差非零的等差数列，2a，3a，5a依次成等比数列，1lg(1)a ，2lg(1)a ，5lg(1)a 依次成等差数列，则na的前n项和为_. 【解析】设na的首项为1a，公差为d. 根据两个条件分别可得： （1）2111(2 )()(4 )adad ad，所以10a d ，又0d ，故10a ； （2）2111(1)(1)(41)adaad ，由（1）代入得2d . 所以na的前n项和为2nn. 【命题分析】本题属于中档偏易题，主要考察等差数列与等比数列的性质. 16. 已知双曲线C：22221xyab(0,0)ab，直线l经过C的左焦点F，与C交于A，B两点，且OAOB，其中O为坐标原点. 则C离心率的取值范围是_. 【解析】设11(,)A x y，22(,)B xy，AB：xmyc，与C的方程联立，消x得 222224()20b mayb cmyb. 由题可知2220b ma，则222amb，且判别式42224()0b a ma . 因为OAOB，所以12120 x xy y，即221212(1)()0my ymc yyc. 由韦达定理代入并化简得2422422()0m bb cba c. 当422422()()0bb cba c时，解得2242422a cbmbb c. 由于222amb，所以22424222a cbabb cb，化简得222ba，所以3e . 另一方面，422422()()0bb cba c，即4220ba c，解得152e. 且2(15)62 512，所以1532. 故C离心率的取值范围是15(, 3)( 3,)2. 【命题分析】本题属于中档偏难题，考察直线与双曲线的综合应用. 题目中没有出现任何一个数字，关键在于如何转化OAOB这一条件. 因为A，B两点的坐标不易求出，因而很自然地可以想到可以用数量积为0来转化条件. 题干给出的条件事实上是存在性命题，那么相对应地可以得到某方程有解的结论，进而通过方程解的判定求出双曲线离心率的范围. 另外，联立直线与双曲线的方程需要格外注意二次项系数与判别式，否则可能会遗漏3这一特殊情况. 数学答案 第 9 页（共 18 页） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 数列na满足11a ，122311111nnaaanaaa. （1）求数列na的通项公式； （2）数列4()5nna中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最 小项；若不存在，说明理由. 【解析】 （1）由于122311111nnaaanaaa，向前写一项并相除得111nnanan，从而1(1)(1)nnnanan，累加可得2n时12nna. 又当1n 时亦符合该通项，因此na的通项公式为12nna，nN. （2）设4()5nnnba . 数列nb是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均为正数. 所以若出现最大项，一定在偶数项出现；若出现最小项，一定在奇数项出现. （i）考察奇数项21kb，令2121251161kkbkbk，解得169k ，所以有 1357bbbb， 这表明数列4()5nna的最小项为334128()5125a . （ii）考察偶数项2kb，令22225 21116 23kkbkbk，解得83k ，所以有 2468bbbb， 这表明数列4()5nna的最大项为444128()5125a. 综上所述，4()5nna存在最大项和最小项，最大项为第四项128125，最小项为第三项128125. 【命题分析】本题属于中档题，考察数列的递推与通项、数列的单调性等. 数列的单调性虽然基础，但在大题中不常考察，在一众错位相减、裂项放缩的试题中较为亮眼. 数学答案 第 10 页（共 18 页） 18.（12 分） 如图所示，四棱台1111ABCDABC D的上下底面均为正方形，侧面11ADD A与底面垂直，11113BBCCBCBC. （1）求证：平面11ADD A 平面11ABB A； （2）已知四棱台1111ABCDABC D的体积为26 3. 给出以下两个问题： 求异面直线BC和1AA的距离. 求1A到平面11CDDC的距离. 请从以上两个问题中选取一道进行求解. 注：若两个问题均求解，则按第一个问题计分. 【解析】 （1）在正方形ABCD中，有ABAD. 由题设，平面11ADD A 平面ABCD，且平面11ADD A平面ABCDAD， 所以AB 平面11ADD A. 而AB 平面11ABB A，所以平面11ADD A 平面11ABB A. （2）设111133BBCCBCBCx. 方法一：利用棱台的体积公式 由勾股定理，直角梯形11CDDC的高221111()5DDCCC DCDx，等腰梯形 11ADD A的高（也就是四棱台的高）22111()22ADADhDDx. 故四棱台1111ABCDABC D的体积23212(310)26 33Vxxxx，解得3x . 方法二：复原棱锥 如图，延长各侧棱交于原棱锥的顶点P. 则四棱台1111ABCDABC D的体积1 1 11P A B C DP ABCDVVV，其中1 1 11P A B C DV，P ABCDV分别表示四棱锥1111PABC D和PABCD的体积. 数学答案 第 11 页（共 18 页） 由于两棱锥位似，因此1 1 11311:(:)27P A B C DP ABCDVVBCBC， 所以1 1 1127 3P A B C DV. 由勾股定理，直角梯形11CDDC的高221111()5DDCCC DCDx， 等腰梯形11ADD A的高（也就是四棱台的高）22111()22ADADhDDx. 故四棱锥1111PABC D的高为332x， 1 1 11213(3 )27 33P A B C DVxx，解得3x . 若选择问题求解： 由（1）知，AB 平面11ADD A，且AD 平面 11ADD A，故1ABAA. 在正方形ABCD中，有ABBC，因此AB是 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 异面直线BC和1AA的公垂线段，所以异面直线BC和1AA的距离为3ABx. 故异面直线BC和1AA的距离为3. 若选择问题求解： 同（1）可知平面11ADD A 平面11CDDC，所以1A到平面11CDDC的距离就是1A到直线1DD的距离d. 因为111111122DA DSAD hDD d，所以36 1555dh. 故1A到平面11CDDC的距离是6 155. 【命题分析】本题属于中档题，考察平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、棱台的体积、异面直线间的距离、点与平面间的距离等. 棱台曾经为冷门考点，但自从八省联考 13 题与 2021 新高考二卷 5 题问世以来，棱台、圆台的表面积、体积的考察频次在逐步升高. 本题第一问为常规几何关系的考察，难度较小；第二问给出两个难度相近的问题，让考生只需选择其中一问作答，体现了新高考的风格，也让考生有选择的余地. 需要说明的是，两问均为距离问题，考频较低，且不适合建系求解，在照顾文科生的同时，也让只会建系的考生有些束手无策. 数学答案 第 12 页（共 18 页） 19.（12 分） 在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，3a ，2b ，sin Am. （1）若ABC唯一确定，求m的值； （2）设I是ABC的内切圆圆心，r是ABC的内切圆半径，证明：当21cr 时，ICIA IB. 【解析】 （1）设AB边上的高为ch，则sin20chbAm. 当1m 时，由勾股定理，若A为锐角，则2294ccchh；若A为钝角，则 2294ccchh，ABC不能被唯一确定. 当1m 时，ABC为直角三角形，其中A为直角顶点，225cab可以唯一确定，即ABC唯一确定，故m的值为 1. （2）当21cr时，由余弦定理，22223cos23abcrrCab ，故由同角三角函数的关系可得222221sin1cos()()39CCrrrr，所以ABC的面积S 221sin(6)()2abCrrrr. 另一方面，1()(3)2Sabc rr r，所以有22(6)()(3)rrrrr r，两边 平方可得(2)(1)(3)rrr r，解得512r（负值舍去），215cr ，ABC 是以A为直角顶点的直角三角形. 因此有 2225151()(2)93 522IC，30693 52IC； 2225151()()3522IA，102352IA； 2225151()( 5)322IB，3IB . 所以有ICIA IB成立. 【命题分析】本题属于中档偏难题，考察三角形解的数量的判定、解三角形、三角形的面积公式等. 三角形解的数量的判定属于冷门知识点，很多考生只能从感觉上判断，而不能转化为数学语言进行描述， 可能导致本题处理起来有些许费劲. 第二问计算量比较大，如果不能正确找到翻译条件的途径，可能会导致在本题花费太久的时间. 数学答案 第 13 页（共 18 页） 20. （12 分） 设椭圆222:1(04)16xyCbb的右焦点为F，左顶点为A. M是C上异于A的动 点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点（Q在x轴下方），且当M为 椭圆的下顶点时，2AMFQ. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设点S，T满足PSSQ，FSST，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值. 【解析】 （1）当M为椭圆的下顶点时，(4,)AMb，则1(2,)22bFQAM. 设C的焦距为2c，则(2,)2bQ c ，即2( 162,)2bQb. 因为Q在C上，故22( 162)11164b，解得2216(2 32)8 3b . 则椭圆C的标准方程为221168 3xy. （2）设( ,0)F c，直线PQ的斜率不为 0，设其方程为xmyc. 联立直线PQ和C的方程，消x得222(23)2 3316 30mycmyc. 由PSSQ得S为弦PQ的中点，故S2223(,)2323ccmmm. 由FSST得S是线段FT的中点，故222232 3(,)2323ccmcmTmm. 设T的坐标为( , )x y， 则222323xmcm，22 323ymcm， 故2422444 33( )44 33xmmcmm22248 32 311( )344 33mycmm ， 即2222132xycc， 这表明T在中心为原点，(,0)c为长轴端点，412(0,)2c为短轴端点的椭圆上运动，故T到两焦点3(1,0)2c的距离之和为定值. 代入得两焦点坐标为( (42 3),0). 综上所述，平面上存在两定点(42 3,0)，( 42 3,0) ，使得T到这两定点距离之和为定值. 【命题分析】本题属于难题，考察直线与椭圆的综合应用. 题目的条件均通过向量等式给出，简洁而富有内涵. 第二问通过待证命题引导考生计算出T的轨迹是椭圆，从而有 数学答案 第 14 页（共 18 页） 目的性地求解T坐标， 并消参得到轨迹方程. 动点轨迹为椭圆的解析几何问题高考也曾有过考察，例如 2003 年理数 21 题，如果本题完成下来有困难的同学可以参考该题. 【命题过程】 由椭圆内的垂径定理可知22OSPQbkka 为定值，所以S在以O，F为长轴端点 的某椭圆上. 构造点T，事实上OS是FF T 的中位线，所以OS/F T ，从而22F TFTbkka 为定值，故T以F，F为长轴端点的某椭圆（中心在O）上. 21.（12 分） 在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系. 设t时刻甲、乙种群的数量分别为( )f t，( )g t（起始时刻为0t ）. 由数学家 Lotka 和 Volterra 提出的模型是， 函数( )f t，( )g t满足方程( )( )( ) ( )ftaf tbf t g t，( )( )( ) ( )g tcg tdf t g t， 其中a，b，c，d均为非负实数. （1）下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图. 为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：( )f tm tn；( )tf tm n，其中m，n均为大于 1 的正数. 根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由； （2）设0.08ac，20.008db. （i）函数0.08( )e2 ( )( )tF tf tg t的单调性； （ii）根据（i）中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝. 注：在题设条件下，各种群数量均有上限值. 100 103 107 112 119 125 134 150 170 195 90 110 130 150 170 190 210 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t 甲种群数量 数学答案 第 15 页（共 18 页） 【解析】 （1）由折线图知，甲种群数量的增长速度随着时间的推移而加快. 而增长速度大致对应种群数量对时间的导数. 如选用模型，( )2mf tt，( )ft是关于时间的减函数，不符合折线图； 如选用模型，( )lntf tnn，( )ft是关于时间的增函数，不符合折线图. 所以应选用模型预测甲种群数量的变化趋势. （2）由题设知( )0.08 ( )0.004 ( ) ( )ftf tf t g t，( )0.08 ( )0.008 ( ) ( )g tg tf t g t. （i）0.08( )e2 ( )( )tF t