2019版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例学案.doc
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1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 26 讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 . 2016 全国卷 , 13 2016 全国卷 , 3 2016 北京卷,4 2016 天津卷,7 2016 山东卷,8 1.平面向量的数量积是高考的热点,主要考查平面向量数量积的运
2、算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题 2数量积的综合应用是高考的重点,常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查 . 分值: 5 分 1平面向量的数量积 若两个 _非零 _向量 a 与 b,它们的夹角为 ,则 _|a|b|cos _叫做 a 与 b 的数量积 (或内积 ),记作 _ab |a|b|cos _. 规定:零向量与任一向量的数量积为 _0_. 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 _ab 0_,两 个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 _ab |a|b|_. 2平面向量数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 方向上的投影 _|b
3、|cos _的乘积 3平面向量数量积的重要性质 (1)ea ae _|a|cos a, e _; (2)非零向量 a, b, a b?_ab 0_; (3)当 a 与 b 同向时, a b _|a|b|_;当 a 与 b 反向时, ab _ |a|b|_, aa _a2_, |a| _ aa _; (4)cos _ a b|a|b|_; (5)|ab| _ _|a|b|. =【 ;精品教育资源文库 】 = 4平面向量数量积满足的运算律 (1)ab _ba _(交换律 ); (2)(a ) b (ab ) _a( b)_( 为实数 ); (3)(a b)c _ac bc _. 5平面向量数量积性
4、质的坐标表示 设向量 a (x1, y1), b (x2, y2),则 ab _x1x2 y1y2_; 由此得到: (1)若 a (x, y),则 |a|2 _x2 y2_,或 |a| _ x2 y2_; (2)设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 A, B 两点间的距离 |AB| |AB | _ ?x1 x2?2 ?y1 y2?2_; (3)设 a (x1, y1), b (x2, y2),则 a b?_x1x2 y1y2 0_. 6平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a b) (a b) a2 b2; (2)(a b)2 a2 2ab b2; (3)(a b)2 _a2 2a
5、b b2_. 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)一个向 量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负,也可为零 ( ) (2)若 a b,则必有 ab 0 .( ) (3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量 ( ) (4)若 ab 0 且 a 与 b 不共线, 则? 3 2 4 0,2 6 20 , 解得 13, 所以 的取值范围是 ? ? , 43 ? ?0, 13 ? ?13, . 三 平面向量的模及综合应用 =【 ;精品教育资源文库 】 = 向量模的运算方法 (1)若向量 a 是以坐标形式出现的,求向量 a 的模可直接利用 |a| x2 y
6、2. (2)若向量 a, b是非坐标形式出现的,求向量 a的模可应用公式 |a|2 a2 aa 或 |a b|2 (a b)2 a22 ab b2,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解 【例 3】 (1)在平面直角坐标系内,已知 B( 3, 3 3), C(3, 3 3),且 H(x, y)是曲线 x2 y2 1 上任意一点,则 BH CH 的最大值为 _6 3 19_. (2)(2018 河北石家庄二模 )已知向量 a, b, c 满足 |a| 2, |b| ab 3,若 (c2a) (2b 3c) 0,则 |b c|的最大值是 _ 2 1_. 解析 (1)由题意得 BH (x 3,
7、 y 3 3), CH (x 3, y 3 3),所以 BH CH (x 3,y 3 3)( x 3, y 3 3) x2 y2 9 6 3y 27 6 3y 19 6 3 19,当且仅当 y 1 时取最大值 (2)设 a 与 b 的夹角为 ,则 ab |a|b|cos , cos ab|a|b| 33 2 22 , 0, , 4. 设 OA a, OB b, c (x, y),建立如图所示的平面直角坐标系则 A(1,1), B(3,0), c 2a (x 2, y 2), 2b 3c (6 3x, 3y), (c 2a) (2b 3c) 0, (x 2)(6 3x) (y 2)( 3y) 0
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