2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第21讲两角和与差的正弦余弦和正切公式学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 21 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考纲要求 考情分析 命题趋势 1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 . 2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式 . 3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 . 2017 江苏卷， 5 2016 全国卷 ，9 2016 全国卷 ，5 2016 四川卷， 11 三角恒等变换是三角变换的工具 .主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值 .可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查 . 分值： 5 12

2、分 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin( ) ！ sin cos cos sin #； cos( ) ！ cos cos ?sin sin #； tan ( ) ！ tan tan 1?tan tan #. 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 ！ 2sin cos #； cos 2 ！ cos2 sin2 # ！ 2cos2 1 # ！ 1 2sin2 #； tan 2 ！ 2tan 1 tan2 #. 3有关公式的逆用、变形 (1)tan tan tan ( )(1?tan tan )； (2)cos2 ！ 1 cos 22 #， sin2 ！ 1 cos 22 #； (3)

3、1 sin 2 (sin cos )2,1 sin 2 (sin cos )2， sin cos 2sin? ? 4 ； =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)asin bcos a2 b2sin( )? ?tan ba a2 b2cos( )? ?tan ab . 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”). (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的 .( ) (2)存在实数 ， ，使等式 sin( ) sin sin 成立 .( ) (3)公式 tan( ) tan tan 1 tan tan 可以变形为 tan tan tan( )(1 tan tan )，且对任意角 ，

4、都成立 .( ) (4)存在实数 ，使 tan 2 2tan .( ) 解析 (1)正确 .对于任意的实数 ， ，两角和与差的正弦、余弦公式都成立 . (2)正确 .取 0，因为 sin 0 0，所以 sin ( 0) sin sin sin 0. (3)错误 .变形可以，但不是对任意角 ， 都成立 . ， ， k 2 ， k Z. (4)正确 .当 k( k Z)时， tan 2 2tan . 2若 sin 2 33 ，则 cos ( C ) A 23 B 13 C 13 D 23 解析 因为 sin 2 33 ， 所以 cos 1 2sin2 2 1 2 ? ?33 2 13. 3 sin

5、 34sin 26 cos 34cos 26 的值是 ( C ) A 12 B 32 C 12 D 32 解析 sin 34sin 26 cos 34cos 26 (cos 34cos 26 sin 34sin 26) cos (34 26) cos 60 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 (2017 江苏卷 )若 tan? ? 4 16， 则 tan ！ 75 #. 解析 tan tan? ? ? 4 4 tan? ? 4 tan 41 tan? ? 4 tan 4 16 11 16 75. 5 tan 20 tan 40 3tan 20tan 40 ！ 3 #. 解析 tan

6、(20 40) tan 20 tan 401 tan 20tan 40 ， 3 3tan 20tan 40 tan 20 tan 40 ，即 tan 20 tan 40 3tan 20tan 40 3. 一 三角函数的化简、求值 三角函数式化简、求值的常用方法 (1)善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分、整合，恰当选择三角公式，能求值的求出值， 减少角的个数 . (2)统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一 . 【例 1】 (1)化简：（ 1 sin cos ） ? ?sin 2 cos 22 2cos (00， 2 2cos 4cos2 2 2cos 2. 又

7、 (1 sin cos )? ?sin 2 cos 2 ? ?2sin 2cos 2 2cos 2 2 ? ?sin 2 cos 2 2cos 2 ? ?sin2 2 cos2 2 2cos 2cos ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故原式 2cos 2cos 2cos 2 cos . (2)sin 50(1 3tan 10) sin 50(1 tan 60tan 10) sin 50 cos 60cos 10 sin 60sin 10cos 60cos 10 sin 50 cos （ 60 10 ）cos 60cos 10 2sin 50cos 50cos 10 sin 100cos

8、10 cos 10cos 10 1 二 三角函数的条件求值 三角函数求值问题的解答步骤 (1)给值求值问题 化简条件式子或待求式子； 从函数名称及角入手，观察已知条件与所求式子之间的联系； 将已知条件代入所求式子 ，化简求值 . (2)给值求角问题 先求角的某一个三角函数值； 确定角的范围； 根据角的范围写出所求的角 . 【例 2】 (1)(2017 安徽合肥联考 )已知 ， 为锐角， cos 17， sin( ) 5 314 ，则 cos ！ 12 #. (2)已知 tan 2，求值： tan? ? 4 ； sin 2sin2 sin cos cos 2 1. 解析 (1) 为锐角， sin

9、 1 ? ?17 2 4 37 . ， ? ?0， 2 ， 0 2 ， cos( ) 1114. cos cos ( ) cos ( )cos sin ( )sin 1114 17 5 314 4 37 4998 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2) tan? ? 4 tan tan 41 tan tan 4 2 11 21 3. sin 2sin2 sin cos cos 2 1 2sin cos sin2 sin cos 2cos2 2tan tan 2 tan 2224 2 2 1 【例 3】 (1)设 ， 为钝角，且 sin 55 ， cos 3 1010 ，则 的值为(

10、C ) A 34 B 54 C 74 D 54 或 74 (2)已知 ， (0， ) ，且 tan( ) 12， tan 17，则 2 的值为 ！ 34 #. 解析 (1) ， 为钝角， sin 55 ， cos 3 1010 ， cos 2 55 ， sin 1010 ， cos( ) cos cos sin sin 22 0. 又 ( ， 2) ， ? ?32 ， 2 ， 74 . (2) tan tan ( ) tan（ ） tan 1 tan（ ） tan 12171 12 17 130， 00， 00)，则 A ！ 2 #， b ！ 1 #. 解析 2cos 2x sin 2x 1

11、sin 2x cos 2x 2sin? ?2x 4 1，故 A 2， b 1 4 (2016 江苏卷 )，在 ABC 中， AC 6， cos B 45， C 4. (1)求 AB 的长； (2)求 cos? ?A 6 的值 . 解析 (1)因为 cos B 45， 0B ，所以 sin B 1 cos 2B 1 ? ?45 2 35，由正弦定理知 ACsin B ABsin C， 所以 AB ACsin Csin B 6 2235 5 2. (2)在 ABC 中， A B C ，所以 A (B C)，于是 cos A cos(B C)=【 ;精品教育资源文库 】 = cos? ?B 4 co

12、s Bcos 4 sin Bsin 4 ， 又 cos B 45， sin B 35， 故 cos A 45 22 35 22 210. 因为 0A ，所以 sin A 1 cos 2A 7 210 . 因此， cos? ?A 6 cos Acos 6 sin Asin 6 210 32 7 210 12 7 2 620 . 易错点 不能正确地对角进行拆分和整合 错因分析：注意已知角和所求角之间的和、差、倍、半、互余、互补关系 . 【例 1】 已知 cos? ? 6 33 ，求 cos? ?56 sin2? ? 6 的值 . 解析 cos? ?56 sin2? ? 6 cos? ? ? ? 6

13、 sin2? ? 6 cos? ? 6 ? ?1 cos2? ? 6 33 ? ?1 13 3 23 . 【跟踪训练 1】 (2018 广东珠海六校联考 )已知 tan( ) 25， tan 13，则tan? ? 4 的值为 ！ 98 #. 解析 tan( ) 25， tan 13， tan tan ( ) tan（ ） tan 1 tan（ ） tan 25131 25 13 117， =【 ;精品教育资源文库 】 = tan? ? 4 1 tan 1 tan 1 1171 117 98. 课时达标 第 21 讲 解密考纲三角恒等变换是三角函数变形的工具 .主要考查利用两角和 与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，可单独考查，也可与三