2019版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率第60讲离散型随机变量及其分布列学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 60 讲 离散型随机变量及其分布列 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性 2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 . 2016 全国卷 ， 19 2015 重庆卷，17 2015 四川卷，17 利用排列、组合知识求解离散型随机变量的分布列，运用概率知识解决实际问题 . 分值： 5 分 1随机变量 随着试验结果变化 _而变化 _的变量，常用字母 X， Y， ， ， ? 表示 2离散型随机变量 所有取值可以 _一一列出 _的随机变量 3离散型随机变量分布列的概率 若离散型

2、随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， ? ， xi， ? ， xn， X 取每一个值 xi(i1,2， ? ， n)的概率 P(X xi) pi，则表 X x1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn 称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，有时也用等式 _P(X xi)pi， i 1,2， ? ， n_表示 X 的分布列 4离散型概率分布列的性质 (1)_pi0( i 1,2， ? ， n)_； (2)?i 1npi 1. 5两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，则其分布列为 X 0 1 P _1 p_ p 其中 p _P(X 1)_称为

3、成功概率 =【 ;精品教育资源文库 】 = 6超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件 X k发生的概率为： P(X k) _CkMCn kN MCnN _(k 0， 1,2， ? ， m)，其中 m _minM， n_，且 n N， M N，n， M， N N*，如果随机变量 X 的分布列具有下表形式 . X 0 1 ? m P _C0MCn 0N MCnN _ _C1MCn 1N MCnN _ ? _CmMCn mN MCnN _ 则称随机变量 X 服从超几何分布 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)随机试验所有可能的结果是

4、明确的，并且不止一个 ( ) (2)离散型随机变量 的所有取值有时无法一一列出 ( ) (3)离散型随机变量的分布列中 pi0(i 1,2， ? ， n) ( ) (4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 ( ) 解析 (1)正确根据随机试验的条件可知正确 (2)错误离散型随机变量的所有取值可以一一列出 (3)错误离散型随机变量的分布列中 pi0( i 1,2,3， ? ， n) (4)正确由离散型随机变量的分布列的性质可知该命题正确 2投掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为 X，那么 X 4 表示的事件是 ( C ) A一颗是 3 点，一颗是 1 点 B两颗都

5、是 2 点 C甲是 3 点，乙是 1 点或甲是 1 点，乙是 3 点或两颗都是 2 点 D以上答案都不对 解析 甲是 3 点，乙是 1 点与甲是 1 点，乙是 3 点是试验的两个不同结果，故选 C 3设随机变量 X 的分布列如下 . X 1 2 3 4 5 P 112 16 13 16 p 则 p ( C ) A 16 B 13 C 14 D 112 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由 112 16 13 16 p 1，得 p 14. 4用 X 表示投掷一枚均匀的骰子获得的点数，且 X 的分布列为 P(X i) 16(i 1,2， ? ，6)，则掷出的点数是偶数的概率为 _12_. 解

6、析 概率 P P(X 2) P(X 4) P(X 6) 16 16 16 12. 5 10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是_12_. 解析 从 10 件产品中任取 4 件共有 C410 210 种不同的取法，因为 10 件产品中有 7 件正品、 3 件次品，所以从中任取 4 件恰好取到 1 件次品共有 C13C37 105 种不同的取法，故所求的概率为 P 105210 12. 一 离散型随机变量的分布列及性质 (1)利用分布列中各概率 之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数 (2)求随机变量在某个范围内的概

7、率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式 【例 1】 设随机变量 X 的分布列为 P? ?X k5 ak(k 1,2,3,4,5) (1)求 a； (2)求 P? ?X 35 ； (3)求 P? ?110X 710 . 解析 (1)由分布列的性质， 得 P? ?X 15 P? ?X 25 P? ?X 35 P? ?X 45 P(X 1) a 2a 3a 4a 5a 1， 所以 a 115. (2)P? ?X 35 P? ?X 35 P? ?X 45 P(X 1) 3 115 4 115 5 115 45. =【 ;精品教育资源文库 】 = (3

8、)P? ?110 X 710 P? ?X 15 P? ?X 25 P? ?X 35 115 215 315 615 25. 二 离散型随机变量分布列的求法 求离散型随 机变量 X 的分布列的步骤 理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； 求 X 取每个值的概率； 写出 X 的分布列 注：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识 【例 2】 端午节包粽子是我国的传统习俗设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取 3 个 (1)求三种粽子各取到 1 个的概率；

9、(2)设 X 表示取到的豆沙粽的个数，求 X 的分布列 解析 (1)令 A 表示事件 “ 三种粽子各取到 1 个 ” ， 则由古典概型的 概率计算公式有 P(A) C12C13C15C310 14. (2)X 能取到的所有可能值为 0,1,2，且 P(X 0) C38C310715， P(X 1)C12C28C310 715， P(X 2) C22C18C310 115. 综上知， X 的分布列为 X 0 1 2 P 715 715 115 【例 3】 某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据 . 日销售量 /件 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后 (假设该商品的日销售量的分布

10、规律不变 )，设某天开始营业时有该商品 3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率 (1)求当天商店不进货的 概率； (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列 解析 (1)P(当天商店不进货 ) P(当天商品销售量为 0 件 ) P(当天商品销售量为 1 件 ) 120 520 310. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由题意知， X 的可能取值为 2,3.P(X 2) P(当天商品销售量为 1 件 ) 520 14； P(X 3) P(当天商品销售量为 0 件 ) P(当天商品销售量为 2 件 )

11、P(当天商品销售量为 3 件 ) 120 920 520 34. 所以 X 的分布列为 X 2 3 P 14 34 【例 4】 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为 23，乙获胜的概率为 13，各局比赛结果相互独立 (1)求甲在 4 局以内 (含 4 局 )赢得比赛的概率； (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列 解析 用 A 表示 “ 甲在 4 局以内 (含 4 局 )赢得比赛 ” ， Ak表示 “ 第 k 局甲获胜 ” ， Bk表示 “ 第 k 局乙获胜 ” 则 P(Ak) 23，

12、 P(Bk) 13， k 1,2,3,4,5. (1)P(A) P(A1A2) P(B1A2A3) P(A1B2A3A4) P(A1)P(A2) P(B1)P(A2)P(A3) P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) ? ?23 2 13 ? ?23 2 23 13 ? ?23 2 5681. (2)X 的可能取值为 2,3,4,5. P(X 2) P(A1A2) P(B1B2) P(A1)P(A2) P(B1)P(B2) 59， P(X 3) P(B1A2A3) P(A1B2B3) P(B1)P(A2)P(A3) P(A1)P(B2)P(B3) 29， P(X 4) P(A1B2A3A4)

13、 P(B1A2B3B4) P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) P(B1)P(A2)P(B3)P(B4) 1081， P(X 5) 1 P(X 2) P(X 3) P(X 4) 881. 故 X 的分布列为 X 2 3 4 5 =【 ;精品教育资源文库 】 = P 59 29 1081 881 三 超几何分布 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类 个体的个数，超几何分布的特征是： 考察对象分两类； 已知各类对象的个数； 从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的分布列超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 【例 5】 一袋中装有 10 个

14、大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 79. (1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 X，求随机变量 X 的分布列 解析 (1)记 “ 从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球 ” 为事件 A，设袋中白球的个数为 x， 则 P(A) 1 C210 xC210 79，解得 x 5.故白球有 5 个 (2)X 服从超几何分布 P(X k) Ck5C3 k5C310 ， k 0,1,2,3. 于是可得其分布列为 X 0 1 2 3 P 112 512 512 112 1设离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2

15、 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求： (1)2X 1 的分布列； (2)|X 1|的分布列 解析 由分布列的性质知： 0.2 0.1 0.1 0.3 m 1，得 m 0.3.首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X 1 1 3 5 7 9 =【 ;精品教育资源文库 】 = |X 1| 1 0 1 2 3 从而由上表得两个分布列为： (1)2X 1 的分布列 2X 1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X 1|的分布列 |X 1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 2 4 支圆珠笔标价分别为 10 元、 20 元、 30 元、 40 元 (1)从中任取一支，求其标价 X 的分布列； (2)从中任取两支，若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价，求 Y 的分布列 解析 (1)X 的可能取值分别为 10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故 X 的分布列为 X 10 20 30 40 P 14 14 14 14 (2)根据题意， Y 的可能取值为 20,30,40， 且 P(Y 20) 1C24 16， P(Y 30) 2C24 13， P(Y 40) 3C24 12. 所以 Y 的分布列为 Y 20 30 40 P 16 13 12 3 (2018 湖南益阳测试 )已知 2 件次品和 3 件正品混