2019版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率第57讲随机事件的概率学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 57 讲 随机事件的概率 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别 2了解两个互斥事件的概率加法公式 . 2016 北京卷， 16 2015 江苏卷， 1 2014 全国卷 ， 5 随机事件的概率主要考查频率与概率的关系，结合概率的性质考查互斥事件和对立事件的概率 . 分值： 5 分 1事件的分类 确定事件 必然事件 在条件 S 下，一定会发生的事件叫相对于条件 S 的必然事件 不可能事件 在条件 S 下，一定不会发生的事件叫相对 于条件 S 的不可能事件 随机事件 在条件 S 下， _

2、可能发生也可能不发生 _的事件叫做相对于条件 S 的随机事件 2频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A) _nAn_为事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的 _频率 fn(A)_稳定在某个常数上，把这个 _常数 _记作 P(A)，称为事件 A 发生的概率，简称为 A 的概率 3事件的关 系与运算 定义 符号表示 包含 关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件B_包含 _事件 A(或称

3、事件 A 包含于事件 B) _B?A_ (或 A?B) 相等 关系 若 B?A 且 A?B _A B_ 并事件 (和事若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的 _并事件 _(或和事件 ) A B (或 A B) =【 ;精品教育资源文库 】 = 件 ) 交事件 (积事件 ) 若某事件发生当且仅当 _事件 A发生 _且 _事件 B发生 _，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 (或积事件 ) A B (或 AB) 互斥 事件 若 A B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 A B ? 对立 事件 若 A B 为不可能事件， A B 为

4、必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A B ?， P(A B) P(A) P(B) 1 4概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： _0 P(A)1 _. (2)必然事件的概率 P(E) _1_. (3)不可能事件的概率 P(F) _0_. (4)互斥事件概率的加法公式： 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A B) _P(A) P(B)_ 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A) _1 P(B)_ 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)事件发生的频率与概率是相同的 ( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值 ( ) (3)如果某种彩票的中

5、奖概率为 11 000，那么买 1 000 张这种彩票一定能中奖 ( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生 ( ) (5)两个事件对立时一定互斥，但两个事件互斥时这两个事件未必对立 ( ) 2在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率为 mn.当 n 很大时 ， P(A)与 mn的关系是( A ) A P(A) mn B P(A)mn D P(A) mn 解析 事件 A 发生的概率近似等于该频率的稳定值 3从装有 5个红球和 3个白球的口袋内任取 3个球，那么互斥而不对立的事件是 ( D ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A至少有一个红球与都是红球 B至少有一个红球与都是白

6、球 C至少有一个红球与至少有一个白球 D恰有一个红球与恰有两个红球 解析 A 中的两个事件不互斥， B 中两事件互斥且对立， C 中的两个事件不互斥， D 中的两个互斥而不对立 4掷一枚均匀的硬币两次，事件 M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件 N：至少一次正面朝上则下列结果正确的是 ( D ) A P(M) 13， P(N) 12 B P(M) 12， P(N) 12 C P(M) 13， P(N) 34 D P(M) 12， P(N) 34 解析 由条件知事件 M 包含 ： (正、反 )、 (反、正 ) 事件 N 包含 ： (正、正 )、 (正、反 )、(反、正 ) 故 P(M) 12，

7、P(N) 34. 5从 1,2,3,4,5中随机选取一个数为 a，从 1,2,3中随机选取一个数为 b，则 ab的概率为 _15_. 解析 从 1,2,3,4,5中任取一数 a，从 1,2,3中任取一数 b，共有 53 15 种取法，满足 a b 的有 (1,2)， (1,3)， (2,3)共 3 种，故所求概率 P 315 15. 一 随机事件的关系 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而确定所给事件的关系 【例 1】 (1)从 1,2,3， ? ，

8、7 这 7 个数中任取两个数，其中： 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是偶数； 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 上述事件中，是对立事件的是 ( C ) A B =【 ;精品教育资源文库 】 = C D (2)设条件甲： “ 事件 A 与事件 B 是对立事件 ” ，结论乙： “ 概率满足 P(A) P(B) 1” ，则甲是乙的 ( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (3)在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件 “2 张全是移动卡 ” 的概率是 31

9、0，那么概率是 710的事件是 ( A ) A至多有一张是移动卡 B恰有一张移动卡 C都不是移动卡 D至少有一张移动卡 解析 (1) 中 “ 至少有一个是奇数 ” 即 “ 两个奇数或一奇一偶 ” ，而从 1 7 中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件： “ 两个都是奇数 ”“ 一奇一偶 ”“ 两个都是偶数 ” ，故 “ 至少有一个是奇数 ” 与 “ 两个都是偶数 ” 是对立事件，易知其余都不是对立事件 (2)若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 A B 为必然事件，再由概率的加法公式得 P(A) P(B) 1.设掷一枚硬币 3 次，事件 A： “ 至少出现一次正面 ” ，事件 B：

10、 “3 次出现正面 ” ，则 P(A) 78， P(B) 18，满足 P(A) P(B) 1，但 A， B 不是对立事件 (3)至多有一张移动卡包含 “ 一张移动卡，一张联通卡 ” ， “ 两张全是联通卡 ” 两个事件，它是 “2 张全是移动卡 ” 的对立事件 二 随机事件的概率 (1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 (2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率

11、【例 2】 某保险公司利用 简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下 . 赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数 /辆 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率 解析 (1)设 A 表示事件 “ 赔付金额为 3 000 元 ” ， B 表示事件 “

12、 赔付金额为 4 000 元 ” ，以频率估计概率得 P(A) 1501 000 0.15， P(B) 1201 000 0.12. 由于投保金额为 2 800 元，赔付金额大于投保金额对应的情形是 3 000 元和 4 000 元，所以其概率为 P(A) P(B) 0.15 0.12 0.27. (2)设 C 表示事件 “ 投保车辆中新司机获赔 4 000 元 ” ，由已知，样本车辆中车主为新司机的有 0.11 000 100辆，而赔付金额为 4 000元的车辆中，车主为新司机的有 0.2120 24 辆，所以样本车辆中 新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 24100 0.24，由

13、频率估计概率得 P(C) 0.24. 三 互斥事件、对立事件的概率 求复杂互斥事件概率的两种方法 (1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和 (2)间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由 P(A) 1 P( A )求解，当题目涉及 “ 至多 ”“ 至少 ” 型问题，多考虑间接法 【例 3】 (2016 北京卷 )A， B， C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得 了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表 (单位：小时 ). A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10

14、.5 12 13.5 (1)试估计 C 班的学生人数； (2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机抽取一人， A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从 A， B， C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25(单位：小时 )这 3 个新数据与表格中 的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据的平均数记为 0，试判断 0和 1的大小 (写出结论不要求证明 ) 解析 (1)由题意知，抽出的 20 名学生中，来自 C 班的学生有 8 名根据分层抽样方法，=【 ;精品教育资源文

15、库 】 = C 班的学生人数估计为 100 820 40. (2)设事件 Ai为 “ 甲是现有样本中 A 班的第 i 个人 ” ， i 1,2， ? ， 5，事件 Cj为 “ 乙是现有样本中 C 班的第 j 个人 ” ， j 1,2， ? ， 8. 由题意可知， P(Ai) 15， i 1,2， ? ， 5； P(Cj) 18， j 1,2， ? ， 8. P(AiCj) P(Ai)P(Cj) 15 18 140， i 1,2， ? ， 5， j 1,2， ? ， 8. 设事件 E 为 “ 该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长 ” 由题意知， E A1C1 A1C2 A2C1 A2C2 A2C3 A3C1 A3C2 A3C3 A4C1 A4C2 A4C3 A5C1 A5C2 A5C3 A5C4. 因此 P(E) P(A1C1) P(A1C2) P(A2C1) P(A2